Теорема о площади треугольника

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними. А В С а b x y H h

Следствие 1 Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними ( докажите самостоятельно) Диагональ параллелограмма, делит его на два равновеликих треугольника : S Δ = a b sin, S пар = a b sin

Следствие 2 Площадь параллелограмма равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними А С ABCD- параллелограмм, BD=d 1, AC=d 2, AOB=α S AOB =S COD S BOC =S AOD 4·S Δ В D O 180°-α

Площадь прямоугольника d α d d2d2

Площадь произвольного четырёхугольника A D B C α O d1d1 d2d2 ABCD- 4-угольник, BD=d 1. AC=d 2, СOD=α S ABCD =S ABO +S BOC +S COD +S AOD 180°-α S ABCD = + = = BD AC

Площадь трапеции

Задания по готовым чертежам

1. Вычислите площадь d1d1 2. d2d2 150° d1d1 Найти: высоты параллелограмма 6

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов A B C a b c α β γ

Следствие 1 Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно двум радиусам (диаметру) описанной окружности. ω А В С α О α а 1 случай А1А1 ВА 1

2 случай ΔАВС- тупоугольный(докажите самостоятельно). А В А1А1 С О а α 180°-α

Следствие 2 Площадь треугольника можно вычислить по формуле a, b, c – стороны треугольника, R – радиус окружности, описанной около треугольника. ( докажите самостоятельно, используя теорему о площади треугольника и следствие из теоремы синусов ) Значит, с

Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. b В А С a α c х у (0;0) (с;0) По формуле расстояния между двумя точками получаем: BC 2 = a 2 = (b cosα –c) 2 +b 2 sin 2 α=b 2 cos 2 α- 2bc cosα+c 2 +b 2 sin 2 α = = b 2 (cos 2 α + sin 2 α)+c 2 - 2bc cosα 1 =b 2 +c 2 - 2bc cosα

Докажите самостоятельно, используя теорему косинусов, следующее утверждение: Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

Задания по готовым чертежам

A B C 30° 5 Найти: АВ ° 6 С B А А Найти: ВС Найти: В и R( радиус описанной окружности) B С 4 75° 60° 2 4 A 3 Найти: B. C B 120° 2 Найти: A. C B A 60°60° Найти: R( радиус описанной окружности) A B D C Найти: AС ВD = 15

Задания по готовым чертежам

5 С ВС= Найти : АН BD- биссектриса ABСD - ромб Найти : S ABD, S BDC AB=10, AC=14. Найти: S BOC, Найти : АС Найти : ВС ABСD - параллелограмм