Виды методов решений задач Аналитические: Y=F(X) Численные : Y i ~ X i Конечно-разностные с начальными или граничными условиями. Аппроксимируют всю Область. - презентация

1

2

3 Виды методов решений задач Аналитические: Y=F(X) Численные : Y i ~ X i Конечно-разностные с начальными или граничными условиями. Аппроксимируют всю Область решения Конечно- Элементные с кусочными Аппроксимациями В каждом конечном Элементе по отдельности Приближенно аналитические: Например Y=ΣF(X) где сумма должна быть Заведомо конечной в бесконечном ряду. Или Y=F1(X) где F1~F Точное решение заменяется приближенной функцией

4 Виды задач Для тел с сосредоточенными параметрами Пример математического маятника Для тел с распределенными параметрами Каждый узел описывается ограниченным набором значений искомых величин Каждый узел описывается сколь угодно большим количеством искомых величин. Но их количество всегда конечно.

5 Аппроксимация и сходимость

6 Основное уравнение вычислительной математики - представление функции в виде ряда Тэйлора в окрестности точки. Оценки производных при помощи конечных разностей Погрешности производных при их конечноразностном представлении При аппроксимации разностями вперед или назад При аппроксимации Центральными разностями

7 Базисные функции для кусочной аппроксимации функций Основные требования Примеры базисных функций

8 Кусочное представление решений задач Условия сшивки В зависимости от вида базисных функций может понадобится большее количество условий. Тогда можно наложить еще условия на производные более высоких порядков

9 Глобальные и локальные координаты Глобальные координаты связаны с пространством или телом. Они едины для всего объекта. Локальные координаты связаны с элементом тела. Для каждого элемента они свои.

10 Вариационная формулировка метода конечных элементов В качестве примера рассмотрим задачу теплопроводности плоского квадрата. Уравнение задачи теплопроводности и граничные условия запишется в виде: Условия Дирихле Условия Нэймана Построим вариационную формулировку задачи Можно показать, что решение исходной задачи совпадает с функцией, минимизирующей следующий функционал: Граничные условия Нэймана для минимизирующей функции выполняются автоматически :

11 Разобьем область задачи на L треугольных областей конечных элементов Общее число узлов обозначим n, а число элементов l. По свойствам интегралов и по условиям сшивки на границах элементов можно записать: Здесь - элементарный вклад определяемый равенством: Выберем в качестве базисных - линейные функции. Рассмотрим элемент. Для упорядоченности номера узлов в нем будем перечислять в порядке обхода против часовой стрелки - i, j, k. Запишем: Для определения постоянных запишем эти уравнения в узлах i, j, k.

12 Решение системы 3-х алгебраических уравнений имеет решение, если ее определитель не равен 0. Т.е. - Решим систему уравнений (1) относительно коэффициентов. Получим: Здесь введены обозначения: Выражения для остальных постоянных могут быть получены из предыдущих выражений путем циклической перестановки индексов. Здесь и далее индекс элемента опущен для простоты. Подстановка (2) в выражение для даст (3).

13 Матрица базисных функций вектор-столбец узловых значений Выражение (3) можно переписать в виде: Здесь матрица базисных функций, а - вектор узловых значений искомой функции. Найдем производные в выражении для. Получим (4): Подставим (4) в выражение для. Получим (5): Т.к. в выражении (5) подынтегральная функция не зависит от x и y и с учетом (6) получим (7):

14 Элементарные вклады в суммируются в функционале и теперь мы имеем: Искомые узловые значения здесь рассматриваются как переменные которые мы можем определить исходя из условия минимума. Для этого потребуем равенства нулю всех производных вида : Ясно, что ненулевой вклад дадут только те элементы, которые содержат узел р.

15 Пример полученной матрицы задачи