Теорема Безу. Схема Горнера и её применение Учитель математики Романовская Евгения Викторовна Белгородская область Губкинский район МБОУ «Вислодубравская. - презентация

1 Теорема Безу. Схема Горнера и её применение Учитель математики Романовская Евгения Викторовна Белгородская область Губкинский район МБОУ «Вислодубравская СОШ»

2 Содержание Вывод формул для схемы Горнера Демонстрация работы схемы Горнера Разложение многочлена по степеням двучлена Домашняя работа

3 Горнер Уильям Джордж ( ) Английский математик. Основные исследования относятся к теории алгебраических уравнений. Разработал способ приближенного решения уравнений любой степени. В 1819 г. ввёл важный для алгебры способ деления многочлена на двучлен (х – а) (схема Горнера).

4 Вывод формул для схемы Горнера Разделить с остатком многочлен f(x) на двучлен (x-c) значит найти такой многочлен q(x) и такое число r, что f(x)=(x-c)q(x)+r Запишем это равенство подробно: f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + …+f n-1 x + f n = =(x-c) (q 0 x n-1 + q 1 x n-2 + q 2 x n-3 +…+ q n-2 x + q n-1 )+r Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях: x n : f 0 = q 0 => q 0 = f 0 x n-1 : f 1 = q 1 - c q 0 => q 1 = f 1 + c q 0 x n-2 : f 2 = q 2 - c q 1 => q 2 = f 2 + c q 1 … X 0 : f n = q n - c q n-1 => q n = f n + c q n-1

5 Демонстрация работы схемы Горнера С помощью схемы Горнера разделим с остатком многочлен f(x) = x 3 - 5x на двучлен x-2 Записываем коэффициенты исходного многочлена f 0, f 1, f 2, f 3. f0f0 f1f1 f2f2 f3f c 2 Если делим на (x-c), то во второй строке слева пишем с Готовим пустые клетки для остатка r и коэффициентов неполного частного q 0, q 1,q 2 q0q0 q1q1 q2q2 r g 0 :=f 0 =1 1 g 1 := с *g 0 + f 1 * + =2 * 1 + (-5)=-3 g 2 := с *g 1 + f 2 =2 * (-3) + 0=-6 * + r:= с *g 2 + f 3 =2 * (-6) + 8= * + -4 Ответ: g(x)=x 2 -3x-6 ; r= -4. f(x)= (x-2)(x 2 -3x-6)-4

6 Разложение многочлена по степеням двучлена Используя схему Горнера, разложим многочлен f(x)=x 3 +3x 2 -2x+4 по степеням двучлена (x+2) f(x)=x 3 +3x 2 -2x+4 =(x+2)(x 2 +x-4) f(x)=x 3 +3x 2 -2x+4= (x+2)((x-1)(x+2)-2) f(x)=x 3 +3x 2 -2x+4= (((1*(x+2)-3)(x+2)-2)(x+2)) f(x) = x 3 +3x 2 -2x+4 = (x+2)(x 2 +x-4)+12 = (x+2)((x-1)(x+2)-2)+12 = = (((1*(x+2)-3)(x+2)-2)(x+2))+12 = (x+2) 3 -3(x+2) 2 -2(x+2)+12

7 Домашняя работ а 1. Разделить f(x)=2x 5 -x 4 -3x 3 +x-3 на x-3; 2. Используя схему Горнера, найдите целые корни многочлена f(x)=x 4 -2x 3 +2x 2 -x-6 (*Замечание: целые корни многочлена с целыми коэффициентами нужно искать среди делителей свободного члена ±1;±2;±3;±6)

8 Список литературы 1. Курош А.Г. Курс высшей алгебры 2. Никольский С.М, Потапов М.К. и др. 10 класс Алгебра и начала математического анализа.