Т Р Е У Г О Л Ь Н И К И Т Р Е У Г О Л Ь Н И К И П Р О Е К Т М К О У Х р е н о в с к а я С О Ш 2 2 0 1 3 г. - презентация

1

2 Т Р Е У Г О Л Ь Н И К И Т Р Е У Г О Л Ь Н И К И П Р О Е К Т М К О У Х р е н о в с к а я С О Ш г.

3 Ц Е Л И Развитие творческой активности учащихся в области математики. Создание справочно-информационной базы о треугольниках.

4 З А Д А Ч И Использование информационных технологий для осуществления активного, качественного и эффективного образования учащихся.

5 К Р А Т К О Е О П И С А Н И Е При решении задач по математике довольно часто встречаются треугольники. Проект направлен на: 1)повторение и расширенное изучение учащимися теоретического материала о треугольниках; 2)приобретение умений и навыков по использованию Интернет-ресурсов с целью образования; 3)создание справочно-информационной базы о треугольниках. Результат деятельности учащихся, презентацию, можно использовать в 7-11 классах как на уроках, так и во вне уроков.

6 В С Ё О Т Р Е У Г О Л Ь Н И К А Х Биссектриса Средняя линия Площадь Замечательные точки Теорема синусов Теорема косинусов (выбери нужную информацию) Определение Виды (по величине углов) Виды (по числу сторон) Признаки равенства Медиана Высота ВЫХОД

7 Т Р Е У Г О Л Ь Н И К Треугольник простейший многоугольник, имеющий 3 вершины и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, не лежащими на одной прямой, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки. Вершины треугольника обычно обозначаются заглавными латинскими буквами (A, B, C), величины углов при соответственных вершинах греческими буквами (α,β,γ), а длины противоположных сторон прописными латинскими буквами (a, b, c).

8 М Е Д И А Н А Т Р Е У Г О Л Ь Н И К А Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны. Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка пересечения называется центроидом или центром тяжести треугольника. Последнее название связано с тем, что у треугольника, сделанного из однородного материала, центр тяжести находится в точке пересечения медиан. Центроид делит каждую медиану в отношении 1:2, считая от основания медианы.центроидом

9 В Ы С О Т А Т Р Е У Г О Л Ь Н И К А Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или ее продолжение, называется высотой треугольника. Три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.

10 Б И С С Е К Т Р И С А Т Р Е У Г О Л Ь Н И К А Биссектрисой треугольника, проведенной из данной вершины, называют отрезок, соединяющий эту вершину с точкой на противоположной стороне и делящий угол при данной вершине пополам. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка совпадает с центром вписанной окружности.

11 В И Д Ы Т Р Е У Г О Л Ь Н И К О В ( по величине углов ) Если все углы треугольника острые, то треугольник называется остроугольным. Если один из углов треугольника тупой (больше 90°), то треугольник называется тупоугольным. Если один из углов треугольника прямой (равен 90°), то треугольник называется прямоугольным. Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой. Остроугольный Тупоугольный Прямоугольный

12 В И Д Ы Т Р Е У Г О Л Ь Н И К О В ( по числу равных сторон ) Разносторонним называется треугольник, у которого длины трех сторон попарно различны. Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием. В равнобедрен- ном треугольнике углы при основании равны. Высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника, опущенные на основание, совпадают. Равносторонним называется треугольник, у которого все три стороны равны. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°, а центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Разносторонний Равнобедренный Равносторонний

13 С Р Е Д Н Я Я Л И Н И Я Т Р Е У Г О Л Ь Н И К А Средняя линия треугольника линия, соединяющая середины сторон этого треугольника.треугольника Свойства средней линии треугольника: средняя линия треугольника параллельна стороне, не пересекающейся с нею; средняя линия треугольника равна половине стороны треугольника, которой она параллельна. при проведении всех трёх средних линий в равностороннем треугольнике образуются 4 равных треугольника с коэффициентом подобия 1/2 к начальному.

14 З А М Е Ч А Т Е Л Ь Н Ы Е Т О Ч К И В четвертой книге «Начал» Евклид решает задачу: «Вписать круг в данный треугольник». Из решения вытекает (1): три биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке центре вписанной окружности. Из решения другой задачи Евклида вытекает (2): перпендикуляры, восстановленные к сторонам треугольника в их серединах, тоже пересекаются в одной точке центре описанной окружности.Евклид В «Началах» не говорится (3): три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром. Это предложение было, однако, известно Архимеду, Паппу, Проклу. Четвертой особенной точкой треугольника является точка пересечения медиан. Архимед доказал (4): точка пересечения медиан является центром тяжести (барицентром) треугольника.

15 ГДЕ: - высота, проведённая на сторону b - полупериметр r - радиус, вписанной окружности - радиус вневписанной окружности, касающейся стороны b R - радиус описанной окружности П Л О Щ А Д Ь Т Р Е У Г О Л Ь Н И К А Площадь фигуры числовая характеристика фигуры. В простейшем случае, когда фигуру можно разбить на конечное множество единичных квадратов, площадь равна числу квадратов. 1)1)2)3) 4)

16 П Л О Щ А Д Ь Т Р Е У Г О Л Ь Н И К А – для прямоугольного треугольника 5) 6) 7) 8)

17 П Р И З Н А К И Р А В Е Н С Т В А Т Р Е У Г О Л Ь Н И К О В Треугольник однозначно можно определить по следующим тройкам основных элементов: a, b, c (равенство по трём сторонам); b, c, (равенство по двум сторонам и углу между ними); с,, β (равенство по стороне и двум прилежащим углам).

18 Т Е О Р Е М А С И Н У С О В Теорема синусов теорема, устанавливающая зависимость между сторонами треугольника и противолежащими им углами. Теорема утверждает, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Для произвольного треугольника: где: a, b, c стороны треугольника; α,β,γ соответственно противолежащие им углы; R радиус описанной около треугольника окружности.

19 Т Е О Р Е М А К О С И Н У С О В Теорема косинусов обобщение теоремы Пифагора. Теорема утверждает, что квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. Для произвольного треугольника: a 2 = b 2 + c 2 2bc cost, где: a, b, c стороны треугольника; α соответственно угол, противолежащий стороне a.