Вычисление площади сечений многогранников Автор: Пинжина Дарья Владимировна, учащаяся 11 класса МБОУ «Средняя общеобразовательная школа 14» Руководитель: - презентация

1 Вычисление площади сечений многогранников Автор: Пинжина Дарья Владимировна, учащаяся 11 класса МБОУ «Средняя общеобразовательная школа 14» Руководитель: Голос Галина Ивановна, учитель математики-информатики первой квалификационной категории МБОУ «Средняя общеобразовательная школа 14» ГОРОДСКАЯ У ЧЕБНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ СТАРШЕКЛАССНИКОВ «ЗА СТРАНИЦАМИ ТВОЕГО УЧЕБНИКА»

2 Подобно тому, как все искусства тяготеют к музыке, все науки стремятся к математике. Д. Сантаяна.

3 Проблематика Задачи на вычисление площади сечений многогранников являются комплексными. В связи с этим наибольшие трудности вызывает решение задач по стереометрии. Причина – недостаточный уровень сформированности образного мышления и пространственных представлений.

4 Цель: развитие образного мышления и пространственных представлений посредством решения задач стереометрии, в частности, задач на построение сечений и вычисление площади полученных сечений многогранников. Задачи: анализ теоретического материала; применение ранее разработанных алгоритмов для построения сечений многогранников; классифицирование видов сечений, встречаемых в учебной литературе и методов по вычислению площади данных сечений; практическое применение рассмотренных методов к решению задач на вычисление площади сечений. Методы исследования: поисковый, описательный, практический, моделирование.

5 Классификация задач на вычисление площади сечений многогранников задачи, в которых описание построения сечения не требуется, так как является «очевидным», а вычисление площади полученных сечений не вызывает затруднений (задачи базового уровня); задачи, в которых описание построения сечения требуется и основной типовой задачей на данную тему в школьной программе является построение сечения по трем точкам, заданным на поверхности многогранника, принадлежащим секущей плоскости (задачи повышенного уровня сложности и задачи ЕГЭ).

6 Методы построения сечений многогранников 1)Метод следов 2)Метод вспомогательных сечений (метод внутреннего проецирования) 3)Комбинированный метод S1 S2 Недостаток метода следов Недостаток метода вспомогательных сечений

7 Методы вычисления площади сечений 1. Площади подобных фигур относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров (для пирамид, в которых плоскость сечения параллельна основанию): 2. Сумма площадей простых фигур, на которые разбивается многоугольник, полученный в сечении: 3. Теорема о площади ортогональной проекции многоугольника на плоскость., где

8 B C A A1 C1 B1 D D1 E S1 F S2 E1 Задача 2 Дано: ABCA 1 B 1 C 1 – прям. призма Найти: S DD 1 E 1 FE

9 B C A A1 C1 B1 D D1 E E1 F E2 N Вычисление площади (с использованием теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника) M Дано: ABCA 1 B 1 C 1 – прям. призма Найти: S DD 1 E 1 FE Ответ:

10 Заключение Выводы по исследовательской работе: 1)решение задачи на построение сечения всегда возможно и единственно; 2) количество вершин многоугольника сечения может изменяться от 3 до n+1 – для пирамиды и до n+2 – для призмы, где n – количество вершин основания многогранника; 3) разнообразие способов задания секущей плоскости не позволяет применять при построении сечения какой- нибудь один универсальный способ, а при вычислении площади сечений руководствоваться одним универсальным методом.

11 S D B A C E K F S1 N M S2 K Задача 1

12 S D B A C F E M K N O L G P Q Вычисление площади (без использования теоремы о площади ортогональной проекции) Ответ: Дано: SABCD– прав. пирамида SQ-апофема, SQ=2 Найти: S EMKNF

13 F S D B A C E K E2E2 F2F2 (F1) (E1) Q T M N Метод внутреннего проецирования «Скученность»

14 S D B A C F E M K N O L M2 N2P Вычисление площади (с использованием теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника) Ответ: Дано: SABCD– прав. пирамида SQ-апофема, SQ=2 Найти: S EMKNF G

15 B C A A1 C1 B1 D D1 E M M1 E1 F K N Вычисление площади (без использования теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника) Дано: ABCA 1 B 1 C 1 – прям. призма Найти: S DD 1 E 1 FE Ответ:

16 Спасибо за внимание!