Аналитическое задание фигур Пусть прямая задана уравнением ax + by + c = 0 и проходит через точку A 0 (x 0, y 0 ). Ее вектор нормали имеет координаты (a, b) и определяет полуплоскость. Точка A(x, y) принадлежит этой полуплоскости в случае, если угол между векторами и не превосходит 90°, т.е. в случае, если скалярное произведение этих векторов больше или равно нулю, т.е. = a(x-x 0 )+b(y-y 0 ) 0. Так как -ax 0 -by 0 =c, то точка A(x, y) принадлежит этой полуплоскости, если выполняется неравенство ax+by+c 0. Аналогично, точка A(x, y) принадлежит другой полуплоскости, по отношению к данной прямой, если выполняется неравенство ax + by + c 0.

Выпуклые многоугольники Пусть стороны выпуклого многоугольника лежат на прямых, задаваемых уравнениями которая и определяет этот многоугольник. a 1 x + b 1 y + c 1 = 0, , a n x + b n y + c n = 0. Тогда сам многоугольник является пересечением соответствующих полуплоскостей и, следовательно, для его точек должна выполняться система неравенств вида

Пример Например, неравенства которые можно переписать в виде системы определяют единичный квадрат. Если к этим неравенствам добавить еще одно неравенство то соответствующий многоугольник получается из квадрата отсечением треугольника.

Упражнение 1 Ответ: а) Первой; Определите, какой полуплоскости 5x + 3y или 5x + 3y – 2 0 принадлежат точки: а) А(1,0); б) B(0,1); в) C(0,0). б) первой; в) второй.

Упражнение 2 Найдите неравенства, задающие треугольник с вершинами A(1, 0), B(0, 1), C(1, 1). Решение: Легко видеть, что уравнения прямых AB, BC и AC имеют вид: x + y – 1 = 0, y – 1= 0 и x – 1= 0 соответственно. Подставляя координаты точки C вместо x и y в левой части первого уравнения, получим 1 > 0. Следовательно, точка C принадлежит полуплоскости x + y – 1 0. Аналогично, точка B принадлежит полуплоскости x 1, а точка A – полуплоскости y 1. Таким образом, треугольник ABC задается системой неравенств

Упражнение 3 Какую фигуру задает система неравенств Ответ: Прямоугольник.

Упражнение 4 Нарисуйте многоугольник, задаваемый неравенствами Ответ:

Упражнение 5 Найдите неравенства, задающие треугольник с вершинами A(1, 0), B(0, 1), C(1, 1). Решение: Легко видеть, что уравнения прямых AB, BC и AC имеют вид: x + y – 1 = 0, y – 1= 0 и x – 1= 0 соответственно. Подставляя координаты точки C вместо x и y в левой части первого уравнения, получим 1 > 0. Следовательно, точка C принадлежит полуплоскости x + y – 1 0. Аналогично, точка B принадлежит полуплоскости x 1, а точка A – полуплоскости y 1. Таким образом, треугольник ABC задается системой неравенств

Упражнение 6 Нарисуйте фигуру, задаваемую уравнением |x| + |y| = 1. Ответ:

Упражнение 7 Докажите, что уравнение 4ay = x 2 задает параболу, с фокусом F (0, a) и директрисой d, задаваемой уравнением y = -a. Докажем, что координаты точки A, удовлетворяют уравнению 4ay = x 2 тогда и только тогда, когда эта точка равноудалена от точки F и прямой d. Действительно, квадрат расстояния от точки A до точки F равен x 2 +(y – a) 2. Квадрат расстояния от точки A до прямой d равен (y + a) 2. Равенство x 2 +(y – a) 2 = (y + a) 2 равносильно равенству 4ay = x 2. Следовательно, координаты точки A, удовлетворяют уравнению 4ay = x 2 тогда и только тогда, когда эта точка равноудалена от точки F и прямой d.

Упражнение 8 Для параболы, заданной уравнением y = x 2, найдите координаты фокуса и уравнение директрисы. Ответ: Фокус данной параболы имеет координаты (0, ), а ее директриса задается уравнением y = -.

Упражнение 9 Найдите фокус и директрису параболы, заданной уравнением y 2 = x. Ответ: F (0, ); x = -.

Упражнение 10 Докажите, что уравнение задает эллипс, с фокусами F 1 (-c, 0), F 2 (c, 0), где

Упражнение 11 Ответ: F 1 (0, 1), F 2 (0, -1). Для эллипса, заданного уравнением x 2 + y 2 = 1, найдите координаты фокусов.

Упражнение 12 Докажите, что уравнение задает гиперболу, с фокусами F 1 (-c, 0), F 2 (c, 0), где.

Упражнение 13 Для гиперболы, заданной уравнением x 2 - y 2 = 1, найдите координаты фокусов. Ответ: F 1 (-, 0), F 2 (, 0).

Упражнение 14 Решение: На координатной плоскости в качестве двух данных точек возьмем точки A(0, 0) и B(3, 0). Для точки C(x, y) имеем: Равенство AC = 2BC равносильно равенству которое, в свою очередь, равносильно равенству Последнее равенство является уравнением окружности с центром в точке O(4, 0) и радиусом 2. Таким образом, искомым ГМТ является окружность. Расстояние между двумя данными точками A и B плоскости равно 3. Какой фигурой является ГМТ плоскости, расстояние от которых до точки A в два раза больше расстояния до точки B?

Упражнение 15 Решение: На координатной плоскости в качестве точки F возьмем точку F(3, 0), а в качестве прямой d – ось Oy. Для точки C(x, y) имеем: Равенство CD = 2CF равносильно равенству которое, в свою очередь, равносильно равенству Последнее равенство является уравнением эллипса. Таким образом, искомым ГМТ является эллипс. Расстояние от данной точки F до данной прямой d равно 3. Какой фигурой является ГМТ плоскости, расстояние от которых до прямой d в два раза больше расстояния до данной точки F?

Упражнение 16 Расстояние от данной точки F до данной прямой d равно 3. Какой фигурой является ГМТ плоскости, расстояние от которых до прямой d в два раза меньше расстояния до данной точки F? Решение: На координатной плоскости в качестве точки F возьмем точку F(3, 0), а в качестве прямой d – ось Oy. Для точки C(x, y) имеем: Равенство CF = 2CD равносильно равенству которое, в свою очередь, равносильно равенству Последнее равенство является уравнением гиперболы. Таким образом, искомым ГМТ является гипербола.

Упражнение 17 Лемниската Бернулли представляет собой геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух фиксированных точек F 1 и F 2 равно a 2, где 2a – расстояние между F 1 и F 2. Точки F 1, F 2 называются фокусами лемнискаты. Нарисуйте Лемнискату, фокусы которой расположены в точках с координатами (a, 0), (-a, 0) и найдите ее уравнение,. Ответ: (x 2 + y 2 ) 2 – 2a 2 (x 2 – y 2 ) = 0.

Упражнение 18 Нарисуйте декартов лист - кривую, уравнение которой имеет вид x 3 + y 3 – 3axy = 0. Ответ:

Упражнение 19 Найдите ГМТ, сумма квадратов расстояний от которых до двух данных точек постоянна и равна c 2. Решение. Пусть даны точки A(0, 0) и B(d, 0). Сумма квадратов расстояний от точки C(x, y) до этих точек равна x 2 + y 2 + (x – d) 2 + y 2. Имеем уравнение x 2 + y 2 + (x – d) 2 + y 2 = с 2, преобразуя которое, получаем уравнение В случае, если 2c 2 > d 2, оно задает окружность.

Параметрические уравнения Рассмотрим вопрос о том как траектория движения точки описывается с помощью уравнений. Поскольку положение точки на плоскости однозначно определяется ее координатами, то для задания движения точки достаточно задать зависимости ее координат x, y от времени t, т.е. задать функции В этом случае для каждого момента времени t мы можем найти положение точки на плоскости. Кривая на плоскости, описываемая точкой, координаты которой удовлетворяют этим уравнениям при изменении параметра t, называется параметрический заданной кривой на плоскости. Сами уравнения называются параметрическийми уравнениями.

Окружность Окружность радиуса R с центром в начале координат можно рассматривать как параметрический заданную кривую на плоскости с параметрическийми уравнениями При изменении параметра t от нуля до 2π точка на окружности делает один оборот против часовой стрелки, начиная и заканчивая в точке с координатами (R, 0). При дальнейшем увеличении параметра t точка будет многократно проходить по окружности в направлении против часовой стрелки.

Упражнение 1 Напишите параметрическийе уравнения окружности с центром в точке P(x 0, y 0 ) и радиусом R. Ответ.

Прямая Прямая, проходящая через точку A 0 (x 0, y 0 ) и направляющим вектором с координатами (a, b) задается параметрическийми уравнениями

Упражнение 2 Напишите параметрическийе уравнения прямой, проходящей через точки A 1 (x 1, y 1 ), A 2 (x 2, y 2 ). Ответ.

Циклоида Найдем параметрическийе уравнения циклоиды. Предположим, что окружность повернулась на некоторый угол величины t. При этом точка касания O на окружности переместится в точку А. Поскольку дуга АР окружности при этом прокатилась по отрезку OР, то их длины равны, т.е. АР = OР = Rt. Для координат x, y точки А имеем x = OP - AQ = Rt - R sin t = R(t - sin t), y = O 1 P - O 1 Q = R - R cos t = R(1 - cos t) и, таким образом, параметрическийми уравнениями циклоиды являются уравнения

Трохоида Трохоида – траектория движения точки, закрепленной на радиусе окружности, или его продолжении, когда эта окружность катится по прямой. Так же как и в случае с циклоидой, показывается, что параметрическийми уравнениями трохоиды являются где d – расстояние от точки до центра окружности. Если d R, то кривая называется удлиненной циклоидой.

Эпициклоиды Пусть центр O неподвижной окружности является началом координат и точка A(R, 0) соответствует начальному моменту времени. Предположим, что катящаяся с внешней стороны окружность повернулась на угол, равный t. При этом точка A переместилась в точку A 1 (x,y). Обозначим отношение через m. Из равенства длин дуг AB и A 1 B следует, что угол AOB равен mt. Далее, A 1 O 1 C = A 1 O 1 B - CO 1 O = t – ( 90 о – mt) и, следовательно, sin A 1 O 1 C=sin(t–(90 о –mt))=-cos(t+mt), cos A 1 O 1 C=cos(t–(90 о –mt))= sin(t+mt). Учитывая, что x = OC + CP, y = O 1 C - O 1 Q, получаем параметрическийе уравнения эпициклоиды

Кардиоида В частности, если m = 1, параметрическийе уравнения кардиоиды имеют вид

Эпициклоида (m = 2/3) Параметрические уравнения эпициклоиды имеют вид

Удлиненная эпициклоида (m = 2/3) Параметрические уравнения удлиненной эпициклоиды имеют вид

Эпициклоида (m = 2/5) Параметрические уравнения эпициклоиды имеют вид

Гипоциклоиды Так же как и для эпициклоиды показывается, что уравнения гипоциклоиды имеют вид

Астроида В частности, параметрическийе уравнения астроиды (m=1/4), имеют вид

Кривая Штейнера Параметрические уравнения кривой Штейнера (m=1/3), имеют вид

Гипоциклоида (m = 2/5) Параметрические уравнения гипоциклоиды (m=2/5), имеют вид

Упражнение 1 Найдите параметрическийе уравнения окружности с центром в точке O(x 0, y 0 ) и радиусом R. Ответ.

Упражнение 2 Найдите параметрическийе уравнения прямой, проходящей через точку A 0 (x 0, y 0 ) и с направляющим вектором Ответ.

Упражнение 3 Какую кривую задают параметрическийе уравнения ? Ответ. Парабола.

Упражнение 4 Какую кривую задают параметрическийе уравнения ? Ответ. Эллипс.

Упражнение 5 Изобразите кривую, которую задают параметрическийе уравнения Ответ. Астроида.