в задачах Принцип Дирихле в задачах Автор: Гаврилина Автор: Гаврилина Ксения 6 «А» кл.

Дирихле Принцип Дирихле Принцип Дирихле Принцип Дирихле Принцип Дирихле Биография Биография Биография Задачи Задачи Задачи

Биография ДИРИХЛЕ Петер Густав Лежен( ) - немецкий математик. Род. в Дюрене. В Д. был домашним учителем в Париже. Входил в кружок молодых ученых, которые группировались вокруг Ж. Фурье. В 1827 Д. занял место доцента в Бреславле; с 1829 работал в Берлине. В профессор Берлинского ун-та, а после смерти К. Гаусса (1855) - Геттингенского ун-та.

Биография Д Д. сделал ряд крупных открытий в теории чисел: установил формулы для числа классов бинарных квадратичных форм с заданным определителем и доказал теорему о бесконечности количества простых чисел в арифметической прогрессии из целых чисел, первый член и разность которой - взаимно просты. К решению этих задач Д. применил аналитические функции, названные функциями (рядами) Дирихле.

Биография Д. создал общую теорию алгебраических единиц в алгебраическом числовом поле. В области математического анализа Д. впервые точно сформулировал и исследовал понятие условной сходимости ряда, дал строгое доказательство возможности разложения в ряд Фурье кусочно-непрерывной и монотонной функции, что послужило обоснованием для многих дальнейших исследований. Значительны труды Д. в механике и математической физике, в частности в теории потенциала.

Принцип Дирихле "Если z зайцев сидят в к клетках, то найдётся клетка, в которой не менее z/k зайцев. Не надо бояться дробного число зайцев если получается, что в ящике не меньше 7/3 зайцев, значит, их больше двух. Один математик сказал, что Дирихле по частоте упоминаний школьниками навсегда обеспечено одно из самых высших мест.

Принцип Дирихле И добавил: "Пожалуй, есть способ лишить его лидерства назвать чьим-нибудь именем принцип «никакое чётное число не равно никакому нечётному».« Доказательство принципа Дирихле очень простое, но заслу­живает внимания, поскольку похожие рассуждения «от противного» часто встречаются. Допустим, что в каждой клетке чис­ло зайцев меньше, чем z/k. Тогда в к клетках зайцев меньше, чем к (z/k) = z. Противоречие!

Задачи 1. В классе 30 человек. Саша Иванов в диктанте сделал 13 ошибок, а остальные меньше. Докажите, что, по крайней мере, три ученика сделали ошибок поровну (может быть по 0 ошибок). Решение:Решение:

Решение Докажем утверждение задачи от противного. Предположим, никакие три ученика не сделали по одинаковому числу ошибок, то есть в каждую из "клеток" 0,1,...,12 попало меньше трех школьников. Тогда в каждой из них два человека или меньше, а всего в этих 13 клетках не более 2*13=26 человек. Добавив Сашу Иванова, все равно не наберем 30 ребят. Противоречие. Следовательно, утверждение задачи верно, по крайней мере, трое учеников сделали поровну ошибок.

Задачи 2. За победу в турнире Архимеда команда из 8 человек получила 12 конфет. Дети поделили конфеты между собой, не разламывая их. Определите, верны ли следующие утверждения: «кому-то досталось, по крайней мере 2 конфеты»; «кому-то досталось по крайней мере 3 конфеты»; «двум людям досталось по крайней мере две конфеты»; « каждому досталась хотя бы одна конфета». Р Р Р Р Р ее ш-ш ее инн ии ее ::::

Решение 1) Да, верно. Предположим противное, т.е. что существует ситуация, когда дети поделили конфеты так, что каждый получил 0 или 1 конфету. Тогда все дети в сумме получили не более 8 конфет, что противоречит условию. Значит наше предположение неверно, и такая ситуация существовать не может. Т. о. всегда найдётся тот, кто получил, по крайней мере, 2 конфеты. Для всех остальных пунктов можно построить пример, когда дети поделили 12 конфет так, что указанные утверждения не выполняются: 2) 4 человека получили по 2 конфеты, а остальные 4 по одной. 3) Все конфеты забрал один человек. 4) Аналогично пункту 3. Ответ: Первое утверждение, верно, все остальные нет.

Задачи Решение: 3. У трёх членов жюри спросили: «Сколько команд будет участвовать в турнире Архимеда?» Один сказал: «Меньше тридцати трех». Другой: «Меньше тридцати одной», а третий: «Меньше тридцати двух». Сколько команд участвовало в турнире Архимеда, если правы, оказались в точности двое членов жюри? Решение: Решение:

Решение Заметим, что из верности второго утверждения вытекает верность остальных. А так как верными оказались ровно два утверждения, то второе утверждение неверно, а первое и третье верны. То количество команд, с одной стороны, не может быть больше 31 (т. к. иначе неверно третье утверждение), а с другой стороны, не может быть меньше 31 (т.к. иначе верно второе утверждение). Значит. единственно возможное количество команд 31. Легко проверить, что 31 удовлетворяет условию задачи. Ответ: 31 команда.

Задачи Решение: 4. На финальном матче школьного первенства по баскетболу команда 7 А забила 9 мячей. Докажите, что найдутся два игрока этой команды, забившие поровну мячей. (В команде было 5 игроков.) Решение: Решение:

Решение Предположим, что возможен случай, когда такие два игрока не найдутся. Тогда все пять игроков, забили разное количество мячей. Пусть первый игрок ничего не забил, второй игрок забил один мяч, третий игрок забил два мяча, четвёртый три, пятый четыре. Тогда всего игроки забили десять мячей. Если же кто-то из игроков забил больше мячей, чем мы предположили, то и всего игроки забили больше мячей. Поскольку по условию игроки забили всего девять мячей, наше предположение неверно. Значит, существуют два игрока команды, забившие поровну мячей.

Задачи 5. Маленький брат Андрея раскрасил шашки в восемь цветов. Сколькими способами Андрей может поставить на доску 8 разноцветных шашек так, чтобы в каждом столбце и в каждой строке было по одной шашке? Сколькими способами Андрей может поставить на доску 8 белых шашек так, чтобы в каждом столбце и в каждой строке было по одной шашке? Решение: Решение:Решение:

Решение Рассмотрим сначала случай, когда шашки белые. Будем расставлять шашки. В первом столбце мы можем поставить шашку в любую из 8 клеток. Во втором столбце в любую из 7 клеток. (Т. к. нельзя ставить в ту же строку, в которой стоит первая шашка.) Аналогично в третьей строке мы можем поставить шашку в любую из 6 клеток, в четвёртой строке в любую из пяти и т. д. Итого получаем 8 способов. Теперь рассмотрим случай цветных шашек. Возьмём произвольную расстановку белых шашек. Будем раскрашивать эти шашки в 8 цветов, так чтобы любые две из них были покрашены в разные цвета. Первую мы можем покрасить в один из 8 цветов, вторую в один из 7 оставшихся и.т. д. Т. е. всего 8 способов раскраски. Поскольку способов расстановки тоже 8, и каждую из этих расстановок мы можем раскрасить 8 способами, то всего способов в этом случае 8·8=8². Ответ: 8² способов, 8 способов.

Задачи Решение: 6. В Москве проживает более людей. На голове у каждого человека не может быть более волос. Докажите, что наверняка найдутся 34 москвича с одинаковым числом волос на голове. Решение:Решение:

Решение На голове может быть 0, 1, …, волос всего вариант. Каждого москвича отнесём к одной из групп в зависимости от количества волос. Если 34 москвича с одинаковым количеством волос не найдутся, то это значит, что в любую из созданных групп входит не более 33 человек. Тогда всего в Москве живёт не более 33· = < человек, что противоречит условию. Значит, такие 34 москвича обязательно найдутся.

Задачи 7. В 500 коробках лежат яблоки. Известно, что в каждой коробке находятся не более 240 яблок. Доказать, что существуют хотя бы 3 коробки, которые содержат одинаковое количество яблок.

Решение Пусть в первых 240 коробках находится различное количество яблок (1,2,...,240), в следующих 240 коробках - аналогично (то есть, анализируется экстремальный случай; Таким образом, остались ·240 = 20 коробок, в которые необходимо поместить яблоки от 1 до 240.

Задачи Решение: 8. Верно ли, что в вашей аудитории есть по крайне мере два человека, имеющие одинаковое число друзей в этой аудитории. Верно ли это для любой аудитории Малого мехмата? Решение:Решение:

Решение Проведём рассуждения сразу для любой аудитории. Доказательство от противного. Пусть в аудитории присутствует n человек, и у всех из них разное количество друзей. Друзей может быть 0, 1, 2, …, (n 1). Всего n возможных вариантов. А т.к. человек тоже n, то все эти варианты используются. Значит, есть человек, у которого 0 друзей, т. е. который ни с кем не дружит. И есть человек, у которого (n 1) друг, т.е. который дружит со всеми. Однако этого быть не может, т.к. эти два человека должны одновременно и дружить, и не дружить друг с другом. Получаем противоречие. Значит, такие два человека всегда найдутся. Ответ: Да, верно.

Задачи 9. Из любых трёх целых чисел можно выбрать два, сумма которых четна. Докажите это.

Решение Все числа можно разбить на два класса: чётные и не­чётные. Невозможно распределить три числа по двум классам так, чтобы ни в какой класс не попало более одного числа. Значит, среди любых трёх целых чисел найдутся два числа одинаковой чётности. Их сумма четна.

Задачи 10. В международном симпозиуме участвуют 17 человек. Каждый знает не более трех языков и любые два участника могут общаться между собой. Доказать, что хотя бы три участника, знают один и тот же язык.

Решение Пусть A - один из участников. Он может общаться с каждым из 16 участников на не более одном из трех известных ему языков. Тогда существует язык, на который A говорит с не менее чем шестью участниками. Пусть B - любой из них. Ясно, что среди остальных 5 участников есть 3, с которыми B может общаться на одном языке (назовем его "второй язык"). Если среди этих троих участников хотя бы два, скажем C и D, могут говорить на "втором языке", то B, C и D и есть те три человека, говорящие на одном языке.