Тригонометрические уравнения и методы их решений

Тригонометрические уравнения - уравнения, содержащие неизвестное под знаком тригонометрической функции. Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Рассмотрим десять основных методов решения тригонометрических уравнений.

Содержание: 1. Алгебраический метод Алгебраический метод 2. Метод разложения на множители Метод разложения на множители 3. Метод вспомогательного угла Метод вспомогательного угла 4. Однородные уравнения Однородные уравнения 5. Универсальная подстановка Универсальная подстановка 6. Метод оценки Метод оценки 7. Метод понижения степени Метод понижения степени 8. Метод сравнения множеств Метод сравнения множеств 9. Переход к половинному углу Переход к половинному углу 10. Преобразование произведения в сумму Преобразование произведения в сумму

Алгебраический метод Этот метод нам хорошо известен из курса алгебры как метод замены переменной и подстановки.

Пример. Решить уравнение: 2cos 2 x-sinx+1=0 Решение. 2(1-sin 2 x)-sinx+1=0 -2sin 2 x-sinx+3=0 2sin 2 x+sinx-3=0 Пусть sinx=y, -1y1 2y 2 +y-3=0 y 1 =-1,5- не подходит по условию y 2 =1 Возвращаемся к старой переменной: sinx=1 x=/2+2k, k є Z

Метод разложения на множители Пример. Решить уравнение: sinx - sin2x = 0 Решение. sinx – 2sinx · cosx = 0 sinx(1- cosx) = 0 1. sinx=0 x=k, k є Z 2. 1-cosx=0 cosx=1 x=2n, n є Z Ответ: x=k, k є Z

Метод вспомогательного угла Пример. Решить уравнение: 3sinx-4cosx=5 Решение =25 25=5 5(3sinx/5-4cosx/5)=5 3sinx/5-4cosx/5=1 Т.к. (3/5) 2 +(4/5) 2 =1, то 3/5=cosφ φ=arccos(3/5) 4/5=sinφ φ=arcsin(4/5) sinxcosφ-cosxsinφ=1 sin(x-φ)=1 x-φ= /2+2k, k є Z x=/2+φ+2k, k є Z x=/2+arcsin(4/5)+2k, k є Z

Однородные уравнения Уравнение называется однородным относительно sin и cos, если все его члены одной и той же степени относительно sin и cos одного и того же угла. Чтобы решить однородное уравнение, надо: а) перенести все его члены в левую часть; б) вынести все общие множители за скобки; в) приравнять все множители и скобки нулю; г) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на cos ( или sin ) в старшей степени; д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tg.

Пример. Решить уравнение: 3sin 2 x + 4sinx · cosx + 5cos 2 x = 2. Решение. 3sin 2 x + 4sinx · cosx + 5cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x sin 2 x + 4sinx · cosx + 3cos 2 x = 0 tg 2 x + 4tgx + 3 = 0, отсюда y 2 + 4y +3 = 0, корни этого уравнения: y 1 = -1, y 2 = -3, отсюда 1) tg x = –1, x=-/4+k, k є Z 2) tg x = –3, x=-arctg3+n, n є Z

Универсальная подстановка Универсальная подстановка применяется для тригонометрических уравнений, содержащих 2 и более тригонометрические функции. Пусть tg(x/2)=t, тогда sinx=2t/(1+t 2 ) (1) cosx=(1-t 2 )/(1+t 2 ) (2) tgx=2t/(1-t 2 ) В конце решения следует обязательно сделать проверку!

Пример. Решить уравнение: 3sinx-4cosx=3 Решение. При помощи формул (1) и (2) произведем замену sinx и cosx и приведем выражение к общему знаменателю: (6t-4+4t 2 )/(1+t 2 )=3 Т.к. 1+t 2 >0, то 4t 2 +6t-4=3+3t 2 t 2 +6t-7=0 t 1 =-7 t 2 =1 tg(x/2)=-7 x=2arctg(-7)+2k, k є Z tg(x/2)=1 x=/2+2n, n є Z

Метод оценки При решении некоторых тригонометрических уравнений иногда бывает полезно оценить значения тригонометрических функций, входящих в уравнение.

Пример. Решить уравнение: sinxsin5x=1 sinx=1 x=/2+2m, m є Z sin5x=1 - ? sin5(/2+2n)=1 sin(5/2+52n)=1 sin(5/2)=1 sin(/2)=1 - верно Ответ:x= /2+k, k є Z sinx=-1 x=-/2+2n, n є Z sin5x=-1 - ? sin5(-/2+2n)=-1 sin(-5/2+52n)=-1 sin(-5/2)=-1 sin(-/2)=-1 - sin(/2)=-1 - верно

Метод понижения степени Для решения уравнений данным методом применяются формулы понижения степени: 2sin 2 x=1-cos2x 2cos 2 x=1+cos2x

Пример. Решить уравнение: sin 4 x+cos 4 x= ½ sin 2 2x Решение. (sin 2 x) 2 +(cos 2 x) 2 = ½ sin 2 2x ¼ (1-2cos2x+cos 2 2x+1+2cos2x+cos 2 2x)= ½ (1-cos 2 2x) ½ (2+2cos 2 2x)=1-cos 2 2x 1+cos 2 2x= 1-cos 2 2x 2cos 2 2x=0 cos2x=0 2x=/2+k, k є Z x= /4+k/2, k є Z

Метод сравнения множеств Уравнения вида f(x)=φ(x) решаются методом сравнения множеств. Если Е(f) E(φ) – пустое множество, то уравнение не имеет решений Если Е(f) E(φ) состоит только из одной общей точки, то уравнение решается системой 2-х уравнений, левые части которых равны f и φ, а правые части равны значению общей точки.

Пример. Решить уравнение: 6cos 2 5x-5cosx+5,1=0 (1) Решение. 6cos 2 5x+5,1=5cosx (2) Пусть f(x)=6cos 2 5x+5,1 и φ(x)=5cosx. Е(f)=[5,1;11,1]-область значений функции f(x), Е(φ)=[-5;5]-область значений функции φ(x). Так как Е(f) E(φ) является пустое множество, то равенство (2) невозможно. Уравнение (2) решений не имеет, а, значит, и равносильное ему уравнение (1) тоже решений не имеет.

Переход к половинному углу При решении уравнений данным методом используются формулы двойного аргумента: sin2x=2sinxcosx cos2x=cos 2 x-sin 2 x В конце решения следует обязательно сделать проверку!

Пример. Решить уравнение: 2sinx–cosx=2. Решение. 4sin(x/2)·cos(x/2)-cos²(x/2)+sin²(x/2)= =2sin²(x/2)+2cos²(x/2) sin²(x/2)–4sin(x/2)·cos(x/2)+3cos²(x/2)=0 tg²(x/2)–4tg(x/2)+3=0 tg 1 (x/2)=1 x=/2+2k, k є Z tg 2 (x/2)=3 x=2arctg3+2k, k є Z

Преобразование произведения в сумму Данным методом решаются уравнения вида: 1. singxsingx=sinγxsinδx, если α+β=±(γ+δ) или α-β=±γ-δ 2. cosαxcosβx=cosγxcosδx, если α+β=±(γ+δ) или α-β=±γ-δ 3. singxsingx=cosγxcosδx, если α-β=±(γ+δ) 4. cosαxcosβx=sinγxsinδx, если α+β=γ±δ или α-β=γ±δ

Этот метод включает в себя применение формул: преобразования произведения в сумму: 2singsing=cos(α-β)-cos(α+β) 2cosαcosβ=cos(α+β)+cos(α-β) 2singcosβ=sin(α+β)+sin(α-β) 2cosαsing=sin(α+β)-sin(α-β) преобразования суммы в произведение: sing+sing=2sin((α+β)/2)cos((α-β)/2) sing-sing=2cos((α+β)/2)sin((α-β)/2) cosα+cosβ=2cos((α+β)/2)cos((α-β)/2) cosα-cosβ=-2sin((α+β)/2)sin((α-β)/2)

Пример. Решить уравнение: sinxsin5x=cos4x Решение. Преобразуем левую часть в сумму: ½ cos4x – ½ cos6x = cos4x ½ cos6x+ ½ cos4x= 0 cos6x+cos4x=0 Преобразуем левую часть в произведение: 2cos5xcosx=0 cos5xcosx=0 cos5x=0, x=/10+2k/5, k є Z cosx=0, x=/2+2n, n є Z. Ответ:x=/10+2k/5, k є Z

Презентацию подготовила ученица 11 «А» класса Мозжухина Софья