Урок 2

2 Геометрия (планиметрия) Геометрия (планиметрия) Понятия без определений (точка, прямая) Определения Признаки Теоремы Свойства Следствия Аксиомы матрица логарифм

3 Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Следствиями называются утверждения, которые выводятся непосредственно из аксиом или теорем.

4 1°. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую. 2°. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

5 1°. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

6 2°. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

7 198, 200, 208, 218, 219*

8 198 Прямые a и b перпендикулярны к прямой р, прямая с пересекает прямую а. Пересекает ли прямая с прямую b? Решение. По условию прямые а и b перпендикулярны к прямой р, поэтому они не пересекаются (см. п. 12 учебника), т. е. а || b. По условию прямая с пересекает одну из параллельных прямых (прямую а), поэтому, согласно следствию 1° из аксиомы параллельных прямых, она пересекает и прямую b. Ответ. Да. п. 12. Две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются

9 200 На рисунке 115 AD || р. Докажите, что прямая р пересекает прямые АВ, АЕ, АС, ВС и PQ. Решение. Прямые АВ, АЕ и АС пересекают прямую АВ, а по условию AD || р. Согласно следствию 1° из аксиомы параллельных прямых, прямые АВ, АЕ и АС пересекают прямую р. Аналогично, прямые ВС и PQ пересекают прямую AD, рис. 115 поэтому они пересекают и параллельную ей прямую р.

Разность двух односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 50°. Найдите эти углы. Решение. Пусть < 1 и < 2 односторонние углы при пересечении параллельных прямых а и b секущей с. Тогда < 1 + < 2 = 180°. По условию < 1 – < 2 = 50°, следовательно, < 1 = 115°, < 2 = 65°. Ответ. 115° и 65°. 2 1

Прямые а и b пересекаются. Можно ли провести такую прямую, которая пересекает прямую а и параллельна прямой b? Ответ обоснуйте. Решение. На прямой а отметим точку М, не лежащую на прямой b, и проведем через нее прямую с, параллельную прямой b (рис. 138). Прямые а и с не совпадают, так как прямая а пересекает прямую b, а с || b. Таким образом, прямая с пересекает прямую а и параллельна прямой b. Ответ. Да.

12 219* Даны две прямые а и b. Докажите, что если любая прямая, пересекающая прямую а, пересекает и прямую b, то прямые а и b параллельны. Решение. Предположим, что прямые а и b не параллельны, т. е. пересекаются. Тогда можно провести такую прямую с, которая пересекает прямую а и не пересекает прямую b (задача 218). Но это противоречит условию задачи. Значит, наше предположение неверно, и а || b.

Пункт 27, 28; ответить на вопросы 7–11 на с. 68 учебника; решить задачи 213, 214, 215