У математиков встречаются весьма странные "принципы", которыми они никогда не поступаются. Впрочем, любой здравомыслящий человек, ознакомившись с этими. - презентация

1

2 У математиков встречаются весьма странные "принципы", которыми они никогда не поступаются. Впрочем, любой здравомыслящий человек, ознакомившись с этими принципами, вынужден их признать. Вот, например, так называемый принцип Дирихле. Математики очень любят объяснение этого принципа сводить к примеру кроликов (зайцев, голубей) в клетках. Поступим так же и мы.

3 Если в ста (или n) клетках сидит не менее 101 (или n+1) кроликов, то хотя бы в одной клетке находится более одного кролика. В школьной программе нет этой темы, однако, на основе такого простого и даже чуть наивного принципа, математикам удается решать весьма трудные задачи, доказывать красивые теоремы, причем не только элементарные. Многие вещи нам непонятны не потому, что наши понятия слабы; но потому, что сии вещи не входят в круг наших понятий. Козьма Прутков

4 В несерьёзной форме принцип Дирихле гласит: «Нельзя посадить 7 кроликов в 3 клетки, чтобы в каждой было не больше 2 кроликов Не надо бояться дробного числа зайцев если получается, что в ящике не меньше 7/3 зайцев, значит, их больше двух. Более общая формулировка «Если z зайцев сидят в k клетках, то найдётся клетка, в которой не менее z / k зайцев»

5 Доказательство принципа Дирихле очень простое, но заслуживает внимания, поскольку похожие рассуждения «от противного» встречаются довольно часто. Допустим, что в каждой клетке число зайцев меньше, чем z / k. Тогда в k клетках зайцев меньше, чем k (z / k) = z. Противоречие условию – в k клетках z зайцев! Можно сказать, что принцип Дирихле устанавливает связь между объектами (зайцами) и контейнерами ( клетками) при выполнении определённых условий. «Если z зайцев сидят в k клетках, то найдётся клетка, в которой не менее z / k зайцев»

6 Если в k клетках сидят z зайцев, причем z > k, то хотя бы в одной клетке сидят, по крайней мере, два зайца. z k z > k

7 Если в k клетках сидят z голубей, причем z < k, то хотя бы одна клетка останется свободной.

8 Предположим, m зайцев рассажены в n клетках. Тогда если m > n, то хотя бы в одной клетке содержится не менее m:n зайцев, а так же хотя бы в одной другой клетке содержится не более m:n зайцев.

9 В классе 15 учеников. Докажите, что найдутся, как минимум, 2 ученика, отмечающих дни рождения в один месяц. Другими словами – найдутся, как минимум, 2 ученика, отмечающих дни рождения в один месяц. Пусть 15 учеников будут «зайцы».Решение. Тогда «клетками» будут месяцы года, их 12. Так как 15 > 12, то, по принципу Дирихле, найдется, как минимум, одна «клетка», в которой будут сидеть, по крайней мере, 2 «зайца». Ответ: найдётся месяц, в котором будут отмечать дни рождения не менее 2 учеников класса.

10 В ковре размером 3 х 3 метра Коля проделал 8 дырок. Докажите, что из него можно вырезать коврик размером 1 х 1 м, не содержащий внутри себя дырок. Другими словами – найдётся коврик без дырок Разрежем ковер на 9 ковриков размерами 1 х 1 м.Решение. Ковриков - «клеток» - 9, а дырок - «голубей» - 8. Так как 8 < 9, то, по принципу Дирихле, хотя бы одна «клетка» останется свободной. Ответ: найдется коврик без дырок внутри.

11 В 8 «Б» классе учится 27 школьников, знающих 109 песен. Докажите, что найдется школьник, знающий не менее 5 песен. Предположим, что каждый школьник знает не более 4 песен. Решение. Значит, 27 школьников знают не более 4 27 = 108 (песен) Так как 108 < 109, то, по принципу Дирихле, найдется школьник, знающий не менее 5 песен Ответ: найдется школьник, знающий не менее 5 песен.

12 В городе 15 школ. В них обучается 6015 школьников. В концертном зале городского Дворца культуры 400 мест. Доказать, что найдётся школа, ученики которой не поместятся в этот зал. Предположим, что в каждой школе не более 400 учеников. Решение. Значит, во всех школах города = 6000(школьников). Так как 6000 < 6015, то, по принципу Дирихле, найдется школа, ученики которой не поместятся в этот зал Ответ: найдется школа, в которой более 400 учеников.

13 Внутри равностороннего треугольника со стороной 1см расположено 5 точек. Докажите, что расстояние между некоторыми двумя из них меньше 0,5см. Можно получить 4 «клетки», разбив равносторонний треугольник с помощью проведения отрезков, соединяющих середины сторон. Решение. Тогда получим 4 равносторонних треугольника со сторонами по 0,5 см треугольника будут у нас 4 «клетками» 5 точек - 5 «зайцев» Так как 5 > 4, то, по принципу Дирихле, найдется, как минимум, одна «клетка», в которой будут сидеть, по крайней мере, 2 «зайца». Другими словами – найдётся равносторонний треугольник со стороной 0,5см, в который попадут не менее двух точек.

14 Таким образом, применяя данный метод, надо: Определить, что удобно в задаче принять за «клетки», а что за «зайцев». Получить «клетки»; чаще всего «клеток» меньше (больше), чем «зайцев» на одну (или более). Выбрать для решения требуемую формулировку принципа Дирихле.

15 Петер Дирихле Дирихле Петер Август Лежён ( ) немецкий математик, иностранный член – корреспондент Петербургской Академии наук (1837), член многих других академий. Основные заслуги П. Дирихле в области математики: установил, что в арифметической прогрессии с целыми взаимно простыми а 1 и d содержится бесконечно много простых чисел; ввёл (вместе с Н. И. Лобачевским) определение функции через соответствие и т. д.

16 В школе 33 класса, 1150 учеников. Найдется ли класс, в котором меньше 35 учеников? В мешке лежат 10 белых и 10 чёрных шаров. Они тщательно перемешаны и неразличимы на ощупь. Какое наименьшее число шаров нужно вынуть из мешка вслепую, чтобы среди них наверняка оказались два шара одного цвета. Имеется 11 различных натуральных чисел, не больших 20. Докажите, что из них можно выбрать 2 числа, одно из которых делится на другое.