НОД И НОК И ИХ ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ Автор работы: Корнева Кристина Александровна ученица 6 «а» класса Научный руководитель: Крутикова Елена Петровна. - презентация

1 НОД И НОК И ИХ ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ Автор работы: Корнева Кристина Александровна ученица 6 «а» класса Научный руководитель: Крутикова Елена Петровна учитель математики

2 ЧТО ТАКОЕ НОД И НОК?

3 НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ Например: (18, 27)= 9(36, 54 и 72) = 18 Для чисел а 1,а 2, …, an он обозначается (а 1,а 2, …, an). Наибольшее натуральное число, на которое делится каждое из данных целых чисел, называется наибольшим общим делителем этих чисел.

4 Ребята получили на новогодней ёлке одинаковые подарки. Во всех подарках вместе было 123 апельсина и 82 яблока. Сколько ребят присутствовало на ёлке? На ёлке ребята получили одинаковые подарки Значит число детей должно быть делителем числа апельсинов и делителем числа яблок. Делители числа 123 – это числа 1, 3, 41,123. Делители числа 82 – это числа 1, 2, 41,82. Есть только два общих делителя чисел 123 и 82: число 1 и число 41. Из условия ясно, что на ёлке было несколько ребят, значит, их 41.

5 Сначала запишем делители каждого из них в порядке возрастания: так будет легче высмотреть, какие числа встретятся дважды. Найдём наибольшие общие делители чисел 78 и 195 Числа, встретившиеся дважды, мы подчеркнули - это и есть общие делители. Выпишем их отдельно: 1, 3, 13, 39. Делители числа 78: 1, 2, 3, 6, 13, 26, 39, 78. Наибольшим из них является число 39. Оно называется наибольшим общим делителем чисел 78 и 195. Делители числа 195: 1, 3, 5, 13, 15, 39, 65, 195.

6 Наибольший общий делитель двух натуральных чисел - это наибольшее число, на которое оба данных числа делятся. Каждый делитель числа НОД(m,n) является общим делителем чисел m и n, наоборот, каждый их общий делитель является делителем числа НОД(m,n). Наибольший общин делитель натуральных чисел m и n обозначается НОД(m,n) по первым буквам слов « Наибольший Общий Делитель»

7 КАК НАЙТИ НОД?

8 РАЗЛОЖЕНИЕ НА ПРОСТЫЕ МНОЖИТЕЛИ Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел, надо: 1)Разложить их на простые множители; 2)Из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел; 3)Найти произведение оставшихся множителей.

9 АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА Чтобы найти наибольший общий делитель двух целых положительных чисел, можно воспользоваться алгоритмом Евклида: нужно сначала большее число разделить на меньшее, затем второе число разделить на остаток от первого деления, потом первый остаток - на второй и т.д. Последний ненулевой положительный остаток в этом процессе и будет наибольшим общим делителем данных чисел.

10 Алгоритм Евклида имеет много применений Равенства, определяющие его, дают возможность представить наибольший общий делитель d чисел a и b в виде d = ax + by (x; y - целые числа), что позволяет находить решение диофантовых уравнений. Алгоритм является средством для представления рационального числа в виде цепной дроби, что хорошо представлено в системах календаря.

11 АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА Обозначив исходные числа через а и b, положительные остатки, получающиеся в результате делений, через r 1, r 2, …, r n, а неполные частные через q 1, q 2,..., q n+1, можно записать алгоритм Евклида в виде цепочки равенств : a = bq 1 +r 1, b = r 1 q 2 +r 2, r n-2 = r n- 1q n + r n, r n-1 = r n q n+1. Приведем пример. Пусть а = 777, b = 629. Тогда 777 = , 629 = , 148 = 374. Последний ненулевой остаток 37 и есть наибольший общий делитель чисел 777 и 629.

12 ДИОФАНТОВЫЕ УРАВНЕНИЯ Диофантовыми уравнениями называют алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, для которых надо найти целые или рациональные решения. При этом число неизвестных в уравнениях должно быть не менее двух (если не ограничиваться только целыми числами). Диофантовые уравнения имеют, как правило, много решений, поэтому их называют неопределенными уравнениями. Это, например, уравнения: 3 х + 5 у = 7; x2 + y2 = z2; 3 х у 3 = 5z3. Названы они по имени греческого математика Диофанта, жившего в III в. Его книга «Арифметика» содержала большое количество интересных задач, ее изучали математики всех поколений.

13 АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА И КАЛЕНДАРЬ Год - это время, за которое Земля совершает по своей орбите полный оборот вокруг Солнца. Астрономы подсчитали, что год составляет 365 сут 5 ч 48 мин 46 с или 365, сут. Но пользоваться таким сложным числом очень неудобно. Хотелось бы, чтобы в году было целое число суток.

14 Впервые порядок в счете времени навел в I в. до н.э. римский император Юлий Цезарь. Он постановил считать одни годы: по 365 суток, а другие по 366, чередуя их по виду: три года подряд коротких, четвертый - длинный. Гораздо позже, с введением христианского летосчисления, високосным стали считать каждый год, порядковый номер которого делится на 4. Этот календарь в честь Юлия Цезаря называется юлианским. По нему средняя продолжительность года составляет 365 сут 6 ч. больше истинной лишь на 11 мин 14 с. Однако и это решение оказалось неудовлетворительным. К XVI в. ошибка, накапливаясь, ставила уже около 10 сут.

15 Следующую реформу календаря Григорий XIII- папа римский. Он создал специальную комиссию для разработки по которой весеннее равноденствие выпадало бы на 21 марта и впредь больше не отставало от этой даты. Решение папы Григория было вызвано трудностями использования юлианского календаря при расчетах дат церковных праздников. Решение комиссии, утвержденное Григорием XIII в 1582 г., было достаточно простым: сдвинуть числа на 10 оставить чередование простых и високосных лет, при этом решили, что если порядковый номер года оканчивается двумя нулями, но число сотен не делится на 4, то этот год простой. Например, по этому правилу 1900 простой, а високосный.

16 В наше время расхождение между юлианским и новым, григорианским календарями составляет 13 дней, поскольку с тех пор накопилось еще три дня (в 1700, 1800 и 1900 гг.). Из 400 лет по юлианскому календарь 100 високосных, а по григорианскому - 97, поэтому продолжительность григорианского года составляет 365, или 365,2425 сут, т.е. 365 сут 5 ч 49 мин 12 с, т.е. она больше истинной лишь на 26 с.

17 Нахождение наибольшего общего делителя двух чисел оказывается полезным при сокращении дробей: после сокращения на наибольший общий делитель числителя и знаменателя полученная дробь будет уже несократимой

18 НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ Например: (6, 8) = 24(21,42,63) = 126 Для чисел а 1,а 2, …, an он обозначается [а 1,а 2, …, an]. Наименьшее натуральное число, делящееся на каждое из данных целых чисел, называется наименьшим общим кратным этих чисел.

19 НОК Если числа а и b одного знака, то [а, b] - ab/(a,b), где [а, b] - наибольший общий делитель чисел а и b. Таким образом, вычисление наименьшего общего кратного чисел можно свести к вычислению их наибольшего общего делителя. Если же нам известны разложения чисел а и b на простые множители, то получить наименьшее общее кратное чисел а и b можно так: выписать подряд простые числа, входящие хотя бы в одно из разложений, причем если простое число p входит k раз в разложение одного из чисел, l раз в разложение другого и k < l, то число p следует выписать l раз; произведение всех выписанных чисел и даст наименьшее общее кратное чисел а и b.

20 ЗАДАЧА Экскурсантов можно посадить в лодке Если числа а и b одного знака, то [а, b] - ab/(a,b), где [а, b] - наибольший общий делитель чисел а и b. Таким образом, вычисление наименьшего общего кратного чисел можно свести к вычислению их наибольшего общего делителя. Если же нам известны разложения чисел а и b на простые множители, то получить наименьшее общее кратное чисел а и b можно так: выписать подряд простые числа, входящие хотя бы в одно из разложений, причем если простое число p входит k раз в разложение одного из чисел, l раз в разложение другого и k < l, то число p следует выписать l раз; произведение всех выписанных чисел и даст наименьшее общее кратное чисел а и b.и по 8 человек или по 12 человек в каждую. В том и в другом случае свободных мест не останется. Сколько было экскурсантов, если их больше 80, но меньше 100? Чтобы узнать сколько было экскурсантов, которых можно было посадить в лодкеи по 8 или 12 человек, нужно, чтобы их число было кратно и 8, и 12. Запишем ряды кратных этих чисел и подчеркнем в них общие числа. Ряд кратных числа 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108… Ряд кратных числа 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96, 104… Так, как в задаче сказано, что экскурсантов было больше 80 и меньше 100, то подходит число 96.

21 Наименьшее общее кратное натуральных чисел m и n обозначается HOK(m,n) - по первым буквам слов «Наименьшее Общее Кратное» Каждое кратное числа НОК(т,n) является общим кратным чисел m и n, и, наоборот, каждое их общее кратное является кратным числа НОК(m,n). Например, зная, что НОК(40,150) = 600, можно сразу сказать, что общими кратными чисел 40 и 150 будут числа ряда 600, 1200, 1800, 2400, 3000, ….

22 ПРИМЕНЕНИЕ НОД И НОК

23 Найдите наибольший общий делитель чисел : а) 242 и 132; б) 729 и 216 Найдите наименьшее общее кратное чисел: а) 156 и 91; б) 729 и 343. Вычислите: а) НОД(91,169); б) НОК (144,216); в) НОК(169,1001).

24 Валя и Вера покупают одинаковые почтовые наборы. Каждый набор состоит из открытки с конвертом. Валя уплатит за наборы 65 руб., а Вера - на 26 руб. больше. Сколько стоит один набор? Сколько наборов купила Валя? А Вера? Длина комнаты 575 см, а ширина 375 см. Пол в комнате нужно выложить декоративными плитками в форме квадрата. Каков наибольший возможный размер такого квадрата? Сколько плиток такого размера, понадобится?

25 В КОНТРОЛЬНО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ МАТЕРИАЛАХ ПО МАТЕМАТИКЕ ВКЛЮЧЕНЫ УПРАЖНЕНИЯ НА БОЛЕЕ ГЛУБОКОЕ ЗНАНИЕ ИССЛЕДУЕМОЙ ТЕМЫ: Найдите все пары натуральных чисел, наименьшее общее кратное которых равно 78, а наибольший общий делитель равен 13. РЕШЕНИЕ: НОК ( x, y) = 78 НОД ( x, y) = 13 Делители числа 78: 2, 3, 6, 13, 26, 39, 78. Числа кратные 13: 13, 26, 39, 52, 65, и 13НОК (78 и 13) = 78НОД (78 и 13) = и 26НОК (39 и 26) = 78НОД (39 и 26) = 13

26 Найдите все пары натуральных чисел, разность которых 66, а наименьшее общее кратное равно 360. РЕШЕНИЕ: m – n = 66 m= n + 66 НОК ( m, n ) = 360 НОК ( n + 66, n) = : n 360 : n + 66 Делители числа 360: 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 60, 72, 90, 120, 180, 360. Мы видим: 90 – 24 = 66 НОК (90 и 24) = 360

27 Натуральные числа a, b и с таковы, что НОК(a,b) = 60, НОК(a,c) = 270 (НОК(x, y) - наименьшее общее кратное чисел х и у). Найдите НОК(b,с). РЕШЕНИЕ: НОК (a, b) = 60 НОК ( a, c) = 270 НОК ( b, c) = ? Делители числа 60: 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. а = 2, b = 60НОК (2 и 60) = 60

28 Половину книжной занимают словари толщиной 5 см, другую половину – энциклопедии толщиной 7 см. Докажите, что на полке стоит не меньше 12 книг. РЕШЕНИЕ: НОК (5 и 7) = 35 мм – ½ полки 35 2 = 70 мм – вся полка, тогда 35 : 5 = 7 словарей 35 : 7 = 5 энциклопедий = 12 – всего книг

29 Треть книжной полки занимают словари толщиной 5 см, а оставшиеся две трети – энциклопедии толщиной 7 см. Докажите, что на полке стоит не меньше 17 книг. РЕШЕНИЕ: а : 52 а : 7 НОК ( 5 и 7) = 35 – 1/3 полки 2 а = 70 – 2/3 полки 35 3 = 105 см – вся полка, тогда 35 : 5 = 7 словарей 70 : 7 =10 энциклопедий = 17 книг - всего

30 Треть книжной полки занимают книги толщиной 12 мм, другую треть – книги толщиной 15 мм и последнюю треть – книги толщиной 18 мм. Все книги разные. Олег читая по одной книге в день, прочитал их меньше чем за два месяца. Сколько книг стоит на полке (перечислите все возможности)? РЕШЕНИЕ: НОК ( 12, 18 и 15) = 180 мм – 1/3 полки 180 : 12 = 15 книг по 12 мм 180 : 18 = 10 книг по 18 мм 180 : 15 = 12 книг по 15 мм = 37 книг - всего

31