Любые сложные периодические колебания S = f(t) можно представить в виде суперпозиции одновременно совершающихся гармонических колебаний с различными амплитудами, - презентация

1

2 Любые сложные периодические колебания S = f(t) можно представить в виде суперпозиции одновременно совершающихся гармонических колебаний с различными амплитудами, начальными фазами, а также частотами кратными циклической частоте 0 : S(t)=f(t)=а 0 /2+а 1 cos( 0 t+ )+а 2 cos(2 0 t+ 2 )+..+а n cos(n 0 t+ n ) Представление периодической функции в таком виде связывают с понятием ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА СЛОЖНОГО ПЕРИОДИЧЕСКОГО КОЛЕБАНИЯ, ИЛИ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУРЬЕ. Слагаемые ряда Фурье, определяющие гармонические колебания с частотами 0, 2 0, 3 0,..., называются ПЕРВОЙ (ИЛИ ОСНОВНОЙ), второй, третьей и т.д. ГАРМОНИКАМИ сложного периодического колебания. Гармонический анализ

3 Графическое представление спектра сигналов выполняют в виде набора вертикальных отрезков, начинающихся на оси абсцисс (на оси частот). При этом положение отрезка на оси абсцисс (от начала координат) отражает частоту соответствующей гармоники, а длина отрезка соответствует амплитуде этой гармоники. Формирование прямоугольного сигнала (меандра) из суммы первых гармоник: а), в), д) - временное представление первых гармоник и их суммы; б), г), е) - спектральное представление соответствующих наборов гармоник С увеличением количества гармоник форма синтезированного сигнала все более приближается к прямоугольной, а различие между прямоугольной волной и сигналом, образованным суммой гармонических составляющих, становится все меньше.

4 Найдем результат сложения двух гармонических колебаний одинаковой частоты ω, которуе происходят во взаимно перпендикулярных направлениях вдоль осей х и у. Начало отсчета для простоты выберем так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю, и запишем это в виде (1) где α разность фаз обоих колебаний, А и В равны амплитудам складываемых колебаний. Уравнение траектории результирующего колебания определим исключением из формул (1) времени t. Записывая складываемые колебания как и заменяя во втором уравнении cosωt на и sin ωt на, найдем после несложных преобразований уравнение эллипса, у которого оси ориентированы произвольно относительно координатных осей: Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

5 a b y x a b y x А. А. Разность фаз φ = 0. В этом случае уравнение эллипса принимает вид Результирующее движение является гармоническим колебанием вдоль прямой с частотой ω и амплитудой В. В. Разность фаз φ±π В этом случае уравнение эллипса принимает вид С. С. При φ±π/2, уравнение переходит т.е.в уравнение эллипса, приведенного к координатным осям, причем полуоси эллипса равны соответствующим амплитудам колебаний. a b y x 1

6 а b Если частоты взаимно- перпендикулярных колебаний не одинаковы, но кратны, то траектория результирующего движения имеет вид довольно сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу. Фигуру Лиссажу. отношение частот 1:2 и разность фаз π/2 x = a cos ωt y = b cos (2ωt + π/2)

7 Фигуру Лиссажу. Фигу́ру Лиссажу́ замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два гармонических колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Впервые изучены французским учёным Жюлем Антуаном Лиссажу (Lissajous). Вид фигур зависит от соотношения между периодами (частотами), фазами и амплитудами обоих колебаний. В простейшем случае равенства обоих периодов фигуру представляют собой эллипсы, которуе при разности фаз 0 или π вырождаются в отрезки прямых, а при разности фаз и равенстве амплитуд превращаются в окружность. Если периоды обоих колебаний неточно совпадают, то разность фаз всё время меняется, вследствие чего эллипс всё время деформируется. Фигуру Лиссажу вписываются в прямоугольник, центр которого совпадает с началом координат, а стороны параллельны осям координат и расположены по обе стороны от них на расстояниях, равных амплитудам колебаний.

8 Фигуру Лиссажу. Анимация показывает изменение кривых при постоянно возрастающем соотношении a/b от 0 до 1 с шагом (δ=0) При существенно различных периодах фигуру Лиссажу не наблюдаются. Однако, если периоды относятся как целые числа, то через промежуток времени, равный наименьшему кратному обоих периодов, движущаяся точка снова возвращается в то же положение получаются фигуру Лиссажу более сложной формы. a = 1, b = 2 (1:2)a = 3, b = 2 (3:2) Примеру фигур Лиссажу при δ = π/2, a = 3, b = 4 (3:4)

9 Волна представляет собой колебания, которуе при своем распространении не переносят с собой вещество. Волны переносят энергию из одной точки пространства в другую. Распространение колебаний от точки к точке, от частицы к частице в упругой среде называется механической волной.

10 Виды волн поперечные продольные Если смещение частиц происходит перпендикулярно направлению распространения волны, то волна называется поперечной Поперечная волна может распространятся только в твёрдой среде, потому что для её распространения нужна деформация сдвига. Если смещение частиц совершается вдоль направления распространения волны, то такие волны называются продольными

11 Поперечные волны Продольныеволны Продольные волны Причина Форма Возникновение Деформация сдвига Сжатие и растяжение Горб - впадина Сгущение - растяжение На границе двух сред Внутри среды

12 Параметру волны 1.υ – скорость распространения волны 2. λ - длина волны 3. А – амплитуда колебаний волны 4. L – путь волны по прямой 5. Т – период волны (время, за которое волна проходит путь λ) 6. ν - частота колебаний волны (число волн, возникающих за 1 секунду) 7. t - время, в течении которого распространяется волна. 8. х - отклонение каждой точки от положения равновесия 9. r – расстояние точки от источника колебаний

13 Основные характеристики Период колебания – это время, в течении которого тело совершает одно полное колебание. Т – период. [T] =1 с Частота - число колебаний,совершаемых телом за 1 с.. [ ν ] =1Герц=1Гц Амплитуда – наибольшее смещение тела от его положения равновесия А – амплитуда. [A] – 1 м Длина волны – это расстояние, на которое распространяется волна за время равное периоду колебания. Скоростью распространения волны называют скорость перемещения гребня или впадины в поперечной волне.

14 Уравнение бегущей волны Т ( Х = 0 ) S t S = S sin t m 0 X S = S sin [ ( t - ) ] m X

15 Уравнение волны Выражает зависимость смещения колеблющейся точки от координаты ее равновесного положения и времени. S=f(x,t)S=f(x,t) S= A cos (ωt - ωx/V) = A cos (ωt - kx) S= A cos [ω (t - τ )], τ =x/V, S= A cos [ω (t - x/V)] уравнение плоской волны. φ = ω (t - x/V) фаза волны k= ω/V=2π/λ ω=2π/Т V=λ/Т волновое число

16 1234 Плоская волна Луч – вектор волновой поверхности (показывает направление распространения волны) Волновая поверхность (поверхность одинаковой фазы)

17 Сферическая волна Амплитуда колебаний в сферической волне обязательно убывает по мере удаления от источника.

18 Скорость распространения фиксированной фазы колебаний называют фазовой скоростью dφ/dt = 0 = ω (dt - dx/V) φ = ω (t - x/V) = Const V = dx/dt скорость распространения фиксированной фазы колебаний, которую называют фазовой и есть обычная скорость распространения волны V = dx/dt Групповая скорость –это скорость перемещения энергии группы волн.

19 Волновое уравнение S= A cos (ωt - kx) S= A cos [ω (t - x/V)] Продифференцируем это уравнение дважды по времени t и дважды по х. волновое уравнение

20 Звуковые волны переносят энергию, которая, как и другие виды энергии, может использоваться человеком. Но главное – это огромный диапазон выразительных средств, которуми обладают речь и музыка. Еще с древних времен звуки служили людям средством связи и общения друг с другом, средством познания мира и овладения тайнами природы. Звуки – наши неизменные спутники. Они по-разному действуют на человека: радуют и раздражают, умиротворяют и придают силы, ласкают слух и пугают своей неожиданностью.

21 Звуковые волны Акустические волны Акустические волны – колебания которуе могут восприниматься человеческим ухом, т.е. колебания, вызываемые источником звука. Источник звука Источник звука – любое тело, колеблющееся со звуковой частотой (от 17 до Гц). В вакууме звуковые волны распространятся не могут !!!

22 Шкала звуковых волн.

23 Тон Тон -(музыкальный звук) – звук, являющийся периодическим процессом. Если этот процесс гармонический, то тон называют простым или чистым (камертон) Различают следующие звуки Колебания идеальной струны. Реальные колебания составляются из указанных. 1 основной тон, 25 вторая пятая гармоники, соответствующие первому четвёртому обертонам Ангармоническому колебанию соответствует сложный тон, которуй может быть разложен на простые. Наименьшая частота такого разложения υ 0 соответствует основному тону, остальные гармоники (обертоны) имеют частоты 2υ 0, 3 υ 0, и т.д. Спектр тона – линейчатый простой тон сложный звук

24 Шум Шум - беспорядочные колебания различной физической природы, отличающиеся сложностью временной и спектральной структуру Различают следующие звуки Спектр шума – сплошной

25 Цвета шума система терминов, приписывающая некоторум видам шумовых сигналов определённые цвета исходя из аналогии между спектром сигнала произвольной природы и спектрами различных цветов видимого света. Белый шум это сигнал с равномерной спектральной плотностью на всех частотах и дисперсией, равной бесконечности. Является стационарным случайным процессом. На практике сигнал может быть белым шумом только в ограниченной полосе частот. Розовый шум – сигнал, плотность которого по сравнению с белым шумом затухает на 3 децибела на каждую октаву. Пример розового шума звук пролетающего вертолёта.

26 Характеристики звука Физиологические Физические Высота Громкость Тембр Частота Амплитуда Набор доп. частот При переходе из одной среды в другую меняется скорость волны (меняется длина, частота волны остаётся неизменной).

27 Громкость звука Громкость звука субъективное восприятие силы звука (абсолютная величина слухового ощущения). Громкость главным образом зависит от звукового давления, амплитуды и частоты звуковых колебаний. Также на громкость звука влияют его спектральный состав, локализация в пространстве, тембр, длительность воздействия звуковых колебаний и другие фактору Интенсивность звука определяется избыточным звуковым давлением, возникающем при прохождении звуковых волн в среде. ρ - плотность среды С – скорость звука

28 Энергия, переносимая волнами- это энергия колебаний и она прямо пропорциональна квадрату частоты и квадрату амплитуды: Следовательно, и интенсивность звука пропорциональна квадрату частоты и квадрату амплитуды колебаний в звуковой волне и обратно пропорциональна площади тела, совершающего колебания, и времени воздействия S= A cos [ω (t - x/V)]

29 громкости звука Уровень громкости звука относительная величина. Она выражается в фонах и численно равна уровню звукового давления (в децибелах дБ), создаваемого синусоидальным тоном частотой 1 к Гц такой же громкости, как и измеряемый звук (равногромким данному звуку). За I 0 принимают интенсивность звука = Вт/м 2 – порог слышимости I = 10 Вт/м 2 порог болевого ощущения

30 Может быть создана объективная шкала уровней громкости. В ее основе лежит психофизический закон Вебера-Фехнера, согласно которому громкость звука пропорциональна логарифму его интенсивности k-зависит от частоты и интенсивности при f=1 к Гц k=1 Громкость в дБ Е= 1 дБ раз Если измеряется эффективное звуковое давление Δр сл =2*10 -5 Н/м 2 – звуковое давление нижнего порога восприятия звука За единицу громкости звука принят Бел (в честь А.Г. Белла, изобретателя телефона) На практике громкость измеряют в децибелах (дБ): 1 дБ = 0,1Б. Громкость в Белах

31 Для звукового восприятия имеет значение реверберация звука, т.е. постепенное ослабление его интенсивности вследствие поглощения при многократных отражениях от стен, потолков, предметов и т.д. Время реверберации – время за которое интенсивность звука в помещении уменьшается в 10 6 раз. пустой зал 4 с полный зал 1 с

32 Мы знаем, что энергия, переносимая волнами, прямо пропорциональна квадрату частоты и квадрату амплитуды: Следовательно, и интенсивность звука пропорциональна квадрату частоты и квадрату амплитуды колебаний в звуковой волне и обратно пропорциональна площади тела, совершающего колебания, и времени воздействия

33 Эффект Допплера Если источник звука и наблюдатель движутся друг относительно друга, частота звука, воспринимаемого наблюдателем, не совпадает с частотой источника звука (1842 г). Christian Andreas Doppler Приближение- высокочастотный звук Удаление- низкочастотный звук

34 Эффект Допплера

35

36 Кристаллы характеризуются наличием дальнего порядка – упорядоченное расположение частиц по отношению к любой частице наблюдается в пределах значительного объема. Газы имеют полностью разупорядоченное (хаотическое ) расположение частиц. Жидкости обладают ближним порядком. По отношению к любой частице расположение ближайших к ней соседей является упорядоченным. Но по мере удаления от данной частицы, расположение по отношению к ней других частиц становится все менее упорядоченным. Жидкое состояние

37 1 – вода; 2 – лед. Чем отличаются твердые тела от жидких?

38 Чем отличаются газообразное состояние от жидкого? 1 - водяной пар 2 - вода

39 Какие силы действуют на молекулы внутри жидкости? Поверхностное натяжение

40 Механизм возникновения свободной поверхностной энергии А Б

41 Поверхностное натяжение Молекулы жидкости располагаются близко друг к другу, поэтому силы притяжения между ними имеют значительную величину. Взаимодействие между молекулами быстро убывает с расстоянием, начиная с некоторого расстояния r (радиус молекулярного действия) силами притяжения между молекулами можно пренебречь. Радиус r имеет величину порядка м, то есть нескольких эффективных диаметров молекулы. Поверхностное натяжение Молекулы жидкости располагаются близко друг к другу, поэтому силы притяжения между ними имеют значительную величину. Взаимодействие между молекулами быстро убывает с расстоянием, начиная с некоторого расстояния r (радиус молекулярного действия) силами притяжения между молекулами можно пренебречь. Радиус r имеет величину порядка м, то есть нескольких эффективных диаметров молекулы.

42 Каждая молекула испытывает притяжение со стороны всех соседних с ней молекул, находящихся в пределах сферу молекулярного действия, центр которой совпадает с данной молекулой. Равнодействующая всех этих сил F для молекулы, находящейся от поверхности жидкости на расстоянии, превышающем r, в среднем равна нулю. Крестиками помечены другие молекулы. Каждая молекула испытывает притяжение со стороны всех соседних с ней молекул, находящихся в пределах сферу молекулярного действия, центр которой совпадает с данной молекулой. Равнодействующая всех этих сил F для молекулы, находящейся от поверхности жидкости на расстоянии, превышающем r, в среднем равна нулю. Крестиками помечены другие молекулы.

43 Если же молекула находится на расстоянии от поверхности, меньшем r, то вследствие того, что плотность пара (или газа, с которум граничит жидкость) во много раз меньше плотности жидкости, выступающая за пределы жидкости часть сферу молекулярного действия будет менее заполнена молекулами, чем остальная часть сферу. В результате на каждую молекулу, находящуюся в поверхностном слое толщиной r, будет действовать сила F, направленная внутрь жидкости. Величина этой силы растет в направлении от внутренней к наружной границе слоя.

44 Для перехода молекулы из глубины жидкости в поверхностный слой она должна совершить работу против действующих в поверхностном слое сил. Эта работа совершается молекулой за счет запаса ее кинетической энергии теплового движения и идет на увеличение потенциальной энергии молекулы. При обратном переходе молекулы в глубь жидкости потенциальная энергия, которой обладала молекула в поверхностном слое, переходит в кинетическую энергию молекулы. Для перехода молекулы из глубины жидкости в поверхностный слой она должна совершить работу против действующих в поверхностном слое сил. Эта работа совершается молекулой за счет запаса ее кинетической энергии теплового движения и идет на увеличение потенциальной энергии молекулы. При обратном переходе молекулы в глубь жидкости потенциальная энергия, которой обладала молекула в поверхностном слое, переходит в кинетическую энергию молекулы.

45 Итак, молекулы в поверхностном слое обладают дополнительной потенциальной энергией. Ее называют поверхностной энергией, она пропорциональна площади слоя S Е = S (1) где - коэффициент поверхностного натяжения. Итак, молекулы в поверхностном слое обладают дополнительной потенциальной энергией. Ее называют поверхностной энергией, она пропорциональна площади слоя S Е = S (1) где - коэффициент поверхностного натяжения. Поверхностная энергия, отнесенная к единице площади поверхности, называется поверхностным натяжением.

46 Положение равновесия отвечает минимуму потенциальной энергии, поэтому жидкость, предоставленная самой себе, принимает форму с минимальной поверхностью, т. е. форму шара. В поле сил земного тяготения жидкость принимает форму, соответствующую минимуму полной энергии - энергии в поле сил тяготения и поверхностной энергии. При увеличении размеров тела объем растет как куб линейных размеров, а поверхность - только как квадрат. Поэтому пропорциональная объему тела энергия в поле тяготения изменяется с размерами тела быстрее, чем поверхностная энергия. У малых капель жидкости преобладающую роль играет поверхностная энергия, вследствие чего такие капли имеют форму, близкую к сферической. Положение равновесия отвечает минимуму потенциальной энергии, поэтому жидкость, предоставленная самой себе, принимает форму с минимальной поверхностью, т. е. форму шара. В поле сил земного тяготения жидкость принимает форму, соответствующую минимуму полной энергии - энергии в поле сил тяготения и поверхностной энергии. При увеличении размеров тела объем растет как куб линейных размеров, а поверхность - только как квадрат. Поэтому пропорциональная объему тела энергия в поле тяготения изменяется с размерами тела быстрее, чем поверхностная энергия. У малых капель жидкости преобладающую роль играет поверхностная энергия, вследствие чего такие капли имеют форму, близкую к сферической.

47 Большие капли жидкости сплющиваются под действием сил тяготения, несмотря на то, что их поверхностная энергия возрастает. Большие маcсы жидкости принимают форму сосуда, в которуй они налиты, с горизонтальной свободной поверхностью. Из-за наличия поверхностной энергии жидкость стремится к сокращению своей поверхности. Большие капли жидкости сплющиваются под действием сил тяготения, несмотря на то, что их поверхностная энергия возрастает. Большие маcсы жидкости принимают форму сосуда, в которуй они налиты, с горизонтальной свободной поверхностью. Из-за наличия поверхностной энергии жидкость стремится к сокращению своей поверхности.

48 Рассмотрим часть поверхности жидкости, ограниченную замкнутым контуром. Стремление этого участка к сокращению приводит к тому, что он действует на граничащие с ним участки с силами f, распределенными по всему контуру. Эти силы называются силами поверхностного натяжения. Сила поверхностного натяжения направлена по касательной к поверхности жидкости и перпендикулярно к участку контура, на которуй она действует. Рассмотрим часть поверхности жидкости, ограниченную замкнутым контуром. Стремление этого участка к сокращению приводит к тому, что он действует на граничащие с ним участки с силами f, распределенными по всему контуру. Эти силы называются силами поверхностного натяжения. Сила поверхностного натяжения направлена по касательной к поверхности жидкости и перпендикулярно к участку контура, на которуй она действует.

49 Под действием сил поверхностного натяжения f поверхность жидкости сокращается, а контур уменьшается, смещаясь в каждой точке контура на величину х. Силы поверхностного натяжения f при перемещении малого участка контура l совершают работу А = f l х = f S где S - площадь поверхности, которую пересек участок контура l при своем перемещении. Данная работа совершается за счет уменьшения поверхностной энергии А = Е Сравнивая с (18.4.1), находим f = Под действием сил поверхностного натяжения f поверхность жидкости сокращается, а контур уменьшается, смещаясь в каждой точке контура на величину х. Силы поверхностного натяжения f при перемещении малого участка контура l совершают работу А = f l х = f S где S - площадь поверхности, которую пересек участок контура l при своем перемещении. Данная работа совершается за счет уменьшения поверхностной энергии А = Е Сравнивая с (18.4.1), находим f =

50 Значит, коэффициент поверхностного натяжения равен силе поверхностного натяжения, приходящейся на единицу длины контура, его размерность [ ] = Н/м У большинства жидкостей при Т = 300 К = – Н/м Величина коэффициента поверхностного натяжения зависит от природы жидкости, примесей и от условий, в которух она находится, в том числе от температуру. Вещества, ослабляющие поверхностное натяжение жидкости, называются поверхностно- активными. Для воды таким веществом является мыло. Оно уменьшает поверхностное натяжение воды с 7.5*10 -2 – 4.5*10 -2 Н/м. Значит, коэффициент поверхностного натяжения равен силе поверхностного натяжения, приходящейся на единицу длины контура, его размерность [ ] = Н/м У большинства жидкостей при Т = 300 К = – Н/м Величина коэффициента поверхностного натяжения зависит от природы жидкости, примесей и от условий, в которух она находится, в том числе от температуру. Вещества, ослабляющие поверхностное натяжение жидкости, называются поверхностно- активными. Для воды таким веществом является мыло. Оно уменьшает поверхностное натяжение воды с 7.5*10 -2 – 4.5*10 -2 Н/м.

51 Чтобы вытащить некоторое количество молекул из глубины жидкости на поверхность, надо затратить положительную работу внешних сил пропорциональную изменению площади поверхности. А внеш =σ S σ- коэффициент поверхностного натяжения [1 Н/м = 1 Дж/м 2 ] Поверхностное натяжение

52

53

54 Поверхностное натяжение зависит: 1. Природы жидкости; 2. Температуру;, Т 3. Давления;, р 4. Природы и концентрации растворенных веществ (могут, и не влиять).

55 Вещество Поверхностное натяжения, м Дж/м 2 Вода 72,8 Ртуть 436 Этанол 22,3

56 Зависимость поверхностного натяжения растворов от концентрации. 1 – поверхностно-активных; 2 – поверхностно-инактивных; 3 – не влияющих на величину поверхностного натяжения вещества.

57 Вещества Классы соединений Поверхностно- активные в-ва (ПАВ) Спирты; карбоновые кислоты; сложные эфиру; амины Поверхностно- инактивные в-ва (ПИВ) Неорганические кислоты; соли; основания; аминоуксусная кислота (глицин). Поверхностно- неактивные в-ва (ПНВ) Сахароза

58 Механизм удаления грязи с помощью мыльной воды Прямыми измерениями установлено, что поверхностное натяжение воды понижается в два с половиной раза при добавлении мыла: от 7*10-2 до 3*10-2 Дж/м 2