Уравнения Определения Равенство с переменной g(x) = f(x) называется уравнением с одной переменной х. Всякое значение переменной, при котором f(x) и g(x) - презентация

1 Уравнения

2 Определения Равенство с переменной g(x) = f(x) называется уравнением с одной переменной х. Всякое значение переменной, при котором f(x) и g(x) принимают равные числовые значения, называется корнем уравнения. Решить уравнение - это значит найти все его корни или доказать, что их нет.

3 Равносильные уравнения Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными. Равносильными считаются и уравнения, у которых нет корней. Например, уравнения х + 2 = 5 и х + 5 = 8 равносильны; уравнения x = 0 и 3x = 0 равносильны, так как корней не имеют.

4 Теорема 1 Если в уравнении какое-нибудь слагаемое перенести из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному.

5 Теорема 2 Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

6 Линейные уравнения Линейным уравнением с одной переменной х называют уравнение вида ax = b, где a,b R; а называют коэффициентом при переменной, b - свободным членом.

7 Три случая для линейного уравнения ax = b 1) а 0; в этом случае корень равен b/a ; 2) а = 0, b = 0; в этом случае уравнение принимает вид 0 х = 0, что верно при любом х, т. е. корнем уравнения является любое действительное число ; 3) а = 0, b 0; в этом случае уравнение принимает вид 0 х = b, оно не имеет корней.

8 Квадратное уравнение Квадратным уравнением называется уравнение вида ax 2 +bx+c=0, где a, b, с R (a 0). Числа a, b, с носят следующие названия: a - первый коэффициент, b - второй коэффициент, с - свободный член.

9 Дискриминант Выражение D=b 2 –4ac называется дискриминантом квадратного уравнения. Если а = 1, то квадратное уравнение вида x 2 +px+q=0 называется приведенным, а его дискриминант D=p 2 –4q.

10 Теорема 3: D 0 Если D 0, то квадратное уравнение имеет корни x 1,x 2 R, причем если D = 0, то уравнение имеет два совпадающих корня, а если D > 0, то уравнение имеет два различных действительных корня, определяемых формулой:.

11 Теорема 3: D 0 Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.

12 Корни приведенного уравнения В случае приведенного квадратного уравнения и формулы корней имеют вид: