Чевианы треугольника Свойства медиан. С В Что вы знаете о медианах треугольника? - презентация

1 Чевианы треугольника Свойства медиан

2 С В Что вы знаете о медианах треугольника?

3 Медиана треугольника – отрезок, соединяющий его вершину с серединой противолежащей стороны Медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины Медиана треугольника делит его на два равноовеликих треугольника Медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников* *Сформулируйте последнее утверждение, разделив его на условие и заключение

4 Если являются медианами То делят треугольник на 6 равновеликих треугольников

5 Да, этот признак является достаточным. Необходимо ли в условии равенство площадей всех шести треугольников?

6 Критерий точки медианы

7 Дано: Δ ABC, AD - чевиана, G AD, S ABG = S ACG Критерий точки медианы Точка G внутри Δ АВС принадлежит медиане AD тогда и только тогда, когда S ABG =S ACG Доказать: BD = DC Доказательство: Дополнительное построение, BH AD и CK AD. Рассмотрим прямоугольные Δ BHD и ΔСKD. В них: НBD = DCK как накрест лежащие при BH CK (BH AD и CK AD) и секущей BC. ВH=CK как высоты, проведенные к общей стороне AG в треугольниках ΔBAG и ΔCAG, имеющих равную площадь. Треугольники равны по катету и острому углу. Следовательно BD=DC. Теорема доказана? Нет. Докажем обратное утверждение.

8 Дано: Δ ABC, AD-чевиана, G AD, Доказать: BD = DC Доказательство: Дополнительное построение, BH BD и CK AD. Рассмотрим прямоугольные Δ BHD и ΔСKD. В них: НBD = DCK как накрест лежащие при BH CD (BH BD и CK AD) и секущей BC. BD=DC по условию. Треугольники равны по гипотенузе и острому углу. Следовательно, BH = CK. S ABG = ½ AG * BH S ACG = ½ AG * CK S ABG = S ACG Теорема доказана. S ABG = S ACG Точка G внутри Δ АВС принадлежит медиане AD, тогда и только тогда, когда S ABG =S ACG

9 Критерий точки медианы Критерий о мотыльке с равновеликими крыльями Вернёмся к задаче, которую мы не смогли решить.

10 Домашнее задание Докажите утверждение: если при пересечении трёх чевиан в одной точке образуется три равновеликих треугольника, то чевианы являются медианами.

11 Критерий точки медианы Что можно утверждать, если все три треугольника равновеликие? Точка G является точкой пересечения медиан тогда и только тогда, когда S ABG =S CBG =S AGC Докажите это. Критерий точки медианы Критерий точки пересечения медиан

12 Задача На каком расстоянии от стороны треугольника, равной 12 см, находится его центр масс, если от стороны, равной 18 см, он находится на расстоянии 4 см?