МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПСТГУ Богословский факультет Будем же учиться хорошо мыслить вот основной принцип морали. ( Б. Паскаль)
Введение МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ Построение математической модели-описание реальных объектов на языке математики Модель это условный образ объекта исследования, созданный по аналогии или сходству с реальным объектом. Реальный объект Математическая модель Формализация
Введение Цели математического моделирования - получить более точное представление о наиболее существенных свойствах реального объекта и предсказать будущие события Реальный объект Математическая модель Формализация Результаты Моделирование Интерпретация
Введение Критерий математического моделирования - описание моделей на точном уровне, не допускающем принципиальных разночтений. Математическая модель Вербальные,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Формальные Смешанные
Методологические основы моделирования Постановка задачи моделирования 1) Определение цели: Дано V, требуется Z, или V - заданные условия включают: множество возможных состояний S рассматриваемой системы множество операторов (правил) R, переводящих объект из одного возможного состояния в другое Z - цель В большинстве случаев понимается как желаемое состояние объекта. S1 S2 S3 Z...
Методологические основы моделирования Постановка задачи моделирования 1) Определение цели: Дано S,R, требуется Z, или Пример: следователь, исходя из имеющихся фактов (описания состояния объекта S) должен найти преступника и на основе правовых норм и логических заключений (R) доказать его виновность или невиновность (цель Z) Z - цель В большинстве случаев понимается как желаемое состояние объекта. S1 S2 S3 Z...
Методологические основы моделирования Постановка задачи моделирования 2) Определение: объекта исследования, окружающей его среды, возможных факторов, влияющих на объект, 3) Определение: способов описания собственно объекта и (или) правил перехода из одного состояния в другое, 4) Определение: цели решения задачи и оценки качества решений.
Методологические основы моделирования Постановка задачи моделирования Формальная модель поставленной задачи может быть записана следующим образом: Дано X, Y, R, W; требуется Z, где X множество входных управляемых и неуправляемых факторов; Y множество исходов, т. е. результатов взаимодействия входных факторов с объектом рассмотрения; R множество операторов, определяющих появление исходов в результате взаимодействия входных факторов с рассматриваемым объектом; Z множество целей желаемых состояний системы; W множество критериев оценки элементов множества Z.
Методологические основы моделирования Постановка задачи моделирования Пример: Задача: разработка мероприятий по улучшению условий жизни жителей данного города N. Цель: улучшение условий жизни. Критерии 1: обеспеченность жильем, уровень экологического загрязнения, удобство транспортного обслуживания, качество медицинского обслуживания и т. д Критерий 2 : максимум средних финансовых затрат населения на потребление
Методологические основы моделирования Типы задач моделирования Тип А: Нахождение допустимого варианта решения, которое. а) должно отвечать ограничениям по ресурсам g k0 и б)быть внутренне сбалансированным (непротиворечивым) Цели выражаются в виде специальных ограничений типа быть не менее чем... или заданий быть равным... Примеры модели прямого вычисления (вычисления по формулам, а также решение систем уравнений и неравенств), модели баланса, модели прогнозирования. Как правило предназначены только для решения вопросов анализа
Методологические основы моделирования Типы задач моделирования Тип B: оптимизационные Максимизация (минимизация) характеристик объектов исследования на множестве допустимых вариантов решения Цели выражаются с помощью выбранных характеристик, которые в свою очередь определяют критерии оценки и отбора вариантов Пример. Требуется разработать план подготовки в условиях заочного обучения (D) за самый короткий срок (Т) специалистов с наивысшим в данной области образованием V и с наименьшими затратами средств W. Однокритериальные Многокритериальные
Методологические основы моделирования Типы задач моделирования Тип C: Нормативные или задачи поиска решения, встречаются в целенаправленной деятельности людей. В постановках таких задач дают развернутую формулировку целей в виде целевых нормативов. Оценка качества решения осуществляется путем вычисления отклонения выбранных показателей от этих нормативов Если нормативы просто перечислены, то постановка становится похожей на постановку типа А. Если целевые нормативы могут быть как-то ранжированы или даже взвешены, то постановка С внешне будет походить на постановку типа В.
Методологические основы моделирования Типы задач моделирования Тип А: Ресурсные Тип В: Оптимизационные Тип C: Нормативные
Методологические основы моделирования 2. Классификация моделей формулировка задачи формализация задачи в виде математической модели, «Подгонка» задачи под известную модель Построение новой, адекватной математической модели
Методологические основы моделирования Классификация моделей по целевому назначению а) Модели структуры описывают связи между средой и компонентами системы. канонические модели, где описана связь с окружающей средой через вход и выход; модели внутренней структуры, описывающие состав компонентов системы и связь между ними; модели иерархической структуры, где целое расчленяется на элементы более низкого уровня (обычно в виде дерева структуры системы) и др.
Методологические основы моделирования Классификация моделей по целевому назначению б) Модели функционирования отражают порядок взаимодействия элементов при выполнении отдельных операций; временные модели, описывающие процедуры функционирования во времени. модели жизненного цикла системы в целом; модели операций, представляющие описание процессов функционирования отдельных элементов; информационные модели, описывающие взаимосвязи источников и потребителей информации, характер ее преобразования.
Методологические основы моделирования Классификация моделей по целевому назначению в) Стоимостные модели предназначены для комплексной оценки по экономическим критериям Структурные Функциональные Стоимостные
Методологические основы моделирования Классификация моделей по типу задач а) Описательные (дескриптивные) модели (постановки задач типа А) предназначены для описания изучаемого процесса, объяснения наблюдаемых фактов прогноза поведения системы планирование без оптимизации (балансовые модели); модели для некоторых задач сетевого планирования и управления (расчет по известным формулам); модели для задач учета; модели для задач контроля и анализа (обычно в виде статистических моделей); модели прогнозирования; модели для расчета параметров функционирования случайных систем с неформализованными связями.
Методологические основы моделирования Классификация моделей по типу задач б) Нормативные(прескриптивные) модели (постановки задач типа В) что должно было бы происходить, если принять некоторые исходные предположения. предназначены для определения наилучшего эффекта или состояния. С их помощью дается ответ на вопросы о том, как должно быть..
Методологические основы моделирования Классификация моделей по типу задач в) Модели конструирования решений (постановки задач типа С) Формализованные схемы построения комплексных решений. Обычно включают в качестве элементов и дескриптивные, и нормативные модели.
Методологические основы моделирования Классификация моделей по типу задач Описательные (дескриптивные) Нормативные (прескриптивные ) Модели конструирования решений
Методологические основы моделирования Классификация моделей по форме реализации Аналитические модели записываются в виде математических конструкций, без логических условий, приводящих к разветвлению вычислительного процесса. Алгоритмические модели в них присутствуют логические условия, приводящие к разветвлению вычислительного процесса.
Методологические основы моделирования Основные принципы построения математических моделей Достаточность используемой информации. Использование той информации, которая требуется в соответствии с разрабатываемым алгоритмом противоположно подходу: «сначала сбор информации, а затем построение алгоритма по обработке этой информации». Инвариантность информации. Входная информация должна быть независима от параметров моделируемой системы. Т.е. модель должна работать без коррекции в некотором диапазоне значений входной информации. Преемственность. Каждая последующая модель не должна нарушать свойств объекта, полученного на предыдущих этапах или при использовании других моделей. Эффективная реализуемость. Соответствие точности исходных данных, точности решения задачи и точности результирующей информации.
Методологические основы моделирования Процедура математического моделирования ЭТАП I Построение концептуальной модели Исследование объекта моделирования Построение вербальной (описательная) модели. Она дает содержательное представление –о существенных свойствах системы –главных связях между этими свойствами. Она включает: –условие функционирования системы; –цели исследования; –возможности управления системой.
Методологические основы моделирования Процедура математического моделирования ЭТАП I Построение концептуальной модели проблемы: Потеря адекватности модели при упрощении системы формулировке и формализация целей, замене цели критерием. Трудности согласования при формализации внутренних и внешних ограничений и учете большего количества ограничений; Появление неоднозначности при классификации факторов и выделении из них управляемых факторов.
Методологические основы моделирования Процедура математического моделирования ЭТАП II Построение алгоритма или эвристической процедуры Алгоритм -строго определенная последовательность действий, которая удовлетворяет требованиям определенности, массовости и результативности (т.е.получения решения за конечное число операций) Если последнее не выполнено, то говорят об эвристической процедуре
Методологические основы моделирования Процедура математического моделирования ЭТАП II Построение алгоритма или эвристической процедуры Обеспечивает: –целостное восприятие системы и –ее функционирования. Уточняет: –роль и место каждой подсистемы, –элемента, –Функции.
Методологические основы моделирования Процедура математического моделирования ЭТАП III Построение математической модели требует дополнительной кропотливой работы по углубленному изучению системы. Для определения: численного значения констант, диапазона изменения –факторов и –переменных законов распределения и их параметров
Методологические основы моделирования Процедура математического моделирования ЭТАП III Построение математической модели Проблемы: формализация качественных зависимостей определение количественных математических соотношений
Методологические основы моделирования Процедура математического моделирования ЭТАП III Построение математической модели требует дополнительной кропотливой работы по углубленному изучению системы. Для определения: численного значения констант, диапазона изменения –факторов и –переменных законов распределения и их параметров
Методологические основы моделирования Процедура математического моделирования ЭТАП IV Проведение исследований (решение задачи с помощью модели), Выбирается: метод решения алгоритм решения Анализ и версификация результатов решения
Динамические модели В 1798 Мальтус опубликовал работу, посвященную проблеме выживаемости человечества и содержащую следующую математическую модель: Если N(t) обозначает численность популяции на момент времени t, b мгновенная рождаемость (коэффициент рождаемости), то простейшая математическая модель выглядит следующим образом
Динамические модели Это обыкновенное дифференциальное уравнение,- решение которого при N(0) = No, имеет вид: Если ввести показатель мгновенной смертности d (коэффициент смертности), то модель приобретает вид:
Динамические модели Решение этого уравнения (изменение численности популяции.во времени) есть функция Величина r = b d служит мерой, определяющей скорость роста популяции. Если r 0 возрастает. При r= 0 популяция устойчива по численности.
Динамические модели На продолжительном отрезке времени смертность и рождаемость могут значительно изменяться, т. е. быть функцией времени г = r(t). В этом случае:
Динамические модели Экспоненциальный рост величины N(t) показывает, что даже малые отклонения от устойчивого состояния могут привести к неограниченному росту (или исчезновению) популяции. В реальной же действительности существуют некоторые внутренние механизмы, регулирующие численность популяции. Эффективность этих механизмов часто зависит от численности популяции на данный, момент, т. е. равна N(t). Учет такого механизма приводит к следующей модели:
Динамические модели В частном случае, если К максимальная численность популяции, которую может обеспечить окружающая среда и изменение скорости роста популяции пропорционально величине (К N(t))/K, то модель примет вид: Это уравнение имеет решение, которое достаточно хорошо описывает изменение численности популяции и может использоваться на практике.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ Конец лекции