СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ И СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ Автор работы: Аверченко Екатерина, ученица 9 класса МОУ СОШ 2 с углубленным изучением отдельных предметов г. о Кинель Руководитель: Фролова Елена Юрьевна, учитель математики МОУ СОШ 2 с углубленным изучением отдельных предметов г. о Кинель

Актуальность: прочное освоение понятия «Система уравнений» создаёт условия для осознанного понимания изложения теории и решения разнообразных задач путём отбора оптимального способа решения и успешной подготовки к итоговой аттестации Проблема: необходимо было решить систему уравнений но известных из школьного курса алгебры способов решения было недостаточно

Цель работы: обобщить научные сведения по теме «Системы уравнений» и познакомиться с новыми способами решения систем Основные задачи: научиться решать системы нелинейных уравнений методом почленноеего умножения и деления; рассмотреть способ введения новых переменных и использовать его при решении систем уравнений; изучить теорию, связанную с симметрическими системами уравнений, и научиться решать системы такого вида; познакомиться с понятием однородных систем уравнений и способом их решения

ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ Система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными вида а 1 х + b 1 у = с 1, а 2 х + b 2 у = с 2, где а 1, b 1, с 1, а 2, b 2, c 2 – заданные числа, х, у - переменные, называется линейной. СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ способ сложения графический способ способ подстановки

НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ Нелинейная система уравнений имеет вид: где р 1, р 2, …, р т – многочлены относительно переменных х 1, х 2, …, х п. СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ Способ подстановки Способ Графический способ сложения Метод почленноеего уравнений системы умножения и деления Метод введения новой переменной

СИММЕТРИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ Система уравнений Любой симметрический многочлен от переменных х 1, х 2, …, х n может быть представлен в виде многочлена от основных симметрических многочленов σ 1, σ 2, …, σ n Теорема Основными симметрическими многочленами двух переменных х и у являются многочлены σ 1 = х + у и σ 2 = ку, а в трёх переменных х, у и z - многочлены называется симметрической, если все многочлены р 1 (х 1, х 2, …, х n ), …, р m (х 1,х 2, …, х n ) являются симметрическими многочленами, то есть если их значения не изменяются при любой перестановке аргументов. σ 1 = х + у + z, σ 2 = ку + уz + zх и σ 3 = кук.

ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ При решении однородных уравнений используется замена: х = ty, у = tx Система алгебраических уравнений от двух переменных х и у вида называется однородной, если многочлены р 1, р 2, q 1, q 2 являются однородными, причём степень многочлена р 1 равна степени многочлена р 2, а степень многочлена q 1 равна степени многочлена q 2. Система алгебраических уравнений от двух переменных х и у вида называется однородной, если многочлены р 1, р 2, q 1, q 2 являются однородными, причём степень многочлена р 1 равна степени многочлена р 2, а степень многочлена q 1 равна степени многочлена q 2. При этом уравнение р(х, у, …, v) = 0 называется однородным уравнением степени n. Многочлен р (х,у,…,v) степени n от переменных х, у, …, v называется однородным, если для любого числового набора переменных х, у,…,v и при любом фиксированном λ 0 имеет место тождество p (λx, λy, …, λv) = λ n p (x, y, …, v). Многочлен р (х,у,…,v) степени n от переменных х, у, …, v называется однородным, если для любого числового набора переменных х, у,…,v и при любом фиксированном λ 0 имеет место тождество p (λx, λy, …, λv) = λ n p (x, y, …, v).

Симметрические системы Однородные системы Метод введения новых переменных

В процессе написания работы обобщены научные сведения по теме «Системы уравнений», рассмотрены способы решения линейных и нелинейных систем, приведены основные теории, связанные с симметрическими и однородными системами уравнений. Обработка анкетных данных позволила сделать следующие выводы: респондентов считают математику важным предметом и хотят дополнительно заниматься ею, - желают успешно сдать ЕГЭ и продолжить обучение в классе с математическим профилем, - намерены поступать в институты на специальности, связанные с математикой. ЗАКЛЮЧЕНИЕ 85% 92% 58%

1. Аксенова М. Д. Энциклопедия для детей Аванта +. Т.11. Математика. 2. Алимов Ш. А. Алгебра для 6-8 классов. – М.: Просвещение, – 542 с. 3. Барчунова Ф. М., Бесчинская А. А., Денищева Л. О. и др. Алгебра в 6-8 классах: Пособие для учителя. – М.: Просвещение, – 384 с. 4. Вавилов В. В. Задачи по математике. Алгебра. – М.: Наука, – 432 с. 5. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л. И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов. – М.: Просвещение, – 271 с. 6. Крамор В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. – М.: Просвещение, – 416 с. 7. Никольский С. М. Математика – школьная энциклопедия. – М.: Большая российская энциклопедия, Шарыгин И. Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учебное пособие для 10 класса средней школы. – М.: Просвещение, – 252 с. 9. Яковлева Г. Н. Пособие по математике для поступающих в вузы. – М.: Наука, 1982.– 608 с. 10. «Симметрические системы» БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

Способ подстановки При решении системы двух линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки поступаем следующим образом: выражаем из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую; подставляя в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение, решаем уравнение с одной переменной, определяя её значение; находим соответствующее значение второй переменной; записываем ответ в виде пары значений (х; у)

Графический способ Алгоритм этого метода заключается в следующем: строим графики каждого из уравнений системы; находим координаты точки пересечения построенных графиков; записываем в ответ координаты точки пересечения графиков уравнений

Способ сложения Суть этого метода такова: уравниваем модули коэффициентов при одном из неизвестных; складывая или вычитая почленноее уравнения, получаем уравнение с одной переменной, решая его, находим одно неизвестное; подставляя найденное значение в одно из уравнений исходной системы, находим второе неизвестное; записываем ответ в виде пары значений (х; у)

Перепишем данную систему в виде: Пример 1. 4 х 2 х 2 х 1 х 1 х у 0 2 Используя рисунок, находим приближенные значения точек пересечения графиков: (0,4; 2,6), (3,6; 2,6). Ответ: (0,4; 2,6), (3,6; 2,6). у = х х + 4 (х – 2) 2 + у 2 =9

у 1 = 5, у 2 =0,5, Пример 2. 2 у 2 – 11 у + 5 = 0, Если у = 5, то х = 4; если у =0,5, то х = -0,5. Ответ: (-0,5; 0,5), (4; 5). Решая второе уравнение системы находим его корни:

Пример 3. Решим второе уравнение системы 7 у у + 2 = 0. Получим у 1 =, у 2 = 1. При подстановке у = Таким образом, данная система имеет два решения (0; 1), (1; 1). 49 х х+5=0, которое не имеет решений; при у = 1 имеем уравнение х 2 -х=0, в первое уравнение системы, получим уравнение имеющее корни х=0 и х=1. Ответ: (0; 1), (1; 1).

Метод почленноеего умножения и деления уравнений системы перемножаем (делим) уравнения системы почленноее, при этом получая более простую зависимость между переменными; объединяя полученное уравнение с одним из уравнений исходной системы, решаем новую систему уравнений. Пример 1. = 1,5;у 2 – 2,5 у + 1 = 0 у 1 = 0,5, у 2 = 2. х = 8; При у = 0,5 первое уравнение системы примет вид: х + 0,125 х = 9 если у = 2, то х + 8 х = 9, то есть х = 1. Ответ: (8; 0,5), (1; 2).

Пример 2. Пусть (ку) 4 = t (t 0), тогда уравнение примет вид: 6(ку) 8 = (ку) 8 + 3(ку) (ку) 8 – 3(ку) 4 – 2 = 0. t 1 = 1, t 2 = - 0,4 t = - 0,4 не удовлетворяет условию t 0. Имеем одно уравнение: (ку) 4 = 1 ку = -1 или ку = 1. Получаем совокупность систем уравнений: Уравнение х 8 = 1 имеет корни х 1 = -1, х 2 = 1. то у = -1; если х = 1, то у = 1. еслих = -1, то у = 1; если х = 1, то у = -1, если х = -1, Ответ: (-1; -1), (-1; 1), (1; -1), (1; 1). 5t 2 – 3t – 2 = 0

Метод введения новой переменной Этапы указанного метода: вводится новая переменная только в одно уравнение или две новых переменных сразу для обоих уравнений; уравнение или уравнения решаются относительно новых переменных; остаётся решить уже более простую систему уравнений, из которой находим искомое решение.

. + = 8, у - =1. = t, = z, Пример. Пусть а тогда система уравнений примет вид: Еслито Вернёмся к переменным х и у: Пара чисел (1; 0,5) удовлетворяет ОДЗ. Ответ: (1; 0,5). ОДЗ: х 19t = 19t =1. t = 1,2·1+3z = 8 3z = 6z = 2.

Пример. Пусть х + у = u, ку = v, тогда система уравнений примет вид: Ответ: (4; 1), (1; 4).

Пример. Если у = 0, то и х = 0, однако х = 0 и у = 0 не удовлетворяют второму уравнению системы. Пусть у 0. Тогда, разделив первое уравнение на у 2 и полагая t =, получим уравнениеt 2 - 2t – 3 = 0, которое имеет два корня: t 1 = -1 и t 2 = 3. у 1 = 2, у 2 = -1,5 х 1 = - 2, х 2 = 1,5. Корни второго уравнения первой системы Корни второго уравнения второй системы у 1 = 2, у 2 = - 0,5 х 1 = 6, х 2 = - 1,5. Ответ: (-1,5; -0,5), (-2; 2), (1,5; -1,5), (6; 2).