Рассмотрим n независимых испытаний (серию испытаний длины n), в каждом из которых – два возможных исхода: происходит событие A или A = \ A. Пусть вероятность. - презентация

1 Рассмотрим n независимых испытаний (серию испытаний длины n), в каждом из которых – два возможных исхода: происходит событие A или A = \ A. Пусть вероятность происхождения события A в каждом испытании P( A ) = p, тогда P( A ) = 1 p. Например, такие серии: бросание монеты (герб / решетка), бросание игральной кости (четное / нечетное число очков), стрельба по мишени (попадание / промах), проверка качества изделия (квалитет / брак). Задача: найти вероятность P n (k) того, что в серии независимых испытаний длины n событие A произойдет точно k раз, где 0 k n. § 4. Повторение испытаний. Формула Бернулли.

2 Решение: (вывод формулы Бернулли) Т.к. испытания независимы, то вероятность серии: Т.к. P(A) = p и P( A ) = 1 p: - вероятность одной из возможных серий

3 2.шаг. Найдем число всех возможных различных серий. Т.к. события A могут быть размещены в серии на любые k мест, то число всех возможных размещений определяется числом комбинаций из n по k : 3.шаг. Т.к. серии являются несовместимыми событиями, то для получения ответа умножаем число всех возможных серий на вероятность одной возможной серии: - формула Бернулли P n (k) - вероятность того, что в серии независимых испытаний длины n событие A произойдет точно k раз.

4 Формулу называют формулой Бернулли по имени швейцарского математика Якоба Бернулли ( ), в чьей работе с названием Ars Conjectandi («Искусство предположений»), опубликованной в 1713 году, она впервые была выведена. Jacob Bernoulli

5 Пример. Найти вероятность того, что при 10 подбрасываниях монеты герб выпадет a)5 раз? b)по крайней мере 8 раз? Решение. Пусть бросания монеты независимые испытания. Серия испытаний: серия бросков. Длина серии: n = 10. Событие: A = выпадет герб. P(A) = p = 1/2 и P( A ) = 1- p = 1/2. a) вероятность, что при 10 подбрасываниях монеты событие A произойдет точно 5 раз, находим по формуле Бернулли: b) вероятность, что при 10 подбрасываниях монеты событие A произойдет хотя бы 8 раз :

6 Пример. Баскетболист выполняет 3 свободных броска. Вероятность попадания для каждого броска 0,7. Каково наиболее вероятное число попаданий? Решение. Пусть броски независимы. Серия экспериментов: серия свободных бросков. Длина серии: n = 3. Событие: A = попадание. P(A) = p = 0,7 и P( A ) = 1- p = 0,3. Наиболее вероятное число попаданий m должно удовлетворять условиям: P n (m) P n (m-1) & P n (m) P n (m+1) или Откуда после упрощения: np + p - 1 m np + p Т.о. наиболее вероятное число попаданий m: 3*0,7 + 0,7 - 1 m 3*0,7 + 0,7 1,8 m 2,8 m = 2.