Аксиома параллельных прямых Геометрия 7 класс
Повторение Вставьте недостающие слова: Две прямые на плоскости называются параллельными, если __________________________. Если при пересечении двух прямых секущей __________________________________, то прямые параллельны. они не пересекаются накрест лежащие углы равны сумма односторонних углов равна 1800 соответственные углы равны
Повторение Назовите пары накрест лежащих, соответственных и односторонних углов
Об аксиомах геометрии Изучая свойства геометрических фигур, мы доказали ряд теорем. При этом мы опирались, как правило, на доказанные ранее теоремы. А на чем основаны доказательства самых первых теорем геометрии? Ответ на этот вопрос такой: некоторые утверждения о свойствах геометрических фигур принимаются в качестве исходных положений, на основе которых доказываются далее теоремы и, вообще, строится вся геометрия. Такие исходные положения называются аксиомами.
Об аксиомах геометрии Некоторые аксиомы были сформулированы еще в первой главе (хотя они и не назывались там аксиомами). Например, аксиомой является утверждение о том, что через любые две точки проходит прямая, и притом только одна. Многие другие аксиомы, хотя и не были выделены особо, но фактически использовались в наших рассуждениях. Так, сравнение двух отрезков мы проводили с помощью наложения одного отрезка на другой. Возможность такого наложения вытекает из следующей аксиомы: на любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один. Сравнение двух углов основано на аналогичной аксиоме: от любого луча в заданную сторону можно отложить угол, равный данному неразвернутому углу, и притом только один.
Об аксиомах геометрии Все эти аксиомы являются наглядно очевидными и не вызывают сомнений. Само слово «аксиома» происходит от греческого «аксиос», что означает «ценный, достойный».
Об аксиомах геометрии Такой подход к построению геометрии, когда сначала формулируются исходные положения аксиомы, а затем на их основе путем логических рассуждений доказываются другие утверждения, зародился еще в глубокой древности и был изложен в знаменитом сочинении «Начала» древнегреческого ученого Евклида (примерно гг. до н. э.).
Об аксиомах геометрии Некоторые из аксиом Евклида (часть из них он называл постулатами) и сейчас используются в курсах геометрии, а сама геометрия, изложенная в «Началах», называется евклидовой геометрией. Познакомимся с одной из самых известных аксиом геометрии
Аксиома параллельных прямых Рассмотрим произвольную прямую а и точку М, не лежащую на ней. Проведем через точку М прямую параллельную прямой а. а М Построение: 1. Проведем прямую с, проходящую через М и перпендикулярную а. 2. Проведем прямую b, проходящую через М и перпендикулярную с. 3. а ׀׀b на основании теоремы о двух прямых перпендикулярной третьей. с b
Аксиома параллельных прямых Итак, через точку М проходит прямая b, параллельная прямой а. Возникает вопрос: можно ли через точку М провести еще одну прямую, параллельную прямой а? Нам представляется, что если прямую b «повернуть» даже на очень малый угол вокруг точки М, то она пересечет прямую а (прямая b' на рисунке). Иными словами, нам кажется, что через точку М нельзя провести другую прямую (отличную от b), параллельную прямой а. А можно ли это утверждение доказать? а М с b b
Аксиома параллельных прямых Оказывается этот вопрос имеет большую историю. В «Началах» Евклида содержится постулат (пятый постулат Евклида), из которого следует, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Многие математики, начиная с древних времен, предпринимали попытки доказать пятый постулат Евклида, т. е. вывести его из других аксиом. Однако эти попытки каждый раз оказывались неудачными.
Аксиома параллельных прямых И лишь в прошлом веке было окончательно выяснено, что утверждение о единственности прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой, не может быть доказано на основе остальных аксиом Евклида, а само является аксиомой. Огромную роль в решении этого вопроса сыграл великий русский математик Николай Иванович Лобачевский ( ).
Аксиома параллельных прямых Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
Следствия из аксиомы Утверждения, которые выводятся непосредственно из аксиом или теорем, называются следствиями.
Следствия из аксиомы Следствие 1°. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую. Дано:, Доказать: Доказательство: Если c не пересекается c b, то Значит через точку М проходит две прямые а и с параллельные b, это противоречит аксиоме, значит аМ с b
Следствия из аксиомы Следствие 2°. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны. а М с b Дано: a||c, b||c Доказать: a||b Доказательство: Пусть a не параллельна b, т.е Тогда через точку М проходит две прямые а и b параллельные c, это противоречит аксиоме, значит a||b.
Решение задач
Решение задач Прямая d пересекает прямую b. Пересечет ли эта прямая прямую a? Почему? a d b c
Домашнее задание П.п. 27, Домашнее задание