ОПТИМАЛЬНОЕ НЕПРЯМОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМОЙ Белорусский государственный университет Факультет прикладной математики и информатики Кафедра методов оптимального управления НЕХАЙ ЕКАТЕРИНА СЕРГЕЕВНА

2 Особенности прямого и непрямого управления Прямое управление Маломощные управляющие воздействия формируются непосредственно из сигналов устройств, измеряющих выходные сигналы объекта управления. Непрямое управление Информация о поведении объекта управления сначала поступает в управляющий орган, который на их основе вырабатывает управляющие сигналы для регулятора. Последний, используя внешние источники энергии, создает управляющие воздействия необходимой мощности, которые поступают на объект управления. Формальное объединение моделей объекта управления и динамического регулятора не позволяет эффективно использовать существующие классические результаты НО:

3 Инерционные управляющие воздействия первого порядка. Постановка задачи Пусть ­ промежуток управления. Скалярную функцию u(t), назовем инерционным управляющим воздействием первого порядка, если она является решением уравнения (1) с ограниченной кусочно­непрерывной функцией v(t),. (2) где n-вектор состояния динамической системы в момент времени t; u = u(t) значение скалярного управляющего воздействия; A(t), b(t), кусочно­непрерывные матричная и n­векторная функции, H – матрица терминальных ограничений, g – m-вектор, rank H = m<n.

4 Задача с фазовыми ограничениями Если ввести дополнительную фазовую переменную, то задачу (2) можно трактовать как задачу с фазовым ограничением (3) где

5 Эквивалентная функциональная форма Задача (2) эквивалентна следующей задаче линейного программирования (ЛП) (4) элементы которой вычисляются с помощью динамического двойственного метода. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Павленок Н.С. Синтез оптимальных обратных связей в классе инерционных управлений. // Автоматика и телемеханика. – – 2. – С

6 Программное решение в классе инерционных управляющих воздействий первого порядка Рассмотрим терминальную задачу управления (5)

7 Позиционное решение Для того, чтобы ввести понятие позиционного решения, рассматриваемую в классе инерционных управлений терминальную задачу (2) погрузим в семейство задач (6) зависящее от скаляров, z и n – вектора у. Пусть (7) -оптимальный программный управляющий сигнал задачи (6) для позиции, - множество всех состояний (y, z), для которых задача (6) имеет решение.

8 Оптимальная обратная связь Функцию (8) назовем оптимальным управляющим сигналом типа (дискретной) обратной связи в задаче (6). Подход, используемый в работе для решения проблем оптимального синтеза основан на построении по ходу каждого конкретного процесса управления реализации оптимальной обратной связи (9) где, – траектория системы (10) описывающей поведение физического прототипа математической модели (2)., – возмущение, – реализовавшиеся начальные состояния.

9 Позиционное решение в классе инерционных управляющих воздействий первого порядка На примере задачи управления (5) покажем вид позиционного решения в предположении, что реализующееся в процессе управления возмущение имеет вид (11)

10 Моделирование режима реального времени На примере задачи в классе инерционных управлений первого порядка (12) проиллюстрируем влияние задержки вычисления на оптимальное воздействие и оптимальный сигнал.

11 Моделирование режима реального времени. Если вычисления будут происходить с задержкой значение критерия качества уменьшится на величину равную

12 Моделирование режима реального времени. Если вычисления будут происходить с задержкой значение критерия качества уменьшится на величину равную

13 Инерционные управляющие воздействия второго порядка. Постановка задачи Пусть ­ промежуток управления. Скалярную функцию u(t), назовем инерционным управляющим воздействием второго порядка, если она является решением дифференциального уравнения (13) с ограниченной кусочно­непрерывной функцией v(t),. (14) где n-вектор состояния динамической системы в момент времени t; u = u(t) значение скалярного управляющего воздействия; A(t), b(t), кусочно­непрерывные матричная и n-­векторная функции, H – матрица терминальных ограничений, g – m-вектор, rank H = m<n.

14 Задача с фазовыми ограничениями Если ввести дополнительные фазовые переменные, то задачу (14) можно трактовать как задачу с фазовым ограничением (15) где

15 Эквивалентная функциональная форма Задача (14) эквивалентна следующей задаче линейного программирования (ЛП) (16) элементы которой вычисляются с помощью динамического двойственного метода.

16 Программное решение в классе инерционных управляющих воздействий второго порядка Рассмотрим терминальную задачу управления (17)

17 Позиционное решение в классе инерционных управляющих воздействий второго порядка В классе инерционных управляющих воздействий второго порядка рассмотрим задачу (18) Был выбран период квантования равный 0.2. Реализация оптимальной обратной связи построена в предположении, что в процессе управление реализовалось возмущение вида: (19)

18 Позиционное решение в классе инерционных управляющих воздействий второго порядка Значение критерия качества для программного решения равно 2.15, для позиционного решения

19 Заключение В данной работе исследованы терминальные задачи ОУ в классе инерционных управлений первого и второго порядков с учетом геометрических ограничений на управляющий сигнал, управляющее воздействие и его первую производную. Описана структура опоры, приведены сопровождающие элементы, сформулированы принцип максимума и принцип -максимума, критерий оптимальности опоры. Построено программное решение, получена реализация оптимальной обратной связи. Приведены графики, отображающие вид программного и позиционного решений в классах инерционных управлений первого и второго порядков, а также фазовые траектории системы. Демонстрируется влияние величины задержки вычисления на значение достигаемого критерия качества. Публикации: Тезисы совместного с Н.С. Павленок доклада опубликованы в сборнике конференции «Еругинские чтения » Тезисы доклада, представленного на 66-й научной конференции студентов и аспирантов, приняты к публикации