Работу выполнила – Подкомарная Ирина ученица 10 «Б» класса МОУ СОШ им. А. В. Каляпина с. Пригородное Сердобского района Научный руководитель – учитель математики высшей категории Кузнецова Ольга Александровна.

Уравнения вида f(g(x))=f(h(x)) f(f…(f(х))…)= х f(x)=fˉ¹(х) Неравенства вида f(g(x))>f(h(x))

Проанализировать решения конкретных функциональных уравнений, сравнить с обычным способом их решения. Показать применение выбранного способа к решению олимпиадных задач.

1 ) Собрать и изучить литературу по данной теме. 2) Обобщить и систематизировать собранный материал. 3) Углубить знания по теме и расширить свой кругозор.

1) Метод систематизации и обобщения 2) Сравнительный анализ.

1) «Уравнения вида f(g(x))=f(h(x)) и нестандартные методы решения» И. И. Чугаев, С. И. Мещеряков, М. Ш. 3 – 95. 2) «Нестандартные методы решения уравнений и неравенств» С. Н. Олехник, М. К. Потапов; 3) «Факультативный курс по математике. Решение задач 11 класс» И. Ф. Шарыгин, В. И. Голубев; В. И. Голубев; 4) «Всероссийские олимпиады по математике» и другие источники. и другие источники.

Например: log 2 (х² - 2 х +1)= log 2 (-х +3) Сводится к решению уравнения: х² - 2 х +1=-х +3 х² - 2 х +1=-х +3 В О.Д.З. данного уравнения. О.Д.З. О.Д.З. х² - 2 х +1>0 х² - 2 х +1>0 -х +3>0 -х +3>0

1) Решение уравнения g(x)=h(x), содержащееся в области допустимых значений уравнения f(g(x))=f(h(x)), является решением уравнения f(g(x))=f(h(x)). 2) Если f(x) – строго монотонная функция, то уравнения f(g(x))=f(h(x)) и g(x)=h(x) равносильны на области допустимых значений уравнения f(g(x))=f(h(x)). 3)Если f(x), g(x) и h(x) – многочлены, то полином f(g(x))-f(h(x)) делится на многочлен g(x)-h(x).

(х²+х-2)³+х²-2=х³ Это уравнение имеет вид f(g(x))=f(h(x)). Перепишем его в виде: (х²+х-2)³+(х²+х-2)= х³+х f(x)= х³+х f´(x)=3 х²+1>0 g(x)=(х²+х-2) h(x)= х Если f(x) строго возрастающая функция, то f(g(x))=f(h(x)) равносильно g(x)=h(x), т. е. х²+х-2=хх²-2=0 х²=2 х=±2 Ответ: ±2 Ответ: ±2

Другое решение: (х²+х-2)³+х²-2=х³(х²+х-2)³-х³=2-х² (х²+х-2-х)·((х²+х-2)²+х(х²+х-2)+ х²)=2-х² (х²-2)·(х +х²+4+2 х³-4 х²-4 х+х³+х²-2 х+х²)+(х²-2)=0 (х²-2)·(х +3 х³-х²-6 х+5)=0 х²-2=0 х +3 х³-х²-6 х+5=0 х²=2 решений нет. х=±2 Ответ: ±2 Ответ: ±2

ПРИМЕР: sin х -3sin²х=cos³2x-3cos2x f(x)=х³-3 х Е(g(x))=[0;1] g(x)=sin²х E(h(x))=[-1;1] h(x)= cos2x т.к. f´(x)=3 х²-3=3(х²-1)<0 (х-1)·(х+1)< º//////////º1 - 1º//////////º1 На [-1;1] f(x) строго убывает. Значит на множестве значений функций g(x) и h(x) функция f(x) убывает, отсюда следует, что уравнение f(g(x))=f(h(x)) равносильно уравнению g(x)=h(x), т. е. sin²х= cos2x (1-cos2 х)/2=cos2 х 1-cos2x=2cos2x 3cos2x=1 cos2x= cos2x= 2 х=±arccos +2¶n, nєZ х=±½arccos +¶n, nєZ Ответ: х=±½arccos +¶n, nєZ Ответ: х=±½arccos +¶n, nєZ

Другое решение: sin х -3sin²х=cos³2x-3cos2x ((1-cos2 х)/2)³-3((1-cos2 х)/2)=cos2x(cos²2x-3) (1-3cos2x+3cos²2x-cos³2x)-3/2(1-cos2 х)-cos³2x+3cos2x=0 1-3cos2x+3cos²2x-cos³2x-12+12cos2x-8cos³2x+24cos2x=0-9cos³2x+3cos²2x+33cos2x-11=09cos³2x-3cos²2x-33cos2x+11=03cos²2x(3cos2x-1)-11(3cos2x-1)=0(3cos2x-1)·(3cos²2x-11)=0 cos2x= 3cos²2x=11 2 х=±arccos +2¶n, nєZ нет решений. х=±½arccos +¶n, nєZ Ответ: х=±½arccos +¶n, nєZ Ответ: х=±½arccos +¶n, nєZ

1) Корни уравнения f(х)= х являются 1) Корни уравнения f(х)= х являются решением уравнения f(f(x))=x. решением уравнения f(f(x))=x. 2) Если функция f(х)- строго возрастающая, то уравнения f(f(x))=x и f(х)= х эквивалентны. 2) Если функция f(х)- строго возрастающая, то уравнения f(f(x))=x и f(х)= х эквивалентны. 3) Пусть функция f(х) непрерывна на области определения, которая является промежутком. Если уравнение f(х)= х не имеет корней, то уравнение f(f(x))=x не имеет решений. 3) Пусть функция f(х) непрерывна на области определения, которая является промежутком. Если уравнение f(х)= х не имеет корней, то уравнение f(f(x))=x не имеет решений.

Пример: х = х Имеем уравнение вида f(f(f(x)))= х f(x)=2+х, f(x) – возрастает на промежутке [0; ) и непрерывна. Значит, данное уравнение равносильно уравнению: 2+х =х 2+х = х² х²-х-2=0 D= 1+8=9 х=2 х=-1 (посторонний корень) Ответ: х=2 Ответ: х=2

Другое решение: х = х х =х² 2+ 2+х = х² х = х² х = х -4 х²+4 2+х= х -4 х²+2 2+х = (х -4 х²+2)² 2+х = х +16 х +4-8 х +4 х -16 х² 2+х = х -8 х +20 х -16 х²+4 х -8 х +20 х -16 х²-х+2=0

р(-1)= =24-24=0 х -х -7 х +7 х +13 х³-13 х²-3 х+2=0 р(2)= = =0 х +х -5 х -3 х³+7 х²+х-1=0 р(1)= =1 р(-1)= =3 нет рациональных корней

6+(6+...+(6+х³)³...)³= ³у-6 Возведение в куб в левой части повторяется n раз. Значит, это уравнение имеет вид f(f…(f(х))…)=х. Причём f(х)=6+х³ если у=6+х³, то х³=у-6 х= ³ у-6 х= ³ у-6 f(х) – возрастающая, то уравнение равносильно уравнениюf(f…(f(х))…)=х следовательно, эквивалентно уравнению f(x)=x, т.е. 6+х³=хх³-х+6=0 Ищем корни среди делителей 6. Д(6): ±1; ±2; ±3; ±6. Х= Х= =0 Значит: _ х³-х+6 х+2 _ х³-х+6 х+2 х³+2 х² х²-2 х+3 х³+2 х² х²-2 х+3 _ -2 х²-х _ -2 х²-х -2 х²-4 х -2 х²-4 х _3 х+6 _3 х+6 3 х+6 3 х+6 0 (х+2)( х²-2 х+3)=0 х+2=0 х²-2 х+3=0 х=-2 D=4-12=-8<0 нет решений нет решений Ответ: х=-2 Ответ: х=-2

Пример: х³+1=2·2 х-1 О.Д.З. – R Перепишем уравнение так: = 2 х-1 = 2 х-1 Пусть у=f(x)= Отсюда: 2 у=х³+1 х³=2 у-1 х³=2 у-1 х =2 у-1 у=2 х-1 х =2 у-1 у=2 х-1 В правой части уравнения стоит функция, обратная к функции f(x), значит данное уравнение имеет вид f(x)=fˉ¹(х). Т. к. функция f(x) возрастает данное уравнение равносильно уравнению f(f(x))=x, значит, уравнению f(x)=х.

х³+1=2 х х³+1=2 х х³+1-2 х=0 х³+1-2 х=0 х³+1-2 х= (х-1)·(х²+х-1) х³+1-2 х= (х-1)·(х²+х-1) (х-1)·(х²+х-1)=0 (х-1)·(х²+х-1)=0 х-1=0 или х²+х-1=0 х-1=0 или х²+х-1=0 х=1 D=1+4=5 х=1 D=1+4=5 х 1 = (-1+ 5 )/2 х 1 = (-1+ 5 )/2 х 2 = (-1-5)/2 х 2 = (-1-5)/2 Ответ: х=1 Ответ: х=1 х 1 = (-1+ 5 )/2 х 1 = (-1+ 5 )/2 х 2 = (-1-5)/2 х 2 = (-1-5)/2

Другое решение: Другое решение: х³+1=2·2 х-1 х³+1=2·2 х-1 х +3 х +3 х³+1=8·(2 х-1) х +3 х +3 х³+1=8·(2 х-1) х +3 х +3 х³-16 х+9=0 х +3 х +3 х³-16 х+9=0 р(1)= =16-16=0 р(1)= =16-16=0 х +х +х +4 х +4 х +4 х³+7 х²+7 х-9=0 х +х +х +4 х +4 х +4 х³+7 х²+7 х-9=0 р(1)= р(1)= р(-1)= р(-1)= р(-3)= р(-3)= р(-9)0 р(-9)

а) если функция f(u) возрастает на R, то равносильны неравенства f(g(x))>f(h(x)) и g(x)> h(x). б) если функция f(u) убывает на R, то равносильны неравенства f(g(x))>f(h(x)) и g(x) f(h(x)) и g(x)< h(x).

Пример: х+2 +х+2 + Пусть u= Область существования функции у=u +е есть R. х/(х-1)<х+2 х/(х-1)-х-2<0(х-(х+2)(х-1))/(х-1)<0(х-х²+х-2 х+2)/(х-1)<0(-х²+2)/(х-1)<0 (х²-2)/(х-1)>0 ((х- 2 )(х+ 2 ))/(х-1)> º''''''''''''''º - º''''''''''''''''' (-2;1) и (2;)

Собранный и систематизированный материал актуален, так как функциональные уравнения и неравенства встречаются на олимпиадах и на экзаменах. Материал работы может послужить основой для элективного курса в старших классах, а также пригодится для занятий на факультативных курсах и при подготовке к экзаменам.