Теория вероятностей

Введение Основные комбинаторные объекты Элементы теории вероятности

Основные комбинаторные объекты Правило умножения Сочетания Перестановка Размещения Правило сложения Задачи в которых производится подсчет всех возможных комбинаций составленных по некоторому правилу, называются комбинаторными. Раздел математики занимающийся их решением называется комбинаторикой.

Элементы теории вероятности Основные понятия теории вероятностей Повторение испытаний Теоремы сложения и умножения вероятностей

Основные понятия теории вероятностей Классическая формула вероятности Статистическая и геометрическая вероятности Случайные события. Операции над событиями

Теоремы сложения и умножения вероятностей Теорема сложения вероятностей Теорема умножения вероятностей. Условная вероятность Формула полной вероятности. Формула Байеса

Повторение испытаний Асимптотические формулы Формула Бернулли

Введение Теория вероятностей возникла как наука из убеждения, что в основе массовых случайных событий лежат детерминированные закономерности, теория вероятностей изучает эти закономерности. Математическая статистика это наука изучающая методы обработки результатов наблюдения массовых случайных явлений, обладающих статистической устойчивостью, с целью выявления этих закономерностей

Правило умножения Если требуется выполнить одно за другим какие то K действий при чем 1 действие можно выполнить а 1 способами, 2 действие – а 2 способами, и так до K-го действия, которое можно выполнить а к способами, то все K действий вместе могут быть выполнены а 1 · а 2 · а 3 …а к способами. 4 мальчика 4 девочки садятся на 8 расположенных подряд стульев, причем мальчики садятся на места с четными номерами, а девочки – на места с нечетными номерами. Сколькими способами это можно сделать ? Первый мальчик может сесть на любое из четырех четных мест, второй - на любое из оставшихся трех мест, третий – на любое оставшихся двух мест. Последнему мальчику предоставляется всего одна возможность. Согласно правилу умножения, мальчики могут занять четыре места 4·3·2·1=24 способами. Столько же возможностей имеют и девочки. Таким образом, согласно правилу умножения, мальчики и девочки могут занять все стулья 24 · 24=576 способами.

Правило сложения Если два действия взаимно исключают друг друга, при чем одно из них можно выполнить m способами, а другое – n способами, то выполнить одно любое из этих действий можно m+n способами. Это правило легко распространить на любое конечное число действий

Размещения Теорема: число размещений из n по m равно Размещением из n элементов по m называется любое упорядоченное подмножество из m элементов множества, состоящего из n различных элементов Пример задачи

1) В журнале 10 страниц, необходимо на страницах поместить 4 фотографии. Сколькими способами это можно сделать, если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии ? 2)Сколько можно записать четырехзначных чисел, используя без повторения все десять цифр? назад

Перестановки Перестановкой из n элементов называется любое упорядоченное множество, в которое входят по одному разу все n различных элементов данного множества Теорема: Число перестановок n различных элементов равно n! Пример задачи

1)Записать все возможные перестановки для чисел 3,5,7 3,5,7 ; 3,7,5 ; 5,3,7 ; 5,7,3 ; 7,3,5 ; 7,5,3 2) Сколькими способами можно расставить девять различных книг на полке, чтобы определенные четыре книги стояли рядом? назад

Сочетания Сочетанием из n элементов по m называется любое подмножество из m элементов, которые принадлежат множеству, состоящему из n различных элементов Теорема: Число сочетаний из n по m равно Следствие: Число сочетаний из n элементов по n-m равно числу сочетаний из n элементов по m Пример задачи

1) Имеется 10 белых и 5 черных шаров. Сколькими способами можно выбрать 7 шаров, что бы среди них были 3 черных ? Решение: среди выбранных шаров 4 белых и 3 черных. Способов выбора былых шаров Способов выбора черных шаров По правилу умножения искомое число способов равно 2) Сколькими способами можно группу из 12 человек разбить на две подгруппы, в одной из которых должно быть не более 5, а во второй- не более 9 человек ? Выбор первой подгруппы однозначно определяет вторую, по правилу сложения искомое число способов равно: Подгруппа из 3 человек Подгруппа из 4 человек Подгруппа из 5 человек назад

Случайные события. Операции над событиями Событие- явление, которое происходит в результате осуществления какого-либо определенного комплекса условий. Осуществление комплекса условий называется опытом или испытанием. Событие- результат испытания. Случайным событием называется событие, которое может произойти или не произойти в результате некоторого испытания ( при бросании монеты может выпасть орел, а может и не выпасть). Достоверным событием называется событие, которое обязательно произойдет в результате испытания ( извлечение белого шарика из ящика с белыми шарами). Невозможным считается событие, которое не может произойти в результате данного испытания( извлечение черного шарика из ящика с белыми шарами). далее

Случайные события Событие А называется благоприятствующим событию В, если появление события А влечет за собой появление события В. События А и В называются не совместными, если в результате данного испытания появление одного из них исключает появление другого ( испытание: стрельба по мишени ; А- выбивание четного числа очков; В- не четного). События А и В называются совместным, если в результате данного испытания появление одного из них не исключает появление другого( А- в аудиторию вошел учитель; В- вошел студент). назад далее

Случайные события Два события А и называются противоположными, если не появление одного из них в результате испытания влечет появление другого( отрицание А). Если группа событий такова, что в результате испытания обязательно должно произойти хотя бы одно из них и любые два из них несовместны, то эта группа событий называется полной группой событий. События называются равновозможными, если по условию испытания нет оснований считать какое-либо из них более возможным, чем любое другое ( А-орел; В-решка). назад далее

Операции над событиями Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них в результате испытания. Пример: в ящике находится красный, черный и белый шары. А- извлечение черного шара В- извлечение красного шара С- извлечение белого шара А+В – извлечен черный или красный шар В+С – извлечен красный или белый шар А+С – извлечен черный или белый шар назад далее

Операции над событиями Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном наступлении всех этих событий в результате испытания. Пример: происходят следующие события: А- из колоды карт вынута дама В- вынута карта пиковой масти АВ – событие – вынута карта дама пик назад

Классическая формула вероятности Вероятность события- это численная мера объективной возможности ее появления. Если имеется полная группа попарно несовместных и равновозможных событий, то вероятность Р(А) наступления события А вычисляется как отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению события, к числу всех исходов испытания. N – число всех исходов испытания М – число исходов благоприятствующих событию А Свойство вероятности: 1) Вероятность достоверного события равна 1 2) Вероятность невозможного события равна 0 3) Вероятность события А удовлетворяет двойному неравенству Пример задачи

1) В ящике 4 черных и 6 белых шаров, извлекают 1 шар, какова вероятность что шар будет белым, черным ? N=10; М=6; А- Извлечение белого шара N=10; М=4; А- Извлечение черного шара 2) В ящике 10 шаров 2 черных, 4 белых, 4 красных, извлекают 1 шар. Какова вероятность, что он: А- черный; В- белый; С- красный; D- зеленый N=10; М=2 N=10; М=4 N=10; М=0 N=10; М=4 назад

Статистическая и геометрическая вероятности Было замечено, что при многократном повторении опытов относительная частота появления события в этих опытах стремится к устойчивости. Под относительной частотой появления события понимается отношение М/N, где N- число опытов; М-число появления события. При увеличении опытов относительная частота появления события будет практически сколь угодно мало отличаться от некоторого постоянного числа, которое и принимается за вероятность события в отдельном опыте. Относительную частоту появления события называют статистической вероятностью. С возрастанием числа опытов, относительная частота стремится к вероятности Р(Г)=0,5. Относительную частоту при достаточно большем числе опытов, можно считать приближенным значению вероятности. Геометрической вероятностью события называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события, к мере всей области.

Теорема сложения вероятностей Вероятность появления одного из двух несовместных событий, равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В) Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Сумма вероятностей попарно несовместных событий, образующих полную группу, равна 1. далее

Теорема сложения вероятностей Сумма вероятностей противоположных событий равна 1 Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления: назад

Теорема умножения вероятностей. Условная вероятность Условной вероятностью называется вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже наступило. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило: Два события называются независимыми, если появление любого из них не изменяет вероятность появления другого: Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению их вероятностей: далее

Теорема умножения вероятностей. Условная вероятность Вероятность совместного наступления конечного числа событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем условная вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие уже наступили: Р(А 1 А 2 А 3 …А n )=Р(А 1 )Р А1 (А 2 )Р А1А2 (А 3 )…Р А1А2А3 …Аn-1 (А n ); Р А1А2А3…Аn-1 (А n ) – вероятность появления события А n, вычисленная в предположении, что события А 1 А 2 А 3 …А n-1 произошли Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий: Вероятность появления хотя бы одного из событий А 1 А 2 А 3 …А n, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий назад

Формула полной вероятности. Формула Байеса Вероятность события А, которое может наступить только при условии появления одного из событий H 1, H 2, H 3,…,H n, образующих полную группу попарно несовместных событий, равна сумме произведений вероятностей каждого из событий H 1, H 2, H 3,…,H n на соответствующую условную вероятность события А : Формула полной вероятности далее

Формула полной вероятности. Формула Байеса Рассмотрим события В 1, В 2, В 3,…,В n которые образуют полную группу событий и при наступлении каждого из них В i событие А может наступать с некоторой условной вероятностью Тогда вероятность наступления события А равна сумме произведений вероятностей каждого из событий на соответствующую условную вероятность события А Сколько бы не было вероятностей: назад далее

Формула полной вероятности. Формула Байеса Рассмотрим событие А которое может наступить при условии появления одного из несовместных событий, В 1, В 2, В 3,…,В n, которые образуют полную группу событий. Если событие А уже произошло то вероятность событий может быть переоценена по формуле Байеса, формуле вероятности гипотез: назад

Формула Бернулли Вероятность того что в n независимых испытаниях в каждом из которых вероятность появления события равна Р, Р(0

Асимптотические формулы Если число испытаний велико, то использование формулы Бернулли будет нецелесообразным в силу необходимости выполнения громоздких вычислений. Теорема Муавра-Лапласа, дающая асимптотическую формулу, позволяет вычислить вероятность приближенно. Теорема: Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаниях равна p и отлична от нуля и единицы, а число испытаний достаточно велико, то вероятность Р n (m) того, что в n испытаниях событие А наступит m раз, приближенно равна значению функции далее

Асимптотические формулы. Распределение Пуассона Если вероятность события в отдельном испытании близка к нулю, то применяют другую асимптотическую формулу- формулу Пуассона. Теорема: Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна, но близка к нулю, число независимых испытаний n достаточно велико, а произведение np=, то вероятность Р n (m) того, что в n независимых испытаниях событие А наступит m раз, приближенно равна назад

1) В журнале 10 страниц, необходимо на страницах поместить 4 фотографии. Сколькими способами это можно сделать, если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии ? 2)Сколько можно записать четырехзначных чисел, используя без повторения все десять цифр? назад