Выполнил студент : Санкт - Петербург 2012 Министерство образования Российской Федерации Санкт - Петербургский государственный архитектурно - строительный. - презентация

1 Выполнил студент : Санкт - Петербург 2012 Министерство образования Российской Федерации Санкт - Петербургский государственный архитектурно - строительный университет А МНЕ НЕ ЖАЛКО !

2 где x - параметр, определяющий некоторую координату исследуемого объекта, p(x), q(x), f(x) – заданные функции. Для решения задачи, определяемой (1), необходимо задать дополнительные условия, определяющие состояние исследуемого объекта при некоторых заданных значениях координатной переменной x. Условия, определяющие состояние объекта в заданных точках x, называются граничными. Таким образом, для нахождения решения уравнения (1) необходимо определить граничные условия. Например, следующим образом : где Y0, Yk – фиксированные числовые значения Y0 и Yk, определяющие значения исследуемой координаты. (1) (2)

3 Одним из численных методов, применяемых для решения таких уравнений, является метод конечных разностей, называемый также методом сеток. При использовании метода конечных разностей решение задачи осуществляется в результате последовательной реализации четырех этапов : 1) дискретизация области изменения аргумента х ; 2) переход от непрерывной дифференциальной математической модели к конечно - разностной модели исследуемого объекта ; 3) оформление разностного аналога краевых условий задачи ; 4) решение полученной в результате выполнения первых трех шагов математической системы линейных алгебраических уравнений.

4 Первый этап : Для дискретизации области изменения аргумента х интервал изменения х разделим на n равных частей. При этом формируется сетка с (n+1) равноотстоящими узлами. Расстояние между узлами ( шаг сетки ) равен h = (xk - x0 )/n, а значения х i в узлах сетки легко вычисляются по формуле х i = х 0 + i * h (i=0,1,2,...,n). Второй этап : Реализуется на базе классического определения производной как предела : Из (3), получим выражения для аппроксимации первой производной yi', учитывающие значения функции в двух симметричных относительно х i узлах : Для вывода разностной формулы второй производной воспользуемся тем, что y'' = ( y' )', а в записи первой производной используем оба варианта представления производной в формулах (4): (3) (4) (5)

5 Подставив выражения (4) и (5) в формулу (1), получим : Очевидно, что формула (6) будет верна только для внутренних узлов х i (i=1,2,…,n-1). Умножим (6) на h2 и приведем подобные члены. В итоге получим Введем дополнительные обозначения и запишем (7), используя обозначения (8). Отметим, что при этом необходимо изменить знак перед коэффициентом C i. Таким образом, мы получили систему уравнений (9), содержащую (n-1) линейное алгебраическое уравнение относительно (n+1) неизвестных yi (i =0, 1, 2, …,n). Окончательное оформление системы уравнений выполняется при записи разностного аналога краевых условий задачи. Недостающие уравнения мы получаем из краевых условий : (7) (8) (9) (10) (6)

6 Запишем эту систему для случая n = 5. Полученная система линейных алгебраических уравнений имеет трех диагональную матрицу. В первом уравнении этой системы коэффициенты А 0 = 0, С 0 = -1, а В 0 = 0. В пятом уравнении А 5 = 0, С 5 = -1, а В 5 = 0. Одним из эффективных методов решения систем уравнений такого типа является метод прогонки. (11)

7 Полученная нами система уравнений (11) является частным случаем систем уравнений с трех диагональными ленточными матрицами. Ниже приведена общая форма записи таких систем : (12)

8 Для разработки общей методики решения краевых задач в среде программы MS Excel рассматривается решение конкретного случая краевой задачи, определяемой уравнением (1), и коэффициентами при граничных условиях Запишем рассматриваемый пример при n, равном 5. Таким образом, число узлов сетки равно 6, а формат системы соответствует (11). Решение системы (12) ищется в виде : где α i, β i - неизвестные про гоночные коэффициенты [4]. Значения коэффициентов α i и β i, как показано в [4], вычисляются по формулам прямого хода метода прогонки. Запишем уравнение (15) для i = 0: (13) (14) (15) (16)

9 Приведём первое уравнение системы (12) к виду (16). Для этого перенесем член B0Y1 в правую часть и разделим уравнение на – С 0. Сравнивая (16) и (17) получаем значения про гоночных коэффициентов α 0 и β 0. Рассматривая остальные уравнения системы (12) получим общие рекуррентные формулы для коэффициентов α i и β i. Запишем систему уравнений, состоящую из уравнения (16) для i = n-1 и последнего уравнения системы (12): (19) (18) (17) (20)

10 Решая систему (20) и используя формулу (15) при i = n, находим выражение для Yn и соответствующий ему коэффициент прогонки β n : Определив значение β n, по формулам (15) находим в обратном порядке решение системы (12): Значение А 0 = 0, С 0 =-1, а значение В 0 =0. Аналогично для последнего уравнения имеем значение А n = 0 и С n =-1, В n =0. (21) (22)

11

12

13

14 Составляем матрицу и решаем ее

15 С помощью метода наименьших квадратов найти функцию, отображающую зависимость y от x

16

17 Составим канонический интерполяционный полином