Переход Андерсона: теория и численный эксперимент И.М.Суслов Институт физических проблем им. П.Л.Капицы РАН

Переход Андерсона

Современная ситуация: Численный счет противоречит всей прочей информации о критическом поведении Numerical analysis of the Anderson localization

Самосогласованная теория Вольхардта-Вольфле дает результат который: (а) выделяет значения d c1 =2 и d c2 =4 как верхнюю и нижнюю критические размерности; (б) согласуется с результатом для d=2+ ε (в) удовлетворяет скейлинговому соотношению s= ν (d-2) для dd c2 ; (д) согласуется с результатами s=1 и ν =1/2 для d=. (е) согласуется с экспериментальными результатами s1 и ν 1 для d=3.

Гипотеза о том, что результаты теории Вольхардта-Вольфле являются точными: Вывод без грубых аппроксимаций:

Численные результаты описываются эмпирической формулой Другие результаты для d=3 :

Finite-size scaling (дальний порядок) (ближний порядок) Скейлинговое соотношение

Теория Вольхардта-Вольфле Основана на существовании диффузионного полюса в неприводимой четыреххвостке играющей роль вероятности перехода в квантовом кинетическом уравнении. Аппроксимация типа τ - приближения дает уравнение самосогласования = + +

Уравнение самосогласования Базовый интеграл конечен при m=0 только для d>2. Металлическая фаза: D=const при ω 0 т.е. s=1.

Уравнение самосогласования Диэлектрическая фаза: D = - iω ξ 2 при ω 0 ( m= ξ -1 )

Квазиодномерные системы Для описания квазиодномерных систем базовый интеграл достаточно представить в виде ( ) : Член с расходится при m 0. Разбиение интеграла

Преобразование интегралов: что надо подставить в уравнение самосогласования

Уравнение самосогласования в пределе a0 дает скейлинговые соотношения Определение функции H(z):

Двумерный случай Используя асимптотики имеем в переменных y=ξ 1D /L и x=ξ/L

MacKinnon – Kramer, D case

M.Schreiber, M.Ottomeier, 1992

Трехмерный случай Используя асимптотики имеем в переменных y=ξ 1D /L и x=ξ/L или для зависимостей от L

MacKinnon – Kramer, D case

P.Markos, D case

Построение скейлинговых кривых

P.Markos, D case

P.Markos, D case

Почему численные эксперименты всегда дают ν > 1 ? ν = 1.2 ± 0.3 ν = 1.50 ± 0.05

Ситуация в окрестности перехода Стандартные представления: На самом деле: В общем случае:

В теории Вольхардта – Вольфле при d=3 : (с точностью до членов, исчезающих при L ). Вместо стандартного P.Markos, 2006

Fitting by cL 0.63

Fitting by c(L+L 0 )

Скейлинг для высших размерностей Меняется ситуация с интегралом Теперь нельзя устремлять Λ, но зато есть сходимость на нижнем пределе так что вычисление возможно аналитически при произвольных значениях mL.

d>4 Получается скейлинговое соотношение в переменных

d=4 Получается скейлинговое соотношение в переменных Возникает «модифицированная длина»

d = 4 - ε Получается скейлинговое соотношение в переменных Возникает «модифицированная длина»

Поведение в точке перехода для «стандартного» скейлингового параметра

Другие варианты конечно-размерного скейлинга 1.Квазиодномерные системы 2.Статистика уровней 3.Распределение кондактансов 4.Средний кондактанс 5.Параметр Таулеса («ускорение уровней») 6.Inverse participation ratios

Статистика уровней I.Kh.Zharekeshev, B.Kramer, PRL, 79, 717 (1997) Размеры до I.M.Suslov, cond-mat/

ν =1.40 ± 0.15

B.Kramer et al, 2010 ν=1.57±0.02