История и способы доказательства Выполнил: обучающийся 11 класса Погодит Алексей Руководитель: Железцова И.Н., учитель математики, Щукина Т.Ю., учитель информатики МБОУ СОШ с. Безводное

История создания теоремы. «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов,» - такова современная формулировка этой знаменитой теоремы. Впервые её вывел и доказал древнегреческий ученый и математик Пифагор. Существует миф, что после открытия этой формулы он устроил огромный пир, заколов в жертву богам сто быков. Однако, уже в древнекитайской книге Чу-Пей говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5. Чертёж, приведенный в ней для наглядности, был взят из индусской книги геометрии – «Геометрии» Басхары. Равенство =5 2 было известно было также известно в Древнем Египте. В времена правления фараона Аменехмета (2300 г до н. э.) египтяне строили прямые углы с помощью прямоугольного треугольника со сторонами 3, 4 и 5, который позже так и назвали – египетский. Вавилонянам о соотношении сторон прямоугольного треугольника было известно несколько больше. В текстах уже в 2000 г. до н. э., приводится приближённое вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника. Не исключено, что теорема Пифагора была известна в Древней Индии в 1800 г до н. э. Но, несмотря на исследования и доводы ученых, теорема до сих пор считается впервые сформулированной и доказанной именно Пифагором, а не кем-либо другим.

Биография Пифагора Самосского ПИФАГОР САМОССКИЙ О жизни Пифагора известно немного. Он родился в 580 г. до н.э. в Древней Греции на острове Самос, который находится в Эгейском море у берегов Малой Азии, поэтому его называют Пифагором Самосским. Родился Пифагор в семье небогатого резчика по камню. Еще в детстве он проявлял незаурядные способности. В 20 лет Пифагор перебрался в город Милеет и стал учеником Фалеса, которому в то время было далеко за 80. Мудрый учёный посоветовал юноше отправиться в Египет, где сам, когда-то изучал науки. Перед Пифагором открылась неизвестная страна. Его поразило то, что в родной Греции боги были в образе людей, а египетские боги – в образе полулюдей-полуживотных. Знания были сосредоточены в храмах, доступ в которые был ограничен. Пифагору потребовались годы, чтобы глубоко изучить египетскую культуру прежде, чем, ему было разрешено познакомиться с многовековыми достижениями египетской науки. Когда Пифагор постиг науку египетских жрецов, он решил создать школу у себя на родине. Жрецы, не желавшие распространения своих знаний за пределы храмов, не хотели его отпускать. С большим трудом ему удалось преодолеть эту преграду. Однако по дороге домой, Пифагор попал в плен и оказался в Вавилоне. Вавилоняне ценили умных людей, поэтому он нашёл своё место среди вавилонских мудрецов. Наука Вавилона была более развитой, нежели египетская. Наиболее поразительными были успехи алгебры. Вавилоняне изобрели и применяли при счёте позиционную систему счисления, умели решать линейные, квадратные и некоторые виды кубических уравнений. Пифагор прожил в Вавилоне около десяти лет и в сорокалетнем возрасте вернулся на родину. Но на острове Самос он оставался недолго. В знак протеста против тирана Поликрата, который тогда правил островом, поселился в одной из греческих колоний Южной Италии в городе Кротоне, где и умер спустя 30 лет.

Формулировки теоремы У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод): "В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол". Латинский перевод арабского текста Аннаирици (около 900 г. до н. э. ), сделанный Герхардом Клемонским (начало 12 в.), в переводе на русский гласит: "Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол". В Geometria Culmonensis (около 1400 г.) в переводе теорема читается так : "Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу". В первом русском переводе евклидовых "Начал", сделанном Ф. И. Петрушевским, теорема Пифагора изложена так: "В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол«. Пребудет вечной истина, как скоро Ее познает слабый человек! И ныне теорема Пифагора Верна, как и в его далекий век. Обильно было жертвоприношенье Богам от Пифагора. Сто быков Он отдал на закланье и сожженье За света луч, пришедший с облаков. Поэтому всегда с тех самых пор, Чуть истина рождается на свет, Быки ревут, ее почуя,вслед. Они не в силах свету помешать, А могут лишь закрыв глаза дрожать От страха, что вселил в них Пифагор. Шамиссо.

Способы доказательства теоремы Пифагора Сейчас в истории зафиксировано более 367 доказательств этой теоремы. Она настолько известна, что многие знают её формулировку, при этом не зная ни кто такой Пифагор, ни способов её доказательства. Все доказательства делятся на несколько групп: через площадь, через аксиомы, через подобные треугольники, «экзотические» (например, с помощью дифференциальных уравнений), с помощью дополнения или разложения чертежа….

Доказательство Евклида Все доказательство теоремы сводится к доказательству равенства площадей квадрата ABFH и прямоугольника BDJL (или квадрата ACKG и прямоугольника CJLE). Треугольники ABD и BFC равны по двум сторонам и углу между ними: FB = AB, BC = BD, <FBC = <D + <ABC = <ABD. S ABD = 1/2 S BJLD, S FBC =1/2 S ABFH Тогда S ABD =S FBC, S BJLD =S ABFH. Также доказывается и S JCEL =S ACKG А затем S ABFH +S ACKG = S BJLD +S JCEL = S BCED т.е. a 2 +b 2 =c 2, что и требовалось доказать

Доказательство Хоукинса Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C повернем на 90° так, чтобы он занял положение A'CB'. Продолжим гипотенузу A'В' за точку A' до пересечения с линией АВ в точке D. Отрезок В'D будет высотой треугольника В'АВ. Рассмотрим теперь заштрихованный четырехугольник A'АВ'В. Его можно разложить на два равнобедренных треугольника САA' и СВВ' (или на два треугольника A'В'А и A'В'В). S CAA' =b²/2, S CBB' =a²/2, S A'AB'B =(a²+b²)/2 Треугольники A'В'А и A'В'В имеют общее основание с и высоты DA и DB, поэтому : S A'AB'B =c*DA/2+ c*DB/2=c(DA+DB)/2=c²/2 Сравнивая два полученных выражения для площади, получим: a²+b²=c², что и требовалось доказать.

Доказательство Басхары Одно из самых простых доказательств теоремы - доказательство индийского математика Басхары. В пояснение к нему он написал только одну строчку: "Смотри!". Ученые считают, что он выражал площадь квадрата,построенного на гипотенузе, как сумму площадей треугольников (4ab/2) и площадь квадрата (a-b)². Следовательно: c²=4ab/2+(a-b)² c=2ab+a²-2ab+b² c²=a²+b² Что и требовалось доказать.

Доказательство через подобные треугольники Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C. Проведём высоту из C и обозначим её основание через H. Треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам. Аналогично, треугольник CBH подобен ABC. a/c=HB/a, b/c=AH/b т.е. a 2 =c*HB, b 2 =c*AH Следовательно a 2 +b 2 =c*(HB+AH)=c 2 Что и требовалось доказать.

Доказательство через равно дополняемость

Доказательства методом разложения Доказательство Эпштейна Доказательство Нильсена Доказательство Перигаля

«Стул невесты» «Стул невесты» (Индия, 9 в н. э.)

Доказательство Бертхера

«Мозаичное» доказательство А здесь приведено доказательство, где и доказывать-то ничего и не надо. Рассмотрим случай, когда треугольник ABC – равнобедренный.

Практическое применение Теорема Пифагора используется практически везде: в строительстве: для проектирования чертежа крыши дома, создания некоторых видов окон; в астрономии, в работе мобильной связи и в других вещах, которыми мы пользуемся ежедневно.

Практическое применение В зданиях готического и романского стиля верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле. Способ построения его очень прост: Из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны ширине окна (b) для наружных дуг и половине ширины (b/2), для внутренних дуг. Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг. Так как она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию между этими окружностями, т. е. b/2 и, следовательно, радиус равен b/4. А тогда становится ясным и положение ее центра.

Практическое применение В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на рисунке. Если b по-прежнему обозначает ширину окна, то радиусы полуокружностей будут равны R = b / 2 и r = b / 4. Радиус p внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника, изображенного на рис. пунктиром. Гипотенуза этого треугольника, проходящая через точку касания окружностей, равна b/4+p, один катет равен b/4, а другой b/2-p. По теореме Пифагора имеем: (b/4+p)=( b/4)+( b/4-p) или b/16+ b*p/2+p=b/16+b/4-b*p+p, откуда b*p/2=b/4-b*p. Разделив на b и приводя подобные члены, получим: (3/2)*p=b/4, p=b/6.

Практическое применение Крыша В доме задумано построить двускатную крышу (форма в сечении). Какой длины должны быть стропила, если изготовлены балки AC=8 м, и AB=BF. Решение: Треугольник ADC - равнобедренный AB=BC=4 м, BF=4 м Если предположить, что FD=1,5 м, тогда: А) Из треугольника DBC: DB=2,5 м Б) Из треугольника ABF: Молниеотвод Молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние до которых от его основания не превышает его удвоенной высоты. Определить оптимальное положение молниеотвода на двускатной крыше, обеспечивающее наименьшую его доступную высоту. Решение: По теореме Пифагора h 2 a 2 +b 2, значит h (a 2 +b 2 ) ½. Ответ: h (a 2 +b 2 ) ½

Практическое применение Мобильная связь В настоящее время при строительстве вышки (антенны) часто приходится решать задачу: какую наибольшую высоту должна иметь антенна, чтобы передачу можно было принимать в определенном радиусе (например радиусе R=200 км?, если известно. что радиус Земли равен 6380 км.) Решение: Пусть AB= x, BC=R=200 км, OC= r =6380 км. OB = OA + AB OB = r + x Используя теорему Пифагора, получим ответ. Ответ: 2,3 км.

Практическое применение Астрономия На этом рисунке показаны точки A и B и путь светового луча от A к B и обратно. Путь луча показан изогнутой стрелкой для наглядности, на самом деле, световой луч - прямой. Какой путь проходит луч? Поскольку свет идет туда и обратно одинаковый путь, спросим сразу: чему равна половина пути, который проходит луч? Если обозначить отрезок AB символом l, половину времени как t, а также обозначив скорость движения света буквой c, то наше уравнение примет вид c * t = l Очевидно? Это ведь произведение затраченного времени на скорость! Вопрос: на сколько успеет сместится точка (чтобы превратиться в точку C), пока путешествует световой луч(по отношении,например, к космическому кораблю)? Точнее, опять спросим о половине данного смещения! Если обозначить половину времени путешествия луча буквой t', а половину расстояния AC буквой d, то получим наше уравнение в виде: v * t' = d Где буквой v обозначена скорость движения космического корабля.

Практическое применение Другой вопрос: какой путь при этом пройдет луч света?(Точнее, чему равна половина этого пути? Чему равно расстояние до неизвестного объекта?) Если обозначить половину длины пути света буквой s, то получим уравнение: c * t' = s Здесь c - это скорость света, а t' - это тоже самое время, которые мы рассматривали на формулы выше. Теперь рассмотрим треугольник ABC. Это равнобедренный треугольник, высота которого равна l. Да-да, тому самому l, которое мы ввели при рассмотрении процесса с неподвижной точки зрения. Поскольку движение происходит перпендикулярно l, то оно не могло повлиять не нее. Треугольник ABC составлен из двух половинок - одинаковы прямоугольных треуголников, гипотенузы которых AB и BC должны быть связаны с катетами по теореме Пифагора. Один из катетов - это d, которое мы рассчитали только что, а второй катет - это s, который проходит свет, и который мы тоже рассчитали. Получаем уравнение: s 2 = l 2 + d 2