ДВИЖЕНИЕ Движением называется преобразование пространства, сохраняющее расстояния между точками, т. е., если точки A и B переходят соответственно в точки A и B, то AB = AB. Теорема 1. Центральная симметрия является движением. Доказательство. Пусть точки A', B' получены центральной симметрией относительно точки О точек А, В. Тогда треугольники ОАВ и ОА'B' равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) и, значит, АВ = A'B'. Таким образом, центральная симметрия сохраняет расстояния и, следовательно, является движением.

ДВИЖЕНИЕ Теорема 2. Зеркальная симметрия является движением. Доказательство. Пусть точки A, B получены симметрией относительно плоскости точек A, B, A, B – ортогональные проекции точек A, B на плоскость. Тогда точки A, B, A, B принадлежат одной плоскости и точки A, B симметричны в этой плоскости точкам A, B относительно прямой AB. Из свойств симметрии на плоскости следует, что AB = AB. Таким образом, зеркальная симметрия сохраняет расстояния и, следовательно, является движением.

Упражнение 1 Назовите движение, которое оставляет на месте только: а) одну точку; б) точки одной прямой; в) точки одной плоскости. Ответ: а) Центральная симметрия; б) осевая симметрия; в) зеркальная симметрия.

Упражнение 2 Существуют ли движения (если существуют, то какие), переводящие данную прямую в другую данную прямую: а) параллельную первой; б) пересекающую первую; в) скрещивающуюся с первой? Ответ: а) Центральная симметрия, зеркальная симметрия, параллельный перенос; б) осевая симметрия, поворот, зеркальная симметрия; в) осевая симметрия.

Упражнение 3 С помощью каких движений можно перевести грань ABC правильного тетраэдра ABCD в грань ABD так, чтобы ребро AB оставалось на месте? Ответ: Поворот, зеркальная симметрия.

Упражнение 4 Существует ли движение (если существует, то какое), переводящее вершины A, B, C, D правильного тетраэдра ABCD соответственно в вершины: а) B, C, A, D; б) B, A, C, D; в) C, B, A, D? Ответ: а) Поворот; б) зеркальная симметрия; в) зеркальная симметрия.

Упражнение 5 В правильном тетраэдре закрасили одну грань. В результате каких движений, оставляющих на месте закрашенную грань, он самосовместится? Ответ: При повороте на 120 о вокруг оси, проходящей через центр закрашенной грани; при симметрии относительно плоскости, перпендикулярной закрашенной грани.

Упражнение 6 Сколько существует различных движений, переводящих правильный тетраэдр в себя? Ответ: 24.

Упражнение 7 Существует ли движение (если существует, то какое), переводящее вершины A, B, C, D куба A…D 1 соответственно в вершины: а) A 1, B 1, C 1, D 1 ; б) A 1, D 1, C 1, B 1 ; в) A 1, B 1, D 1, C 1 ? Ответ: а) Да, параллельный перенос, зеркальная симметрия; б) да, осевая симметрия; в) нет.

Упражнение 8 В кубе закрасили одну грань. В результате каких движений, оставляющих на месте закрашенную грань, он самосовместится? Ответ: В результате: а) поворота на 90 о вокруг оси, перпендикулярной закрашенной грани; б) осевой симметрии относительно оси, перпендикулярной закрашенной грани; в) зеркальной симметрии относительно плоскостей, перпендикулярных закрашенной грани.

Упражнение 9 Сколько существует различных движений, переводящих куб в себя? Ответ: 48.

Упражнение 10 Сколько имеется различных движений, переводящих в себя: а) октаэдр; б) икосаэдр; в) додекаэдр? Ответ: а) 48;б) 120;в) 120.