Исследование моделей

Математические модели

Приближенное решение уравнений На языке алгебры формальные модели записываются с помощью уравнений, точное решение которых основывается на поиске равносильных преобразований алгебраических выражений, позволяющих выразить переменную величину с помощью формулы. Точные решения существуют только для некоторых уравнений определенного вида (линейные, квадратные, тригонометрические и др.), поэтому для большинства уравнений приходится использовать методы приближенного решения с заданной точностью (графические, числовые и др.).

Графический метод. Построение графиков функций может использоваться для грубо приближенного решения уравнений. Для не имеющего точного алгебраического решения уравнение вида f 1 (x) = f 2 (x), где f 1 (x) = f 2 (x) - некоторые непрерывные функции, корень (или корни) этого уравнения являются точкой (или точками) пересечения графиков этих функции.

Задача. Найти графическим методом корень уравнения x 3 = sin x, которое не имеет точного алгебраического решения. Координаты х точек пересечения графиков будут корнями данного уравнения: x 1 -1, x 2 0, x 3 1.

Числовой метод половинного деления. Для решения уравнений с заданной точностью можно применить разработанные в вычислительной математике числовые итерационные методы решения уравнений. Если мы знаем отрезок, на котором существует корень, и функция на краях этого отрезка принимает значения разных знаков, то можно использовать метод половинного деления. Идея метода состоит в выборе точности решения и сведении первоначального отрезка [A;B], на котором существует корень уравнения, к отрезку заданной точности. Процесс сводится к последовательному делению отрезков пополам точкой C = (A+B)/2 и отбрасыванию той половины отрезка ([A;C] или [C;B]), на котором корня нет. Выбор нужной половины отрезка основывается на проверке знаков значения функции на его краях. Выбирается та половина, на которой произведение значений функции на краях отрицательно, т.е. когда функция имеет разные знаки и пересекает ось абсцисс. Процесс продолжается до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше удвоенной точности. Деление этого отрезка пополам дает значение корня с заданной точностью x = (A+B)/2.

x 3 = sin x Из графика функции видно, что первый корень находится на отрезке [-1;-0,5], второй на отрезке [-0,5;0,5] а третий на отрезке [0,5;1]. Сначала введем в текстовые поля значения концов первого отрезка, а также точность вычислений (например, 0,0001). В текстовое поле будет выведено значения первого корня, вычисленное с заданной точностью: x 1 = -0,9286. После ввода в текстовые поля значения концов второго отрезка в текстовое поле будет выведено значения второго корня x 2 = 0. После ввода в текстовые поля значения концов третьего отрезка в текстовое поле будет выведено значения третьего корня x 3 = 0,9286.

Вероятностные модели Вероятностные модели базируются на использовании больших серий испытаний со случайными параметрами, причем точность полученных результатов зависит от количества проведенных опытов. Воспользуемся методом Монте-Карло, для исследования вероятностной модели бросания монеты. Вероятностная модель бросания монеты. При введении понятия количество информации рассматривался опыт по бросанию монеты. Если бросить симметричную монету на ровную поверхность, то можно предположить, что с равной вероятностью произойдет одно из двух возможных событий - монета окажется в одном из двух положений: «орел» или «решка». Доказательство этого утверждения можно получить при проведении большой серии опытов, когда количество выпадений «орла» и «решки» постепенно сближаются. Сначала построим качественную вероятностную модель бросания монеты: · поместим квадрат со стороной равной 1 в центр координат и разделим его на две равные части по оси Y, назовем эти части «орел» и «решка»; · заменим бросание монеты на «бросание» точек в этот квадрат с помощью генератора случайных чисел, который будет задавать точкам случайные координаты внутри квадрата; · будем считать, что количество точек, попавших в левую часть квадрата, соответствует выпадению «орла», а попадание в правую половину квадрата – выпадению «решки».

Формальная модель. Пусть N - количество точек, которые случайным образом генерируются внутри квадрата. Случайный выбор координат точек, которые попадают внутрь квадрата (N точек), должен производиться так, чтобы координаты точек x и y удовлетворяли условиям: -1 x 1 и –1 y 1 Пусть O - количество точек («орел»), попавших в левую часть квадрата, координаты которых удовлетворяют условию: -1 X And X < 0 And -1 Y And Y 1 Тогда R - количество точек («решка»), попавших в правую часть квадрата, координаты которых удовлетворяют условию: 0 X And X 1 And -1 Y And Y 1

Компьютерная модель. Исследование модели. При увеличении количества генерируемых точек можно наблюдать все меньшее различие в количествах выпавших «орлов» и «решек».

Геометрические модели Пространственные соотношения между реальными объектами (положение и ориентация объектов в пространстве и их размеры) изучаются с помощью геометрических моделей. Для визуализации геометрических моделей используются идеализированные геометрические объекты (точка, линия, плоскость и др.), которые в отличие от реальных объектов обладают набором только наиболее существенных свойств. Так геометрическая точка отличается от реальной точки на чертеже тем, что имеет только координаты, но не имеет размеров, геометрическая линия не имеет ширины, геометрическая плоскость - толщины и т.д. В школьном курсе геометрии не только изучаются различные геометрические модели (теоремы), но рассматривается процесс их построения. Важное место занимают геометрические построения с использованием линейки и циркуля. Для создания геометрических моделей на компьютере удобно использовать системы автоматизированного проектирования (САПР).

Задача. Даны прямая и точка на ней. Построить прямую через данную точку и перпендикулярную к данной прямой. Формальная модель. Построим формальную модель процесса геометрического построения, зафиксировав его в форме алгоритма: 1. Построить прямую a и точку M на ней. 2. На равных расстояниях от точки М построить на прямой точки А и В. 3. Построить две окружности с центрами в точках A и В с радиусом АВ. 4. Через точки пересечения окружностей P и Q провести прямую. Данная прямая пройдет через точку М и будет являться перпендикуляром к прямой a.

Компьютерная модель. Реализуем геометрическое построение в соответствие с разработанным алгоритмом с использованием системы КОМПАС-3D. Исследование модели. С помощью геометрических теорем необходимо доказать, что построенный отрезок PQ действительно является перпендикуляром к прямой a.

Задача. Дан неразвернутый угол A. Построить его биссектрису. Формальная модель. Построим формальную модель процесса геометрического построения, зафиксировав его в форме алгоритма: 1. Построить окружность произвольного радиуса с центром в вершине заданного угла А, которая пересечет стороны угла в точках В и С. 2. Построить две окружности радиуса ВС с центрами в точках B и C. Точку пересечения окружностей внутри угла обозначить буквой Е. 3. Через вершину угла А и точку пересечения окружностей Е провести прямую. Луч АЕ – биссектриса заданного угла.

Компьютерная модель. Реализуем геометрическое построение в соответствие с разработанным алгоритмом с использованием системы КОМПАС-3D. Исследование модели. С помощью геометрических теорем необходимо доказать, что построенный луч АЕ действительно является биссектрисой угла А.

Оптимизационное моделирование В сфере управления сложными системами (например, в экономике) применяется оптимизационное моделирование, в процессе которого осуществляется поиск наиболее оптимального пути развития системы. Критерием оптимальности могут быть различные параметры, например, в экономике можно стремиться к максимальному количеству выпускаемой продукции, а можно к ее низкой себестоимости. Оптимальное развитие соответствует экстремальному (максимальному или минимальному) значению выбранного целевого параметра. Развитие сложных систем зависит от множества факторов (параметров), следовательно, значение целевого параметра зависит от множества параметров. Выражением такой зависимости является целевая функция K = F(X 1,X 2,...,X n ) где К - значение целевого параметра; X 1,X 2,...,X n - параметры, влияющие на развитие системы. Цель исследования состоит в нахождении экстремума этой функции и определении значений параметров, при которых этот экстремум достигается. Если целевая функция нелинейная, то она имеет экстремумы, которые находятся определенными методами. Однако часто целевая функция линейна и, соответственно, экстремумов не имеет. Задача поиска оптимального режима при линейной зависимости приобретает смысл только при наличии определенных ограничений на параметры.

Пример моделирования поиска вариантов оптимальной погрузки при перевозке компьютерного класса Содержательная постановка проблемы. При получении школой нового компьютерного класса необходимо оптимально спланировать использование единственного легкового автомобиля для перевозки 15 компьютеров. Каждый компьютер упакован в две коробки (монитор и системный блок) и существует три варианта погрузки коробок в автомобиль. Таблица 6.1. Способы погрузки Необходимо выбрать оптимальное сочетание вариантов погрузки, для того чтобы перевести 15 коробок с мониторами и 15 коробок с системными блоками за минимальное количество рейсов автомобиля.

Формальная модель. Параметрами, значения которых требуется определить, являются количества рейсов автомобиля, загруженного различными способами: Х 1 – количество рейсов автомобиля, загруженного по варианту 1; Х 2 – количество рейсов автомобиля, загруженного по варианту 2; Х 3 – количество рейсов автомобиля, загруженного по варианту 3. Тогда целевая функция, равная количеству рейсов автомобиля, примет вид: F = Х 1 + Х 2 + Х 3 Ограничения накладываются количествами коробок с мониторами и системными блоками, которые необходимо перевезти. Должны выполняться два равенства: 3·Х 1 + 2·Х 2 + 1·Х 3 = 15 1·Х 1 + 2·Х 2 + 4·Х 3 = 15 Кроме того, количества рейсов не могут быть отрицательными, поэтому должны выполняться неравенства: Х 1 0; Х 2 0; Х 3 0 Таким образом, необходимо найти удовлетворяющие ограничениям значения параметров, при которых целевая функция принимает минимальное значение.

Компьютерная модель. Будем искать решение задачи путем создания и исследования компьютерной модели в электронных таблицах Excel. Таким образом, для перевозки 15 коробок с мониторами и 15 коробок с системными блоками потребуется 7 рейсов автомобиля, при этом 3 рейса должны быть загружены по первому, 2 рейса по второму и 2 рейса по третьему варианту.

Геоинформационные модели

Геоинформационное моделирование базируется на создании многослойных электронных карт, в которых опорный слой описывает географию определенной территории, а каждый из остальных - один из аспектов состояния этой территории. На географическую карту могут быть выведены различные слои объектов: города, дороги, аэропорты и др. Широкое распространение получили интерактивные географические карты (мира, различных частей света, России, Москвы и других городов). Такие карты обычно реализуются с использованием векторной графики и поэтому позволяют пользователю выбирать нужный ему масштаб. Карты связаны с базами данных, которые хранят всю необходимую информацию об объектах, изображенных на картах. Пользователь может осуществлять поиск необходимого ему объекта на карте с помощью поисковой системы. Например, для того чтобы найти дом на интерактивной карте Москвы требуется ввести название улицы и номер дома.

Геоинформационные модели позволяют с помощью географических карт представлять статистическую информацию о различных регионах. Хранящаяся в базах данных информация о количестве населения, развитие промышленности, загрязнении окружающей среды и др. может быть связана с географическими картами и отображена на них. Отображение информации может производиться различными способами: закрашиванием регионов различными цветами, построением диаграмм и т.д. Пример: геоинформационная модель, отображающая информацию о количестве населения в различных странах Европы.

Химические модели

Представление объектов и их свойств в форме таблицы часто используется в научных исследованиях. Так, периодическая система элементов Д.И.Менделеева представляет собой табличную информационную модель, в которой химические элементы располагаются в ячейках таблицы по возрастанию атомных весов, а в столбцах – по количеству валентных электронов, причем по положению в таблице можно определить некоторые физические и химические свойства элементов. Компьютерная модель системы периодической системы позволяет в интерактивном режиме знакомиться с различными физическими и химическими свойствами химических элементов (атомная масса, электропроводность, плотность и т.д.), уравнивать химические реакции, решать стандартные химические задачи на нахождение массы веществ участвующих в реакции и др.

Домашнее задание: Выучить все новые понятия по конспекту в тетради.