Лекция 8. Основы оценки сложных систем Основные вопросы темы: 1. Основные типы шкал измерения 2. Обработка характеристик, измеренных в разных шкалах Литература: 1. Волкова В.Н. Теория систем и системный анализ: учебник. – М.: Юрайт Анфилатов В.С. Системный анализ в управлении: учебное пособие. – М.: Финансы и статистика, Дрогобыцкий И.Н. Системный анализ в экономике: уч. пос..- М.: Финансы и статистика, 2007.

1. Основные типы шкал измерения Измерение - это алгоритмическая операция, которая ставит в соответствие каждой наблюдаемой характеристике системы, процесса или явления определенное обозначение. Теория эффективности - научное направление, предметом изучения которого являются вопросы количественной оценки качества характеристик и эффективности функционирования сложных систем. В общем случае оценка сложных систем может проводиться для разных целей: 1. оптимизации - выбора наилучшего алгоритма из нескольких, реализующих один закон функционирования системы. 2. идентификации - определения системы, качество которой наиболее соответствует реальному объекту в заданных условиях. 3. принятия решений по управлению системой.

Под оценкой понимают результат, получаемый в ходе процесса, который определен как оценивание. Принято считать, что с термином «оценка» сопоставляется понятие «истинность», а с термином «оценивание» - «правильность». Другими словами, истинная оценка может быть получена только при правильном процессе оценивания.

Этапы оценивания сложных систем: 1. Определение цели оценивания. Качественной называют цель, достижение которой выражается в номинальной шкале или в шкале порядка, количественной - в количественных шкалах. 2. Измерение свойств систем, признанных существенными для целей оценивания. Для этого выбираются соответствующие шкалы измерений свойств и всем исследуемым свойствам систем присваивается определенное значение на этих шкалах. 3. Обоснование предпочтений критериев качества и критериев эффективности функционирования систем на основе измеренных на шкалах свойств. 4. Собственно оценивание. Все исследуемые системы сравниваются по сформулированным критериям и в зависимости от целей оценивания ранжируются, выбираются, оптимизируются и т.д.

Формально шкалой называется кортеж из трех элементов, где X реальный объект, Y шкала, φ гомоморфное отображение Х на Y. В современной теории измерений определено: Х = {x1, x2, …, x i, …, x n, Rx} эмпирическая система с отношением, включающая множество свойств x i, на которых в соответствии с целями измерения задано некоторое отношение Rx. В процессе измерения необходимо каждому свойству x i Х поставить в соответствие признак или число, его характеризующее. Если, например, целью измерения является выбор, то элементы x i рассматриваются как альтернативы, а отношение Rx должно позволять сравнивать эти альтернативы;

У = {φ (x 1 ),..., φ (x n ), Ry } знаковая система с отношением, являющаяся отображением эмпирической системы в виде некоторой образной или числовой системы, соответствующей измеряемой эмпирической системе; φ Ф - гомоморфное отображение Х на У, устанавливающее соответствие между Х и У так, что {φ (x 1 ),..., φ (x n ) } Ry только тогда, когда {x 1, x 2, …, x i, …, x n, } Rx Тип шкалы определяется по Ф = { φ 1,..., φ n }, множеству допустимых преобразований х i > у i

В соответствии с приведенными определениями, охватывающими как количественные, так и качественные шкалы, измерение эмпирической системы Х с отношением Rx состоит в определении знаковой системы У с отношением Ry, соответствующей измеряемой системе. Предпочтения Rx на множестве Х × Х в результате измерения переводятся в знаковые (в том числе и количественные) соотношения Ry на множестве У × У.

ШКАЛЫ НОМИНАЛЬНОГО ТИПА Самой слабой качественной шкалой является номинальная (шкала наименований), по которой объектам х или их неразличимым группам дается некоторый признак. Основным свойством этих шкал является сохранение неизменными отношений равенства между элементами эмпирической системы в эквивалентных шкалах. Шкалы номинального типа задаются множеством взаимно однозначных допустимых преобразований шкальных значений. Название «номинальный» объясняется тем, что такой признак дает лишь ничем не связанные имена объектам. Эти значения для разных объектов либо совпадают, либо различаются; никакие более тонкие соотношения между значениями не зафиксированы.

Измерение объектов в номинальной шкале

ШКАЛЫ ПОРЯДКА Шкала называется ранговой (шкала порядка), если множество Ф состоит из всех монотонно возрастающих допустимых преобразований шкальных значений. Монотонно возрастающим называется такое преобразование φ (х), которое удовлетворяет условию: если х 1> х 2, то и φ (х 1) > φ (х 2) для любых шкальных значений х 1 > х 2 из области определения ф (х). Порядковый тип шкал допускает не только различие объектов, как номинальный тип, но и используется для упорядочения объектов по измеряемым свойствам.

Измерение в шкале порядка может применяться, например, в следующих ситуациях: 1. необходимо упорядочить объекты во времени или пространстве. Это ситуация, когда интересуются не сравнением степени выраженности какого-либо их качества, а лишь взаимным пространственным или временным расположением этих объектов; 2. нужно упорядочить объекты в соответствии с каким- либо качеством, но при этом не требуется производить его точное измерение; 3.какое-либо качество в принципе измеримо, но в настоящий момент не может быть измерено по причинам практического или теоретического характера.

ШКАЛЫ ИНТЕРВАЛОВ Тип шкал интервалов содержит шкалы, единственные с точностью до множества положительных линейных допустимых преобразований вида φ (х) = ах + b, где х Y шкальные значения из области определения Y; а > 0; b любое значение. Основным свойством этих шкал является сохранение неизменными отношений интервалов в эквивалентных шкалах: х 1 - х 2 / х 3 - х 4 = φ (х 1) - φ (х 2) /φ (х 3) - φ (х 4) = const

ШКАЛЫ ОТНОШЕНИЙ Шкалой отношений (подобия) называется шкала, если Ф состоит из преобразований подобия φ(х) = ах, а > 0, где х Y -шкальные значения из области определения Y; а - действительные числа. В шкалах отношений остаются неизменными отношения численных оценок объектов. Действительно, пусть в одной шкале объектам а 1 и а 2 соответствуют шкальные значения х 1 и х 2, а в другой φ(х 1 ) = ах 1 и φ(х 2 ) = ах 2, где а > 0 - произвольное действительное число. Тогда имеем: х 1 / х 2 = φ(х 1 ) / φ(х 2 ) = ах 1 / ах 2

ШКАЛЫ РАЗНОСТЕЙ Шкалы разностей определяются как шкалы, единственные с точностью до преобразований сдвига φ (х) = х + b, где х Y - шкальные значения из области определения Y; b действительные числа. Это означает, что при переходе от одной числовой системы к другой меняется лишь начало отсчета. Шкалы разностей применяются в тех случаях, когда необходимо измерить, насколько один объект превосходит по определенному свойству другой объект. В шкалах разностей неизменными остаются разности численных оценок свойств. Действительно, если х 1 и х 2 - оценки объектов а 1 и а 2 в одной шкале, а φ (х 1 ) = х 1 + b и φ(х 2 ) = х 2 + b - в другой шкале, то имеем: φ (х 1 ) - φ (х 2 ) = (х 1 + b) - (х 2 + b) = х 1 - х 2.

АБСОЛЮТНЫЕ ШКАЛЫ Абсолютными называют шкалы, в которых единственными допустимыми преобразованиями Ф являются тождественные преобразования: φ (х) = {е}, где е(х) = х. Это означает, что существует только одно отображение эмпирических объектов в числовую систему. Отсюда и название шкалы, так как для нее единственность измерения понимается в буквальном абсолютном смысле. Абсолютные шкалы применяются, например, для измерения количества объектов, предметов, событий, решений и т.п. В качестве шкальных значений при измерении количества объектов используются натуральные числа, когда объекты представлены целыми единицами, и действительные числа, если кроме целых единиц присутствуют и части объектов.

Кроме указанных существуют промежуточные типы шкал, такие, например, как степенная шкала: φ (х) = а х b ; а > 0, b> 0, а 1, b1, и ее разновидность логарифмическая шкала: φ (х) = х b ; b> 0, b1.

2. О бработка характеристик, измеренных в разных шкалах Пример балльной оценки свойств систем Свойство системы Система АСистема Б истинная в баллахистинная в баллах У1У1 4,443,64 У2У2 3,333,74 Уз 2,422,63 У 4У 4 4,442,63 Суммарн ая оценка 14,51312,514