Ребята, на этом уроке мы займемся обобщением знаний о показателях степеней. Мы умеем вычислять степени с любым целочисленным показателем, но как, же быть. - презентация

1

2 Ребята, на этом уроке мы займемся обобщением знаний о показателях степеней. Мы умеем вычислять степени с любым целочисленным показателем, но как, же быть в случае не целого числа? И какая связь между корнями и степенными функциями не целого показателя? Давайте немного повторим, рассмотрим число вида Указанные выше правила можно так же использовать как памятку!

3 Во всех представленных выше правилах, показатель степени целое число, но как, же быть в случае дробного показателя? Что же представляет из себя число и как с ним работать? При работе с такими степенями нужно, чтобы все свойства для целочисленных степеней сохранялись. Например, при возведении степени в степень – показатели перемножались. Пример: Давайте введем вот такую замену символов: Тогда: откуда получаем: То есть мы можем представить исходное выражение в таком виде:

4 Определение. Пусть нам дана обыкновенная дробь и х 0, тогда Например: Благодаря такому определению удалось сохранить все свойства степенных функции. Давайте умножим два числа с одинаковыми основаниями но разными степенями: Но заметим так же: То есть: Складывать дроби гораздо проще, чем работать с радикалами (нужно привести показатели к одинаковому виду и потом только перемножать), поэтому принято переходить к степенным функциям с дробным показателем.

5 Пример. Вычислить: а) б) в) г) Решение. а) б) в) г) Извлекать корень с дробным показателем мы можем только из положительного числа, ребята посмотрите на наше определение. Наше выражение не имеет смысла. Вообще вроде бы - верная запись, но давайте внимательно посмотрим на наше выражение:

6 Получили противоречивое выражение, хотя все операции выполнены верно, согласно свойствам и определениям, поэтому математики запретили возводить в дробную степень отрицательные числа. Ребята запомните это! В дробную степень мы можем возводить только положительные числа!

7 Определение. Пусть нам дана обыкновенная дробь и х>0, тогда Например: Все свойства с которыми мы сталкивались при работе со степенными числами сохраняются и в случае рациональных степеней, давайте повторим свойства: Пусть нам даны положительные числа a>0 и b>0, x и y – произвольные рациональные числа, тогда выполняются следующие 5 свойств.

8 Пример. Упростить выражение: Решение. Перепишем числители в виде степенных функций: Приведем к общему знаменателю: Ответ:

9 Пример. Решить уравнения: а)б) Решение. а) Возведем обе части уравнения в пятую степень б) Наше уравнение очень похоже на предыдущие, если мы перейдем от записи корней к степенным функциям, то запись получится идентичная, но стоит учесть, что у нас сразу дано степенное выражение, по определению число х может быть только положительным, тогда у нас остается один ответ х=1. Ответ: а) x = ±1 б) x=1

10 Пример. Решить уравнение: Решение. Давайте введем новую переменную: Тогда наше уравнение примет вид обычного квадратного уравнения: Решив уравнение, получим два корня: Нам остается решить два уравнения: Первое уравнение не имеет корней, так как вспомним, что опять же, степенные функции с рациональным показателем определены только для положительных чисел.

11 Решим второе уравнение Ответ:

12 Ребята, мы рассмотрели с вами два примера на решение уравнений, такие уравнения принято называть иррациональными. Давайте перечислим основные методы решений иррациональных уравнений: 1) Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень. (при использовании этого метода нужно проверять полученные решения, так как могут возникнуть посторонние решения) 2) Метод замены переменных (введения новых переменных). 3) Построение графиков функций. Обе части уравнения представляем в виде функций и строим их графики, находим точки пересечения графиков.

13 Задачи для самостоятельного решения. 1. Вычислить: а)б)в)г) 2. Упростите выражение: 3. Решить уравнение: а)б) 4. Решить уравнение: