Интерактивный тест-тренажер для подготовки к ЕГЭ по математике Алтунина Нина Сергеевна учитель математики МБОУ «СОШ 14» г.Череповец, Вологодская область. - презентация

1 Интерактивный тест-тренажер для подготовки к ЕГЭ по математике Алтунина Нина Сергеевна учитель математики МБОУ «СОШ 14» г.Череповец, Вологодская область Областной конкурс «Информационно-коммуникационные технологии в профессиональном творчестве педагогов» Номинация: «Применение современных информационных технологий при подготовке учащихся к ГИА и ЕГЭ» Учебный мультимедиа-продукт:

2 Инструкция по выполнению работы Данный тест-тренажер является интерактивным, т.е. вы можете проверить себя сразу после выполнения задания. Порядок проверки: если к заданию приводятся варианты ответов (четыре ответа, из них верный только один), то надо нажать номер выбранного ответа; при правильном ответе появится, при неправильном - (можно попробовать исправить ошибку); если к заданию не приводятся варианты ответов, то после выполнения задания для проверки правильности его выполнения нажмите. Для перехода к следующему заданию нажмите. Данный тест не ставит целью оценить ваши знания, постарайтесь быть честными, не открывайте ответы раньше, чем будет выполнено задание! Проверьте свои силы! Желаю успеха! Проверка Подумай Верно

3 1. Шариковая ручка стоит 40 рублей. Какое наибольшее число таких ручек можно будет купить на 900 рублей после повышения цены на 10%? Верно Подумай

4 2. На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали указывается дата и время суток, по вертикали значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку наибольшую температуру воздуха 22 января. Ответ дайте в градусах Цельсия Подумай Верно

5 3. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2 и 6. Объем параллелепипеда равен 48. Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины Верно Подумай

6 4. Для остекления музейных витрин требуется заказать 20 одинаковых стекол в одной из трех фирм. Площадь каждого стекла 0,25 м 2. В таблице приведены цены на стекло и на резку стекол. Сколько рублей будет стоить самый дешевый заказ? Ответ: ___________ Проверка Ответ:1660 Фирма Цена стекла за 1 м 2 Резка стекла (руб. за одно стекло) Дополнительн ые условия А30017 Б32013 В3408При заказе на сумму больше 2500 руб. резка бесплатно

7 5. Найдите корень уравнения: log 2 (15 + x) = log 2 3 Верно Подумай

8 6. В треугольнике ABC угол C равен 90º, sinА = Найти sinB. Верно Подумай

9 7. Найдите значение выражения: Верно Подумай

10 8. Прямая у= 7 х - 5 параллельна касательной к графику функции у = х х - 8. Найдите абсциссу точки касания. а) б) в) г) Верно Подумай а б в г

11 9. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Ответ: ______ Проверка Ответ: 6

12 10. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых. Ответ: ______ Проверка Ответ: 0,14

13 11. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Верно Подумай

14 12. Высота над землей подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t) = 1,6 + 8t – 5t 2, где h высота в метрах, t время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее трех метров? Ответ: ______ Проверка Ответ: 1,2

15 13. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 75 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что за час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 6 часов позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч. Ответ: _____ Скорость (км/ч)Время (ч)Расстояние (км) велосипедистх 75/х 75 автомобилистх+4075/(х+40)75 Проверка Получаем уравнение 75/х - 0,75/(х+40)= 6; х х -500 =0 Ответ: 10

16 14. Найти наименьшее значения функции ƒ(x)=2x³6x²+1 на отрезке [-1; 1]. Ответ: _____ Проверка Найдите производную функции: ƒ'(x)=(2x³6x²+1)=(2x³)(6x²)=6x²12x=6x(x2). Производная ƒ'(x) определена на всей числовой прямой. Решим уравнение ƒ'(x)=0. В этом случае такое уравнение равносильно системе уравнений 6x=0 и x2=0. Решениями будут две точки x=0 и x=2. Однако x=2 (-1; 1), поэтому критическая точка в этом промежутке одна: x=0. Найдите значение функции ƒ(x) в критической точке и на концах отрезка. ƒ(0)=2×0³6×0²+1=1, ƒ(-1)=2×(-1)³6×(-1)²+1=-7, ƒ(1)=2×1³6×1²+1=-3. Так как -7

17 С1 Решите уравнение (4sin 2 (x)-3)/(2cos(x)+1)=0 Ответ: _____ Проверка Знаменатель не должен обращаться в ноль: 2cos(x)+1 0 cos(x) -1/2 (1) x ±2π/3 + 2πn, n Z Числитель должен обращаться в ноль: 4sin2(x)-3 = 0 sin2(x) = 3/4 sin(x) = ± 3/2 отсюда x = ±π/3 + πn, n Z или, что то же самое, {x = ±2π/3 + 2πn; x = ±π/3 + 2πn}, n Z. Принимая во внимание (1), получаем ответ: x = ±π/3 + 2πn, n Z Ответ: x = ±π/3 + 2πn, n Z

18 С2. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания AB=3, боковое ребро SA = 7. Найдите расстояние от вершины A до плоскости BCS. Заметим, что AD параллельно BC, а значит, и всей плоскости BCS. Это значит, что все точки прямой AD равноудалены от плоскости BCS. Пусть SH высота треугольника BCS, SO перпендикуляр, опущенный из точки S к плоскости основания пирамиды, при этом точка O принадлежит AD. Искомым расстоянием будет длина высоты OM прямоугольного треугольника SOH. 1) Найдём OH из равностороннего треугольника OBC: OH = 3/2 2) Найдём SH из прямоугольного треугольника BHS: SH = 5/2 3) Найдём SO из прямоугольного треугольника SOH: SO = = 2 4) Искомое расстояние OM, зная все стороны прямоугольного треугольника SOH, можно, например, найти, записав выражение для его площади двумя разными способами: S = SO*OH/2 = SH*OM/2, откуда OM = SO*OH/SH = 4*3/5 = 6/5 Ответ: 6/5.Ответ: ______ Проверка

19 С3. Решить неравенство: log 2 (3·2 (x-1) - 1) / x 1 Ответ: ______ Проверка ОДЗ. 1. x ·2 (x-1) -1 > 0; 2 (x-1) > 1/3; x > log 2 (1/3)+1 = log 2 (2/3) Примерно вычисляем, что log 2 (2/3) - это где-то между -1 и 0. Решаем неравенство: (log 2 (3 ·2 (x-1) -1) /x 0; (log 2 (3 ·2 (x-1) -1) = х, (log 2 (3 ·2 (x-1) -1) = log 2 (2 х ); 3 ·2 (x-1) -1= 2 х (3 ·2 (x-1) -1)/ 2 х = 1 3 · / 2 х = 1 3 / х = 1 Получаем: 2 -х = 1/2 Итак: x = 1 В двух точках выражение меняет знак: 0 и 1 Прикидываем, какой у него знак будет, например, при x=2: (log 2 (5)-2)/2 - это больше нуля. Значит, при x>1 - "+« при 0

20 С4. Прямоугольный треугольник ABC имеет периметр 54. Окружность радиуса 6, центр которой лежит на катете ВС, касается прямых АВ и АС. Найти площадь треугольника АВС. Ответ: ______ Проверка Пусть AC = AH = x, BH = y, BO = z. Тогда периметр треугольника равен 2x+y+z+6 = 54. Выразим x, y и z через угол альфа (а): Из прямоугольного треугольника AHO: x = 6/tg(a/2). Из прямоугольного треугольника BHO: y = 6·tg(a), z = 6/cos(a) Выражение для периметра становится таким: 12/tg(a/2)+6*tg(a)+6/cos(a)+6 = 54; 1/cos(a) + 2/tg(a/2) + tg(a) = 8. Тут удобно всё выразить через тангенс половинного угла: (1+(tg(a/2)) 2 )/(1-(tg(a/2)) 2 ) + 2/tg(a/2) + 2·tg(a/2)/(1-(tg(a/2)) 2 ) = 8. Обозначим t = tg(a/2), получим: (1+t 2 )/(1-t 2 )+2/t+2t/(1-t 2 ) = 8 Путём несложных преобразований приводим это к виду 9t 2 - 9t + 2 = 0 Получаем: (1) t 1 = 1/3 и (2) t 2 = 2/3 Выражаем обратно x и z. Итак, для случая (1) имеем: z = 6/cos(a) = 6/((1-1/9)/(1+1/9)) = 7.5; x = 6/tg(a/2) = 6/(1/3) = 18. S = x*(z+6)/2 = Для случая (2) имеем: z = 6/cos(a) = 6/((1-4/9)/(1+4/9)) = 15.6 x = 6/tg(a/2) = 6/(2/3) = 9. S = x*(z+6)/2 = 97.2 Ответ: 121.5, 97.2 Ответ: 121,5 и 97,2

21 С5. Найти все значения параметра a, при которых функция f(x) = x 2 - |x-a 2 | - 9x имеет хотя бы одну точку максимума. Раскроем модуль: При x a 2 : f(x) = x 2 - 8x - a 2, при x > a 2 : f(x) = x x + a 2. Производная левой части: f'(x) = 2x - 8 Производная правой части: f'(x) = 2x - 10 И левая, и правая части могут иметь только минимум. Значит, единственный максимум у функции f(x) может быть в том и только в том случае, если в точке x=a 2 левая часть возрастает (то есть 2x-8 > 0), а правая убывает (то есть 2x-10 < 0). То есть, получаем систему: 2x-8 > 0 2x-10 < 0 x = a 2 откуда 4 < a 2 < 5; a (- ; -2) (2; ) Ответ:(- ; -2) и(2; ) Проверка Ответ: ______

22 С6. Найдите все натуральные числа, последняя десятичная цифра которых 0 и которые имеют ровно 15 различных натуральных делителей (включая единицу и само число). Любое натуральное число n представимо в виде n = p 1 k1 ·p 2 k2 ·... и т.д., где p 1, p 2 и т. д. простые числа, а k 1, k 2 и т.д. целые неотрицательные числа. Причём общее количество натуральных делителей числа n равно (k 1 +1)·(k 2 +1)· и т.д. Раз по условию задачи число n заканчивается на 0, то оно делится как минимум на два простых числа 5 и 2, то есть представимо в виде n = 2 k1 ·5 k2 ·... и т.д., где k 1 > 0 и k 2 > 0, то есть число натуральных делителей числа n должно раскладываться как минимум на два натуральных сомножителя, отличных от единицы. Число 15 при таком условии раскладывается на множители всего двумя способами: 3·5 либо 5·3 Отсюда: 1) n = 2 (3-1) ·5 (5-1) = ) n = 2 (5-1) ·5 (3-1) = 400 Ответ: 400 и 2500 Проверка Ответ: ______

23 Источники основного содержания Завершить работу Открытый банк заданий по математике: