Треугольник А В С с b a Обозначения: А, В,С – вершины, а так же углы при этих вершинах; a, b, c – стороны, противолежащие углам А, В, С соответственно; - презентация

1 Треугольник А В С с b a Обозначения: А, В,С – вершины, а так же углы при этих вершинах; a, b, c – стороны, противолежащие углам А, В, С соответственно; h a, h b,h c -высоты, опущенные на стороны a, b, c соответственно; m a, m b, m c – медианы; l a, l b, l c – биссектрисы; R- радиус описанной окружности; r- радиус вписанной окружности.

2 Площадь треугольника S= ah a = bh b = ch c S= pr

3 Медиана, биссектриса, высота

4 Теорема о свойстве биссектрисы внутреннего угла треугольника: Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам : b c a b1b1 c1c1 lala Длина биссектрисы:

5 ( радиус описанной окружности) 2. центр окружности, описанной около треугольника, находится в точке пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника. Следует иметь в виду, что: 1.Центр окружности, вписанной в треугольник, находится в точке пересечения биссектрис треугольника; (радиус вписанной окружности)

6 Высоты и стороны треугольника: Теорема косинусов : Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. a 2 = b 2 +c 2 – 2bc cosA b 2 = a 2 +c 2 – 2ac cosB c 2 = a 2 +b 2 - 2ab cosC

7 Теорема синусов: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов т.е. a b c

8 Признаки подобия треугольников 1. По двум пропорциональным сторонам и углу между ними: a b a1a1 b1b1

9 2.По двум равным углам 3. По трем пропорциональным сторонам a b c a1a1 b1b1 c1c1

10 Свойства медиан Каждая медиана точкой пересечения делится отношении 2:1, считая от вершины Каждая медиана делит треугольник на 2 равновеликих треугольника ( одинаковой по площади)

11 Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольника Три медианы делят треугольник на 3 равновеликих треугольника

12 Прямоугольный треугольник b a hchc bcbc acac a 2 = c a c b 2 = c b c ·· ·· h c 2 = a c a 2 +b 2 =c 2 (теорема Пифагора).bc.bc

13 Площадь прямоугольного треугольника Радиус (центр описанной окружности находится на середине гипотенузы)

14 Признаки подобия прямоугольных треугольников 1.По одному острому углу 2. По пропорциональности двух катетов 3. По пропорциональности катета и гипотенузы

15 Признаки равенства прямоугольных треугольников 1. По двум катетам 2. По одному катету и гипотенузе 3. По катету и прилежащему острому углу 4. По гипотенузе и острому углу

16 Равносторонний треугольник h aa a r R Следует иметь в виду, что: 1. Каждая медиана равностороннего треугольника совпадает с биссектрисой и высотой, проведенными из этой вершины. 2. Центры вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника совпадают.

17 Четырёхугольники. Параллелограмм b a haha d1d1 d2d2 α a и b – смежные стороны α – угол между смежными сторонами d 1 и d 2 – диагонали β - угол между диагоналями h a – высота, проведённая к стороне а β d 1 2 +d 2 2 =2(a 2 +b 2 ) Обе диагонали делят параллелограмм на 4 равновеликих(равных по площади) треугольника.

18 Ромб a a d2d2 d1d1 h α d 1 2 +d 2 2 =4a 2 d 1 d 2 S=a 2 = d 1 d 2 = ah r= (радиус вписанной окружности)

19 Прямоугольник β a b d1d1 d2d2 d 1 =d 2 S=ab= d 2 sin β d= 22 - диагональ прямоугольника R= (радиус описанной окружности)

20 Квадрат a a d d 1 =d 2 d 1 d 2 S=a 2 = d 2 R= = (радиус описанной окружности) r= (радиус вписанной окружности)

21 Трапеция b a h d1d1 d2d2 l β a и b – основания h – высота l – средняя линия d 1 и d 2 – диагонали β – угол между диагоналями l= S= h=lh= d 1 d 2 sin

22 Равнобокая(равнобедренная, равнобочная)трапеция A BC D K E AB=CD