Постановка задачи аппроксимации Линейная, нелинейная (второго порядка) аппроксимация Лекция 5. - презентация

1 Постановка задачи аппроксимации Линейная, нелинейная (второго порядка) аппроксимация Лекция 5

2 Постановка задачи аппроксимации Пусть, изучая неизвестную функциональную зависимость y=f(x), был произведен ряд измерений величин x и y. xx1x1 x2x2 x3x3 …xnxn yy1y1 y2y2 y3y3 …ynyn Если аналитическое выражение функции f(x) неизвестно или весьма сложно, то возникает практически важная задача: найти такую эмпирическую формулу значения которой при x=x i возможно мало отличались бы от опытных данных y i (i=1, 2, …, n).

3 Постановка задачи аппроксимации Геометрически задача построения эмпирической формулы состоит в проведении кривой, «возможно ближе» примыкающей к системе экспериментальных точек

4 Этапы построения эмпирической зависимости Выяснение общего вида формулы. Если характер зависимости неизвестен, то вид эмпирической формулы произвольный. Предпочтение простым формулам, обладающим хорошей точностью. Во многих случаях задача состоит в аппроксимации неизвестной функциональной зависимости между x и y многочленом заданной степени m Определение наилучших параметров эмпирической зависимости ( … ) – метод наименьших квадратов

5 Метод наименьших квадратов Пусть в результате эксперимента получена таблица значений функции y i (i=1,...,n). Задача состоит в аппроксимации неизвестной функциональной зависимости между x и y эмпирической формулой : где m – число параметров; a 1 …a m – неизвестные коэффициенты.

6 Суть метода Определить искомые коэффициенты а j зависимости таким образом, чтобы этот полином наилучшим образом описывал экспериментальные данные, а сумма квадратов отклонений экспериментальных значений y i от соответствующих значений, вычисленных по аппроксимирующему многочлену, была минимальной. где F(a 0, a 1, …, a m ) – функция коэффициентов.

7 В точке минимума функции F ее производные обращаются в нуль.

8 Полиномиальная зависимость Пусть эмпирическая функция представлена полиномом: P(x)=a 0 +a 1 x+a 2 x a m x m

9 Используя систему, получаем математическое условие минимума для уравнения: В результате решения системы линейных уравнений получим коэффициенты а 0,а 1,...,а m искомого многочлена.

10 Линейная аппроксимация Часто при обработке экспериментальных данных оказывается возможным построить линейный аппроксимирующий полином, т.е. описать закон изменения x линейным уравнением P 1 (x)=a 0 +a 1 x Необходимо найти коэффициенты a 0, a 1

11 Расчет неизвестных коэффициентов a 0 и a 1

12

13 Выражения для коэффициентов a 0 и a 1.

14

15 Определитель системы Определение коэффициентов a 0 и a 1 возможно, если определитель системы 0. Если определитель D=0, то система или не имеет решений (т.е. несовместна), или имеет бесконечно много решений (т.е. система неопределенная).

16 Пример: Дана табличная зависимость теплоемкости оксида углерода от температуры Необходимо построить аппроксимирующий полином в виде y=a 0 +a 1 x., где h=100, С р =y. Для вычисления коэффициентов составим таблицу: Введем обозначения

17 ITiTi xixi yiyi x i y i / Таблица

18 y= x.

19 Разность между исходными данными и результатами расчета по полученному выражению определяет погрешность аппроксимации. Выполненная проверка показала, что полученное уравнение (линейное) соответствует эксперименту. Если погрешность велика, то выбирают другой вид аппроксимирующего полинома.

20 Параболическая аппроксимация

21 В том случае, если экспериментальные данные не удается с достаточной степенью точности аппроксимировать линейным полиномом, применяют аппроксимацию 2-го и большего порядков. Такая аппроксимация называется нелинейной. Рассмотрим случай многочлена 2-ой степени: Запишем квадратичное отклонение. min

22 Приравняем к нулю частные производные

23 После преобразований, получаем:

24 Введем обозначения:

25 С учетом принятых обозначений система линейных уравнений будет иметь следующий вид:

26 Определим неизвестные коэффициенты a 0, a 1, a 2.

27

28 Необходимое условие: определитель системы

29 xixi yiyi x i y i S1=6S1=6S 5 =13S 2 =14S 3 =36S 4 =98S 6 =26S 7 =64 Пример: Дана табличная зависимость y от x. Необходимо построить аппроксимирующий полином в виде y=a 0 +a 1 x+a 2 x 2. Таблица

30 y=a 0 +a 1 x+a 2 x 2 = 1,05 + 2,05 x – 0,25 x 2 Найдем коэффициенты полинома

31 Получили достаточно хорошее совпадение расчетных и экспериментальных данных