Пифагор Пифагор (580–500 гг. до н. э.) - один из величайших ученых Древней Греции, а теорема Пифагора - одна из самых красивых в геометрии. Школа Пифагора была одной из первых и самых известных философских школ Древней Греции. Пифагору принадлежит первое построение геометрии как дедуктивной науки. Помимо геометрии Пифагор занимался арифметикой. В частности, им были найдены натуральные решения уравнения x 2 +y 2 =z 2, которые сейчас называются пифагоровыми тройками.

Теорема Пифагора Теорема. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. c 2 = a 2 + b 2. Доказательство. Пусть АВС - прямоугольный треугольник с прямым углом. Проведем высоту СD. Треугольники АВС и ACD подобны (по первому признаку подобия треугольников). Следовательно, AB·AD = AC 2. Аналогично треугольники ABC и CBD подобны (по первому признаку подобия треугольников). Следовательно, AB·BD = BC 2. Складывая полученные равенства почленное и замечая, что AD + DB = AB, получим: AC 2 + BC 2 = AB(AD + DB) = AB 2.

Соизмеримые и несоизмеримые отрезки Два отрезка называются соизмеримыми, если их отношение является рациональным числом. Иначе говоря, если один из них принять за единичный отрезок, то длина другого будет выражаться рациональным числом. Два отрезка называются несоизмеримыми, если их отношение является иррациональным числом. Иначе говоря, если один из них принять за единичный отрезок, то длина другого будет выражаться иррациональным числом. Гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника несоизмерима с его катетами.

Пифагоровы тройки Пифагоровой тройкой называется тройка (x, y, z) натуральных чисел x, y, z, для которых выполняется равенство x 2 + y 2 = z 2. Числа пифагоровой тройки представляют собой длины сторон прямоугольного треугольника. Примером пифагоровой тройки является тройка (3, 4, 5).

Вопрос 1 Сформулируйте теорему Пифагора. Ответ: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Вопрос 2 Какие два отрезка называются соизмеримыми? Ответ: Два отрезка называются соизмеримыми, если их отношение является рациональным числом.

Вопрос 3 Какие два отрезка называются несоизмеримыми? Ответ: Два отрезка называются несоизмеримыми, если их отношение является иррациональным числом.

Вопрос 4 Приведите пример несоизмеримых отрезков. Ответ: Гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника и его катет.

Вопрос 5 Что называется пифагоровой тройкой? Ответ: Пифагоровой тройкой называется тройка (x, y, z) натуральных чисел x, y, z, для которых выполняется равенство: x 2 + y 2 = z 2.

Вопрос 6 Каков геометрический смысл чисел пифагоровой тройки? Ответ: Числа пифагоровой тройки представляют собой длины сторон прямоугольного треугольника.

Вопрос 7 Приведите примеры пифагоровых троек. Ответ: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13).

Упражнение 1 У прямоугольного треугольника заданы катеты а и b. Найдите гипотенузу c, если: а) а = 3, b = 4; б) a = 1, b = 1; в) a = 5, b = 6. Ответ: а) 5; б) ; в).

Упражнение 2 У прямоугольного треугольника заданы гипотенуза с и катет а. Найдите второй катет, если: а) с = 5, а = 3; б) с = 13, а = 5; в) с = 6, а = 5. Ответ: а) 4; б) 12; в).

Упражнение 3 Стороны прямоугольника равны 5 и 12. Найдите его диагональ. Ответ: 13.

Упражнение 4 Диагональ прямоугольника равна 10. Одна из его сторон равна 6. Найдите другую, не равную ей сторону. Ответ: 8.

Упражнение 5 Стороны квадрата равны 5. Найдите квадрат его диагонали. Ответ: 50.

Упражнение 6 Диагональ квадрата 2. Чему равна его сторона? Ответ:

Упражнение 7 Точка, лежащая внутри прямого угла, удалена от его сторон на расстояния, равные а и b. Найдите расстояние от точки до вершины угла. Ответ:

Упражнение 8 Могут ли стороны прямоугольного треугольника быть пропорциональны числам 5, 6, 7? Ответ: Нет.

Упражнение 9 Найдите стороны прямоугольного треугольника, в котором: а) гипотенуза равна 10 см, разность катетов – 2 см; б) гипотенуза равна 26 см, а отношение катетов 5 : 12. Ответ: а) 6 см, 8 см, 10 см; б) 10 см, 24 см, 26 см.

Упражнение 10 Гипотенуза прямоугольного треугольника на 1 больше одного из катетов, а сумма катетов на 4 больше гипотенузы. Найдите стороны этого треугольника. Ответ: 5, 12 и 13.

Упражнение 11 В прямоугольном треугольнике с катетами 3 и 4 опущена высота на гипотенузу. Найдите эту высоту и отрезки, на которые она делит гипотенузу. Ответ: 2,4; 1,8 и 3,2.

Упражнение 12 В треугольнике ABC AC = 5, BC = 4, высота CH равна 3. Найдите сторону AB. Ответ:

Упражнение 13 На рисунке отрезки AB и CD перпендикулярны BC. Найдите квадрат расстояния между точками A и D. Ответ: 14.

Упражнение 14 На рисунке отрезки AB и CD перпендикулярны BC. Найдите квадрат расстояния между точками A и D. Ответ: 10.

Упражнение 15 Найдите квадрат расстояния между точками A и B, изображенными на рисунке. Ответ: 5.

Упражнение 16 Найдите квадрат расстояния между точками A и: а) B 1 ; а) B 2 ; в) B 3, изображенными на рисунке. Ответ: а) 5;б) 8;в) 5.

Упражнение 17 Найдите квадрат расстояния между точками A и: а) B 1 ; а) B 2 ; в) B 3, изображенными на рисунке. Ответ: а) 2;б) 5;в) 8.

Упражнение 18 Найдите квадрат расстояния между точками A и: а) B 1 ; а) B 2 ; в) B 3, изображенными на рисунке. Ответ: а) 2;б) 10;в) 10.

Упражнение 19 Изобразите отрезок, длина которого равна: а) ; б) ; в) ; г).

Упражнение 20 Изобразите все точки, находящиеся в узлах сетки и удаленные от точки O на расстояние: а) меньшее 2; б) меньшее 3; в) большее 2 и меньшее 3.

Упражнение 21 Найдите сторону ромба, если его диагонали равны 6 м и 8 м. Ответ: 5 м.

Упражнение 22 Сторона ромба равна 13. Одна из его диагоналей равна 10. Найдите другую диагональ. Ответ: 24.

Упражнение 23 Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 10, основание равно 12. Найдите высоту этого треугольника, опущенную на основание. Ответ: 8.

Упражнение 24 Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 5, высота, опущенная на основание, равна 4. Найдите основание этого треугольника. Ответ: 6.

Упражнение 25 Основание равнобедренного треугольника равно 8, высота, опущенная на основание, равна 3. Найдите боковую сторону этого треугольника. Ответ: 5.

Упражнение 26 Найдите высоту равнобедренной трапеции, у которой основания равны 4 и 10, а боковая сторона равна 5. Ответ: 4.

Упражнение 27 Высота равнобедренной трапеции равна 15 см, основания равны 8 см и 24 см. Найдите боковые стороны. Ответ: 17 см.

Упражнение 28 Основания прямоугольной трапеции равны 5 и 8, большая боковая сторона равна 5. Найдите меньшую боковую сторону. Ответ: 4.

Упражнение 29 Боковые стороны прямоугольной трапеции прямоугольной трапеции равны 5 и 4, меньшее основание равно 4. Найдите большее основание. Ответ: 7.

Упражнение 30 Основания прямоугольной трапеции равны 4 и 8, меньшая боковая сторона равна 3. Найдите большую боковую сторону. Ответ: 5.

Упражнение 31 В правильном треугольнике со стороной 1 найдите: а) медианы; б) биссектрисы; в) высоты. Ответ: а), б), в)

Упражнение 32 Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника, две стороны которого равны 5 и 12. Ответ: 6,5.

Упражнение 33 Диаметр окружности, описанной около прямоугольника, равен 10. Одна сторона этого прямоугольника равна 6. Найдите другую его сторону. Ответ: 8.

Упражнение 34 В равностороннем треугольнике со стороной а найдите радиусы r и R вписанной и описанной окружностей. Ответ: r = ; R =.

Упражнение 35 Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, изображенный на рисунке. Стороны квадратных клеток равны 1. Ответ: 1.

Упражнение 36 Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, изображенный на рисунке. Стороны квадратных клеток равны 1. Ответ: 1,5.

Упражнение 37 Найдите гипотенузу равнобедренного прямоугольного треугольника, в который вписана окружность радиуса 1. Ответ: см.

Упражнение 38 Найдите медиану, опущенную на основание равнобедренного треугольника с основанием а и боковой стороной b. Ответ:

Упражнение 39 Даны две окружности, радиусов R и r. Расстояние между их центрами равно a > R + r. Найдите длины отрезков их общих касательных. Ответ:

Упражнение 40 Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6, высота равна 7. Найдите радиус описанной окружности. Ответ: 5.

Упражнение 41 Основания равнобедренной трапеции равны 16 и 12, радиус описанной окружности равен 10. Найдите высоту трапеции. Ответ: Возможны два случая. В первом высота трапеции равна 14, во втором - 2.

Упражнение 42 Мальчик прошел от дома по направлению на восток 800 м. Затем повернул на север и прошел 600 м. На каком расстоянии от дома оказался мальчик? Ответ: 1000 м.

Упражнение 43 Девочка прошла от дома по направлению на запад 500 м. Затем повернула на север и прошла 300 м. После этого она повернула на восток и прошла еще 100 м. На каком расстоянии от дома оказалась девочка? Ответ: 500 м.

Упражнение 44 Мальчик и девочка, расставшись на перекрестке, пошли по взаимно перпендикулярным дорогам, мальчик со скоростью 4 км/ч, девочка – 3 км/ч. Какое расстояние (в км) будет между ними через 30 мин? Ответ: 2,5 км.

Упражнение 45 Два парохода вышли из порта, следуя один на север, другой на запад. Скорости их равны соответственно 15 км/ч и 20 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 ч? Ответ: 50 км.

Упражнение 46 Используя данные, приведенные на рисунке, найдите расстояние в метрах между пунктами A и B, расположенными на разных берегах озера. Ответ: 500 м.

Упражнение 47 На какое расстояние следует отодвинуть от стены дома нижний конец лестницы, длина которой 13 м, чтобы верхний ее конец оказался на высоте 12 м? Ответ: 5 м.

Упражнение 48 В 12 м одна от другой растут две сосны. Высота одной 11 м, а другой – 6 м. Найдите расстояние между их верхушками. Ответ: 13 м.

Упражнение 49 Стебель камыша выступает из воды озера на 1 м. Его верхний конец отклонили от вертикального положения на 2 м, и он оказался на уровне воды. Найдите глубину озера в месте, где растет камыш. Ответ: 1,5 м.

Упражнение 50 Туннель имеет форму полукруга радиуса 3 м. Какой наибольшей высоты должна быть машина шириной 2 м, чтобы она могла проехать по этому туннелю? Ответ: м.

Упражнение 51 Требуется проложить шоссейные дороги, соединяющие населённые пункты A, B, C, расположенные в вершинах треугольника. Выберите из предложенных вариантов расположения дорог тот, в котором суммарная длина дорог наименьшая. Ответ. в).

Упражнение 52 Требуется проложить шоссейные дороги, соединяющие населённые пункты A, B, C, D, расположенные в вершинах прямоугольника. Выберите из предложенных вариантов расположения дорог тот, в котором суммарная длина дорог наименьшая. Ответ. в).

Упражнение 53 Через центр симметрии единичного квадрата проведите прямую, сумма квадратов расстояний до которой от вершин данного квадрата: а) наибольшая; б) наименьшая. Найдите эту сумму. Ответ. Для любой прямой отрезок CC равен отрезку DD. Следовательно, сумма квадратов этих отрезков равна квадрату отрезка OD. Значит, сумма квадратов расстояний от вершин квадрата до любой данной прямой постоянна и равна 2.

Упражнение 54 Найдите геометрическое место точек C, разность квадратов расстояний от которых до данных точек A и B постоянна (AC 2 – AB 2 = c). На клетчатой бумаге со сторонами клеток, равными 1, изобразите ГМТ, разность квадратов расстояний от которых до данных точек A и B равна 5. Ответ. Прямая.

Упражнение 55 Для прямоугольника ABCD и точки X обозначим XA = a, XB = b, XC = c, XD = D. Найдите геометрическое место точек X, для которых a 2 + c 2 = b 2 + d 2. Ответ. Вся плоскость. Действительно, для произвольной точки X имеем a 2 – b 2 = x 2 – y 2, d 2 – c 2 = x 2 – y 2. Следовательно, a 2 + c 2 = b 2 + d 2.