Фракталы Чем больше дифференцируется наука, распадаясь на отдельные дисциплины, тем большее значение обретает поиск унифицирующих принципов … Г. Хакен Вклад Пуанкаре и Мандельштама в создание нелинейной динамики вряд ли можно переоценить. Им мы обязаны созданием этой новой науки, занимающейся изучением систем различной природы (и поэтому с необходимостью вторгающейся на суверенную территорию различных частных наук), выявляющей общие закономерности там, где их, казалось бы, нельзя было и ожидать среди пёстрого разнообразия внешне далёких явлений, описываемых нелинейными теориями, каждая из которых «говорит на своём языке, ставит и решает свои собственные задачи», используя для этого свои индивидуальные методы. Пуанкаре и Мандельштам истинные творцы нелинейной динамики: первый создал адекватный математический аппарат, второй насытил абстрактные математические схемы ярким физическим содержанием… Ю.А.Данилов А. ПуанкареА. Пуанкаре А. Пуанкаре Л.И. Мандельштам

О Л.И.Мандельштаме Л.И. Мандельштам видел, сколь широк круг физических явлений, не допускающих описания в рамках линейной идеализации, сколь ненадёжной становится «линейная психология», способная скорее вводить в заблуждение, чем служить надёжной путеводной нитью исследователю. Высказанная Л.И. Мандельштамом идея не осталась благим пожеланием. Она была воплощена в плоть и кровь его учениками. Выступая 22 декабря 1944 г. на совместном заседании Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова и Академии наук СССР, посвящённом памяти Л.И. Мандельштама, А.А. Андронов сказал: «Я перечислю некоторые нелинейные понятия, либо получившие точный физический и математический смысл, либо впервые выдвинутые в этот с 1927 г. период времени. Я начну с фазового пространства, которое... перестало быть только математической абстракцией и приобрело высокую степень физической наглядности не только потому, что физики с ним свыклись, но и потому, что оказалось возможным приблизить его к нашим органам чувств, наблюдая систематически фазовые траектории на экране осциллографа....Если говорить об автономных системах, то такие физические понятия, как автоколебания, мягкое и жёсткое возбуждение автоколебаний, затягивание и т.д., получили теперь твёрдую математическую основу в виде предельных циклов, теории бифуркаций, областей устойчивости в большом и т.д. Если говорить о неавтономных системах, то такие физические понятия, как феррорезонанс, захватывание разных видов, получили математическую основу в теории периодических решений и их бифуркаций, а ряд других физических понятий, например резонанс второго рода, асинхронное возбуждение и т.д., были вновь выдвинуты, отправляясь от математической теории. …Из лекции Ю.А.Данилова

Начало теории фракталов Слова «фрактал», «фрактальная размерность», «фрактальность» появились в научной литературе сравнительно недавно и не успели ещё войти в большинство словарей, справочников и энциклопедий. Придумал слово «фрактал» (от латинского «фрактус» дробный, нецелый) наш современник, математик Бенуа Мандельброт, сумевший открыть совсем рядом с нами поистине удивительный мир, по-новому (или, по крайней мере, несколько иначе) взглянув на многие, казалось бы, хорошо знакомые предметы и явления. Мандельброт обратил внимание на то, что при всей своей очевидности ускользало от его предшественников, хотя встречалось на каждом шагу и буквально «лежало на поверхности»: контуры, поверхности и объёмы окружающих нас предметов не так ровны, гладки и совершенны, как принято думать. В действительности они неровны, шершавы, изъязвлены множеством отверстий самой причудливой формы, пронизаны трещинами и порами, покрыты сетью морщин, царапин и кракелюра. В арсенале современной математики Мандельброт нашёл удобную количественную меру неидеальности объектов извилистости контура, морщинистости поверхности, трещиноватости и пористости объёма. Её предложили два математика Феликс Хаусдорф (1868–1942) и Абрам Самойлович Безикович (1891–1970). Ныне она заслуженно носит славные имена своих создателей (размерность Хаусдорфа–Безиковича).

Дробная размерность Дробная размерность?! Немало найдётся таких, кто с негодованием скажет, что «это уж слишком», что ни о чём таком не слыхивали ни они сами, ни их отцы и деды. Такого рода аргументы, более эмоциональные, нежели убедительные, свидетельствуют лишь о незнании работ Хаусдорфа и Безиковича. Иное дело ссылка на то, что отцы и деды не слыхивали о фрактальной размерности; при всей синонимичности дробного и фрактального, термин «фрактальный» появился лишь в работах Бенуа Мандельброта и заведомо не был известен людям старшего поколения. Тем же, кто станет возражать против «нелепой» (разумеется, только с их точки зрения) дробной размерности, ссылаясь на невозможность придать ей наглядный смысл, мы скажем: во-первых, никто не присягал на целочисленность любой размерности только на том основании, что наша добрая знакомая топологическая размерность принимает целые значения, и, во-вторых, фрактальная размерность уже доказала свою полезность. Что же касается наглядности, то представить себе фрактальную кривую, то есть кривую с фрактальной размерностью Хаусдорфа–Безиковича, настолько извилистую, что она уже не классическая линия, но ещё не плоская фигура, всё же легче, чем представить себе наглядно какие-нибудь средние статистические показатели. В отличие от некоторых арифметических задач, где целочисленность ответа предопределена далеко не всегда явно формулируемым требованием (вспомним хотя бы «два землекопа и две трети» из знаменитого стихотворения С.Я. Маршака), среднее число детей в семьях, проживающих в какой-нибудь местности, вполне может оказаться, например, равным 1,9. Между тем никому не приходит в голову возражать против дробных («фрактальных») среднестатистических показателей на том основании, будто они лишены наглядности. Из лекции Ю.А.Данилова

Б.Мандельброт о теории фракталов Сам Бенуа Мандельброт охарактеризовал созданную им теорию как морфологию бесформенного: «Почему геометрию часто называют «холодной» и «сухой»? Одна из причин заключается в её неспособности описать форму облака, горы, береговой линии или дерева. Облака не сферы, горы не окружности, древесная кора не гладкая, молния распространяется не по прямой. В более общем плане я утверждаю, что многие объекты в Природе настолько нерегулярны и фрагментированы, что по сравнению с Евклидом термин, который в этой работе означает всю стандартную геометрию, природа обладает не просто большой сложностью, а сложностью совершенно иного уровня. Число различных масштабов длины природных объектов для всех практических целей бесконечно велико». Сверхсложная геометрия фрактальных сред накладывает свой отпечаток на разыгрывающиеся в них процессы. На фракталах по-новому, чем в традиционных сплошных средах, происходит диффузия, протекают химические реакции, происходит рассеяние акустических и электромагнитных волн. Но фракталы с их самоподобной и само аффинной структурой служат регулярными моделями случайных (хаотических) сред своего рода аналогом вполне интегрируемых систем классической механики. (Хотя вполне интегрируемые системы являются скорее исключениями, чем правилом, все учебники аналитической динамики заполнены именно вполне интегрируемыми системами: рассмотрение их позволяет развить интуицию, столь необходимую для анализа общих, не вполне интегрируемых систем. Фракталы с их тонкой само аффинной и самоподобной структурой позволяют развить интуицию, необходимую для работы со случайными средами. )

. Понятия о фрактальных системах Термин "фрактал" предложен Бенуа Мандельбротом в 1975 г. Слово фрактал образовано от латинского fractus и в переводе означает состоящий из фрагментов, дробный. Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. В простейшем случае небольшая часть фрактала (фрагмент) содержит информацию обо всем фрактале. Фрактальные системы – это объекты и явления различной природы, которые, в отличие от непрерывных систем, имеют несплошную структуру.

Фракталы. Определения

Фракталы и системы счисления

Кривая Коха

В середине 1980-х гг. был предложен метод систем итерируемых функций (метод IFS) как средство получения фрактальных структур. Сущность его заключается в использовании фиксированного класса функций, отображающих одно многомерное множество на другое. Например, IFS может состоять из аффинных преобразований плоскости: x' = Ax + By + C, y' = Dx + Ey + F. Метод систем итерируемых функций Для построения кривой требуется набор аффинных преобразований, состоящий из четырех преобразований: A: x' = 0,333x + 13,333; y' = 0,333y + 200; B: x' = 0,167x + 0,289y + 130; y' = – 0,289x + 0,167y + 256; C: x' = 0,167x – 0,289y + 403; y' = 0,289x + 0,167y + 71; D: x' = 0,333x + 413,333; y' = 0,333y + 200

Дракон Хартера–Хейтуэя

Линденмайер предложил метод описания сложных природных объектов и процессов с помощью простых составляющих и некоторых правил их преобразования. При этом он использовал определенную формальную грамматику, опирающуюся на правила генерации и преобразования символьных строк. Пусть имеется некоторая состоящая из произвольных символов строка, называемая аксиомой, и набор строк, называемых правилами. Каждое правило имеет вид символ строка. Например: аксиома: abc; правила: a ab; b a. Сначала (на нулевом шаге) положим результирующую строку равной аксиоме. Далее начнем просматривать строку слева направо. Если очередной символ не задает никакого правила, то он просто переносится в новую результирующую строку. Если же очередной символ является первым символом одного из правил, то он заменяется на строку из соответствующего правила. Для рассмотренного примера: нулевой шаг: a с b, результирующая строка: aсb; первый шаг: ab с а, результирующая строка: abca; второй шаг: ab а с ab, результирующая строка: abacab; третий шаг: ab а ab с ab a, результирующая строка: abaabcaba; и так далее. Линденмайер рассматривал L-системы как формальное средство описания развития биологических объектов, но позже они нашли применение в компьютерной графике. Оказалось, что с их помощью очень удобно рисовать фракталы и различные природные объекты с самоподобной структурой. Метод построения графических объектов с помощью L-систем еще называют "черепашьей графикой" (turtle geometry). Пусть имеется некоторый исполнитель ("черепашка"), который может выполнить набор команд. Черепашка перемещается по плоскости. Ее текущее состояние задается координатами х, у и углом а, определяющим направление, в котором она ползет. Предположим, что у черепашки есть память, организованная в виде стека (т. е. она может запомнить несколько значений, но вспоминать их она будет в обратном порядке: то, что запомнила последним, вспомнит первым, то, что запомнила предпоследним, вспомнит вторым и т. д.). Пусть начальное положение черепашки задается координатами x0, y0 и направлением движения а 0. Кроме того, пусть задано значение шага h, на который черепашка перемещается по команде "вперед", и угол b, на который она поворачивается по команде "повернуть направо" или по команде "повернуть налево". Пусть черепашка умеет выполнять следующие команды (каждая команда кодируется одним символом): "F" – ползти вперед; "f" – ползти вперед, но не рисовать; "+" – повернуть направо; "–" – повернуть налево; "[" – запомнить текущую позицию; "]" – возврат в запомненную позицию. Скобки "[" и "]" могут быть вложенными. Метод L-систем Например, для кривой Кох: аксиома – "F"; правило – "F=1/3 F", "F=F–F++F–F".. Для кривой Кох на нулевом шаге получаем "F", на первом – "F–F++F–F", на втором – "F–F++F–F–F–F++F–F++F–F++F–F–F–F++F–F" и т. д.

Фрактал Кантора

Фрактальные острова

Фрактальные деревья Пифагора (Босман)

Фрактальный агрегат Жюльена Следуя Р. Жульену, сконструируем простейший фрактальный агрегат путем последовательного соединения идентичных сферических частиц радиуса α. При этом начальную частицу расположим в начале прямоугольной системы координат, а шесть других частиц заставим присоединяться к ней, двигаясь вдоль положительных и отрицательных направлений трех базисных векторов решетки. На первом этапе (первая итерация) получим начальный ансамбль из семи частиц. При второй итерации присоединим к шести концам полученного агрегата шесть таких же ансамблей. При третьей итерации к шести концам вновь сформированного агрегата присоединим шесть точно таких же агрегатов. Эта процедура может повторяться бесконечно. Если предположить, что каждая сфера имеет единичную массу, то для плотности фрактального агрегата в трехмерном пространстве ( r) получим выражение Этот результат свидетельствует о необычном поведении плотности полученного трехмерного агрегата при изменении его размеров: она не остается постоянной при возрастании размеров, а уменьшается. Для фрактала бесконечных размеров значение плотности стремится к нулю. Это один из основных признаков массового фрактала. Физически это означает, что при рассмотрении все больших и больших частей фрактала учитываются пустоты все больших и больших размеров. D = ln 7/ln 3 = 1,771 ( r) = Br(D – 3), где B = 3A/4.

Самоподобие Распространенность фрактальных структур в природе невообразима. Фрактальны пористые минералы и горные породы; расположение ветвей, узоры листьев, капиллярная система растений; кровеносная, нервная, лимфатическая и др. системы в организмах животных и человека; реки, облака, линия морского побережья, горный рельеф и многое другое. Мало того, фрактальны практически все поверхности твердых тел. В последнее время появляются теории фрактального строении физического вакуума. Свойство отдельных частей быть подобными всей структуре в целом называют самоподобием. Интервал самоподобия различных природных объектов может охватывать масштабы (от нанометра при рассмотрении структуры пористых материалов) до десятков километров (при рассмотрении рельефа местности и формы облаков). В качестве примеров естественных (природных) фракталов можно привести деревья, облака, реку и разветвленную сеть ее притоков, систему кровообращения человека, "морозные" узоры на стекле и т.д. Самоподобие предполагает, что копирование и масштабирование некоторого "эталона" позволяют природе легко создавать сложную многомасштабную (иерархическую)структуру

Тиражирование природных фракталов

Разнообразие и красота фракталов

Фрактальность побережья С увеличением n длина элементарного отрезка а стремиться к 0, а длина кривой L стремится к бесконечности: L= (4/3) n a= (1/3) n где n= 1,2,3. Таким образом, получаем: n= (1/ln3)*ln(1/a). L= exp(n*ln(4/3)) = exp((ln(4/3)/ln3)*ln(1/a) Обозначив D= ln4/ln3, получаем L=(1/a)D-1 L=a*(1/a)D

Фрактапьные поверхности Поверхность, образованная из обобщенной триадной кривой Кох (D = 2,262) L h = h(L/h) D L h - зависимость длины кривой от масштаба h. Тогда площадь поверхности Sh определится выражением: S(h)=L(h)L=h(L /h) D (L /h )*h=h 2 (L /h) D+1 Отсюда следует, что фрактальная размерность увеличивается на единицу в том направлении, в котором поверхность однородна: D S =D+1. Если вместо параллельного переноса образуется другая фрактальная кривая с другим значением масштаба и фрактальной размерности, то: Sh=h 1 h 2 (L/h 1 ) D1 *(L/h 2 ) D2 При изучении поверхностных явлений, например явления адсорбции, для воспроизведения реальных поверхностей необходимо искусственно задавать неоднородность. Это можно успешно делать, используя методы фрактальной геометрии. Известно несколько способов, основанных на различных моделях регулярных фракталов

Модели для поверхностей со случайным рельефом и пористых тел Поскольку поверхности реальных объектов имеют случайный, иногда сильно изрезанный характер, их моделирование при помощи регулярных фракталов типа кривой Кох зачастую невозможно. Модели образования фрактальных пористых систем получили название губок Менгера (по фамилии ученого, впервые предложившего такой механизм моделирования фрактальных объектов).

Классическая губка Менгера Классическая губка Менгера образуется следующим образом. Выбирается куб с длиной стороны, равной h = L. Затем сторона куба делится на три части и получается, что в объеме куб состоит из 27 меньших кубиков со стороной h 1 =L /3. Из центральной части объема исходного куба удаляются 7 таких меньших кубиков. В каждом из оставшихся 20 кубиков совершается процедура, аналогичная вышеописанной. Объем оставшейся части куба на каждом этапе построения можно путем исключения суммарного объема вырезанных кубиков за n этапов. Легко найти окончательную зависимость: V h =h 3 (L /h ) D Фрактальная размерность D = ln20/ln3 = 2,726833

Внутренняя структура самого переходного слоя Структура переходного слоя включает в себя условно несколько подповерхностных зон и мономолекулярный стехиометричный слой на границе контакта фаз При переходе непосредственно от однородного распределения свойств в объемной части кристаллического тела (D =3) наблюдается массовый выход дислокаций и формируется первая подповерхностная зона I с повышенной плотностью данных линейных дефектов Следующая зона II имеет рыхлую, пористую структуру, связанную с обрывом большого количества дислокаций в нижележащей зоне и может быть описана как губка Менгера. В ней реализуются растягивающие напряжения. Фрактальная размерность заполнения веществом материала трехмерного пространства в данной зоне принимает значения в интервале 3> D f матер.> 2,5. Понижение фрактальной размерности и плотности вещества происходит за счет роста количества вакансий и пор в данной зоне переходного слоя. Если речь идет о поверхности между конденсированными твердыми фазами, зону нестехиометрии можно назвать зоной ряда твердых растворов или адгезионно- закрепляющим слоем. Зона III, граничащая в своей нижней части с насыщенной вакансиями второй зоной - структурой типа губки Менгера - характеризуется присутствием в ней частиц обеих объемных фаз. Если частицы контактирующих фаз могут образовывать стехиометрические соединения, то на границе переходного слоя образуется мономолекулярный слой зоны IV

Фракталы могут иметь значения D как больше 1, так и меньше 1. Примером такого фрактального множества является "канторова пыль". Построение такого фрактала отличается от построения фрактала Коха тем, что на n-м шаге осуществляется не добавление, а удаление n интервалов длиной. Канторова пыль Микрофотография агрегатных фракталов в стекле, полученная с помощью электронной микроскопии в режиме вторичных электронов. В нижнем правом углу находится масштабная линейка. Видно, что размеры отдельных фрактальных кластеров порядка 5 мкм. В отличие от математических фракталов реальные объекты не регулярны. О соблюдении подобия между отдельными фрактальными элементами и частями фрактала в отдельном элементе и в разном масштабе можно судить только при статическом усреднении. Фрактальные агрегаты

Структура поверхности углеродного депозита

Кривая малоуглового рассеяния D = |β| Ds = 6 – |β|

Области Порода для различных силикатных золь-гель-систем на основе ТЭОС (A–D) и аэросила (E)

Эволюция профилей рассеяния при двухстадийном кислотно-кислотном гидролизе тетраэтоксисилана Si(OC2H5)4 в зависимости от приведенного времени гелеобразования

Фрактальность траектории частицы при броуновском движении