ПЛАНИМЕТРИЯ СТЕРЕОМЕТРИЯ 7-9 классы классы ГЕОМЕТРИЯ на плоскости ГЕОМЕТРИЯ в пространстве «планиметрия» – наименование смешанного происхождения: от греч. metreo – измерять и лат. planum – плоская поверхность (плоскость) «стереометрия» – от греч. stereos – пространственный (stereon – объем). Школьный курс ГЕОМЕТРИИ

Учебный материал 10 класса по геометрии ЧТО БУДЕМ ИЗУЧАТЬ В 10-м КЛАССЕ Аксиомы стереометрии Параллельность прямых и плоскостей Перпендикулярность прямых и плоскостей Многогранники

Основные понятия стереометрии точка, прямая, плоскость, А Т М m = (РКС) Р К С

Аксиомы стереометрии А-1 Через любые три точки, не лежащие на одной прямой проходит плоскость, и притом только одна Р К С = (РКС)

Аксиомы стереометрии А-2 Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. С М m М, C m М, C m, Еслито

Аксиомы стереометрии А-3 Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. М m М, М, М m m, m = m

СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ Т-1 Через любую прямую и не принадлежащую ей точку можно провести плоскость, и притом только одну. m м А В Дано: М m Так как М m, то точки А, В и M не принадлежат одной прямой. По А-1 через точки А, В и M проходит только одна плоскость плоскость (ABM), Обозначим её. Прямая m имеет с ней две общие точки точки A и B, следовательно, по аксиоме А-2 эта прямая лежит в плоскости.. Таким образом, плоскость проходит через прямую m и точку M и является искомой. Докажем, что другой плоскости, проходящей через прямую m и точку M, не существует. Предположим, что есть другая плоскость, проходящая через прямую m и точку M. Тогда плоскости и проходят через точки А, В и M, не принадлежащие одной прямой, а значит, совпадают. Следовательно, плоскость единственна. Теорема доказана Доказательство Пусть точки A, B m.

СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ Т-2 Через любые две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну. N м m n Дано: m n = M Доказательство Отметим на прямой m произвольную точку N, отличную от М. Рассмотрим плоскость =(n, N). Так как M и N, то по А-2 m. Значит обе прямые m, n лежат в плоскости и следовательно, является искомой Докажем единственность плоскости. Допустим, что есть другая, отличная от плоскости и проходящая через прямые m и n, плоскость. Так как плоскость проходит через прямую n и не принадлежащую ей точку N, то по T-1 она совпадает с плоскостью. Единственность плоскости доказана. Теорема доказана

1. Любые три точки лежат в одной плоскости. 2. Любые четыре точки лежат в одной плоскости. 3. Любые четыре точки не лежат в одной плоскости. 4. Через любые три точки проходит плоскость и при том только одна. 5. Если прямая пересекает 2 стороны треугольника, то она лежит в плоскости треугольника. 6. Если прямая проходит через вершину треугольника, то она лежит в плоскости треугольника. 7. Если прямые не пересекаются, то они параллельны. 8. Если плоскости не пересекаются, то они параллельны. В стереометрии мы будем рассматривать ситуации, задающие различные расположения в пространстве основных фигур относительно друг друга Определите: верно, ли суждение? ДА НЕТ

Пользуясь рисунком, назовите: четыре точки, лежащие в плоскости SAB, в плоскости ABC; плоскость, в которой лежит прямая MN, прямая КМ; прямую, по которой пересекаются плоскости ASC и SBC; плоскости SAC и CAB.

Пользуясь рисунком, назовите: 1) плоскости, содержащие прямую DE, прямую EF; 2)прямую, по которой пересекаются плоскости ACB и SBC, SBC и SAC; 3) плоскости, в которых лежит прямая SB; AC.

Пользуясь рисунком, назовите: 1) плоскости, содержащие прямую В1С; прямую АВ 2) прямую, по которой пересекаются плоскости В1CD и AСD; плоскости ADC1 и ABD; 3)плоскость, не пересекающуюся с прямой CD1; с прямой ВС1.

Верно ли утверждение: Через любые три точки проходит плоскость, и притом только одна А В С

Две прямые пересекаются в точке М. Докажите, что все прямые, не проходящие через точку М и пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости. Лежат ли в одной плоскости все прямые, проходящие через точку М? Дано: a А М В b c Докажите, что Пусть Т.к., то по Т2 Т.к. и,то по А2

m B 49

50 m

51 m n Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны другой плоскости, то эти плоскости параллельны

51 m n k H

5252 А С В

B2B2 C1C1 C2C2 B1B1 A2A2 A1A1 O = = _ _ ^ ^

А В С Д M P N S=48 54

55 m

56 m A

57 m

63 Y A A1A1 A2A2 B1B1 B2B A 1 A 2 =2A 1 A

63 б Y A A1A1 A2A2 B1B1 B2B x AA 2 =3\2A 1 A 2

64 А1А1 С2С2 С1С1 В2В2 В1В1 А2А2

65 А1А1 С2С2 С1С1 В2В2 В1В1 А2А2

Тетраэдр и параллелепипед

А В С Д

АВСД -ТЕТРАЭДР-ПОВЕРХНОСТЬ, СОСТАВЛЕННАЯ ИЗ ЧЕТЫРЕХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ Точки А,В,С,Д- ВЕРШИНЫ Отрезки АВ, ВС, СА, ДА, ДВ, ДС РЕБРА Треугольники АВС, ДАВ, ДВС, ДАС - ГРАНИ А В Д вершины ребра грани С

ОПРЕДЕЛЕНИЕ : ДВА РЕБРА ТЕТРАЭДРА, НЕ ИМЕЮЩИЕ ОБЩИХ ВЕРШИН НАЗЫВАЮТСЯ ПРОТИВОПОЛОЖНЫМИ Контрольные вопросы Что такое тетраэдр? Сколько вершин, ребер, граней имеет тетраэдр, назовите их Назовите противоположные ребра тетраэдра А В С Д

Параллелепипед

А1А1 В1В1 С1С1 Д1Д1 А В Д С

ОСНОВАНИЕ А В С Д А1А1 В1В1 С1С1 Д1Д1 ВЕРШИНА ТОЧКА РЕБРО ОТРЕЗОК БОКОВАЯ ГРАНЬ ПАРАЛЛЕЛОГРАММ ДВЕ ГРАНИ ИМЕЮЩИЕ ОБЩЕЕ РЕБРО НАЗЫВАЮТСЯ СМЕЖНЫМИ, НЕ ИМЕЮЩИЕ ОБЩИХ РЕБЕР ПРОТИВОПОЛОЖНЫМИ Две вершины не принадлежащие одной грани называются противоположными Отрезок,соединяющий противоположные вершины диагональ ДИАГОНАЛЬ ОСНОВАНИЕ

А В С Д А1А1 В1В1 С1С1 Д1Д1 ТЕОРЕМА 1 Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны

А В С Д А1А1 В1В1 С1С1 Д1Д1 ТЕОРЕМА 2 Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения пополам о

А В С Д А1А1 В1В1 Д1Д1 ТЕОРЕМА 2 Диагонали параллелограмма пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения пополам о

А В С Д А1А1 В1В1 Д1Д1 ТЕОРЕМА 2 Диагонали параллелограмма пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения пополам о

А В С Д 66

А В С Д

A C D A D B D B C

А В С Д 6868 M N

S В С A 69 D P

А В С Д М 70 Е

А В С Д М K О N 71

А В С Д М 71 A Е

А В С Д М Е

D1D1 A B C D A1A1 B1B1 C1C1 M N 87 A

D1D1 A B C D A1A1 B1B1 C1C1 M 87

D1D1 A B C D A1A1 B1B1 C1C1 86

D1D1 A B C D A1A1 B1B1 C1C1 M 85 K L

70

А В С Д М Р О

А В С Д М Р

А В С Д М Р О

А В С Д М Р

А В С Д М Р

D1D1 A B C D A1A1 B1B1 C1C1 M

D1D1 A B C D A1A1 B1B1 C1C1 M

D1D1 A B C D A1A1 B1B1 C1C1 M

D1D1 A B C D A1A1 B1B1 C1C1 M

D1D1 A B C D A1A1 B1B1 C1C1 M

М А В С М А В С Д Е

Cамостоятельная работа по теме «Сечения»

ВАРИАНТ 1 задача 1 А В С Д А1А1 В1В1 С1С1 Д1Д1

ВАРИАНТ 1 задача 2 А В С Д А1А1 В1В1 С1С1 Д1Д1

ВАРИАНТ 1 задача 3 А В С Д А1А1 В1В1 С1С1 Д1Д1

А В С Д М В 1 задача 5 Е

А В С Д М Е Т В 1 задача 6

А В С Д М Е Т

ВАРИАНТ 2 задача 1 А В С Д А1А1 В1В1 С1С1 Д1Д1

ВАРИАНТ 2 задача 2 А В С Д А1А1 В1В1 С1С1 Д1Д1 М

ВАРИАНТ 2 задача 3 А В С Д А1А1 В1В1 С1С1 Д1Д1 М Р К H

ВАРИАНТ 2 задача 4 А В С Д А1А1 В1В1 С1С1 Д1Д1 S T R

А В С Д М В 2 задача 5 Е

А В С Д М В 2 задача 6 Е

А В С Д М В 2 задача 7 Е H

Устные упражнения по теме «Сечения»

А В С Д М Е К

А В С Д М Е H

А В С Д М Е Т

А В С Д М Е

А В С Д А1А1 В1В1 С1С1 Д1Д1

А В С Д А1А1 В1В1 С1С1 Д1Д1

А В С Д А1А1 В1В1 С1С1 Д1Д1

Перпендикулярность прямой и плоскости

Определение Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна любой прямой лежащей в плоскости А а р а

а в х Теорема Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна плоскости а а в в Сформулируйте обратное утверждение

а в х Теорема Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны а в в а

Признаук перпендикулярности прямой и плоскости Если прямая перпендикулярна двум пересекающим прямым,лежащим в плоскости, то она перпендикулярна плоскости а А А1А1 Р Q L l q p m

А В С Д А1А1 В1В1 С1С1 Д1Д1 Дано ВАД= а

А В С Д А1А1 В1В1 С1С1 Д1Д1 116 б 90

А С Д В М N Дано ВС АД Доказать М N АД 117

А М О В С Д 118

А О Д В С = = 119 а Дано АО=ОД Доказать: АВ=ВД

А О Д В С А О Д В С = = 119 б Дано ОВ=ОС Доказать АВ=АС

119 в О Д В С Дано АВ=АС Доказать: ОВ=ОС А = =

О К = в А В С Д а 120

О = в А В С Д а К

С А В = = М 6 8 К 12 ? 121

А С В Д = = = 16 3 ? ? 122

163 А В С К О 12

а а, = 123

Р1Р1 Q1Q1 РQ 124

Р1Р1 Q1Q1 Р 15 21,5 33,5 Q ? 125

В А С М д 126

В С А Д 127

Д А В С О М 129

А ВС Д О М 128

Д А В С М 90 m n n о 130

А В С Д М = = 131

А В С φ d ? ? 138 а

138 б А В С φ ? ? m

139 А В С Д = =

139 б А В С Д ==

А О С В 60 1, А С = = ?

А В Н С М 6 ? 141

А В 1 см 4 см М ? 142

143 М А В С = = = Д 4 4 4

А В С Д а в

147 А В С Д М наукл пр наук л пр АМД МСД 90

148 А В С К М == пер наук пр 90

149 А В С Д М = = пер наук пр

150 С К наукл пр наукл пр 90 В А Д ? ?

А В С Д 151 н

152 А В С Д F наукл пр наук л пр 90 О 8 4

А В С Д 9 10 = = 13 М

155 А В 2 7 = = 4 4 М1М1 90 С М

156 А В М 90 С Д m φφφ φ n

А В С Д О Н Н1Н1 К 4,

3 4 5 S=6 2,5 ОН=6 X=1,2 1,2 А В С Д О Н

,5 25 А В С Д 158

159 С М В Д А К

160 А В В1В1 А1А1 13 5

161 В А С Д М

163 а А М Н 45 d = =

163 б А М Н 60 d 30

163 в А М Н 30 d

А М Н d 164 d

А В С d Н 165

В С Н 60 М d 3

А В С Д 66

А В С Д

А В С Д 68 м N Доказать МN = (ВСД )

В С Д 70 М Р К Доказать (МРК) (ВСД) А =

71 А В С Д М N К Е Н

А В С Д 72(а) М Е О

А В С Д 72(б) М Е О

А В С Д М N Р К

А В С Д 74 Е О М К

L N K 7575 М Е О A F

7676 А В С Д А1А1 В1В1 С1С1 Д1Д1

78 А В С Д А1А1 В1В1 С1С1 Д1Д1 М М1М1 N N1N1 = = = =

79 а АВ СД А1А1 В1В1 С1С1 Д1Д1

79 б А В С Д А1А1 В1В1 С1С1 Д1Д1

80 АВ СД А1А1 В1В1 С1С1 Д1Д1 ОО1О1

81 А В С Д А1А1 В1В1 С1С1 Д1Д1 М N Р Е

82 аб А В С Д А1А1 В1В1 С1С1 Д1Д1 М

82 в А В С Д А1А1 В1В1 С1С1 Д1Д1 М

ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННЫЕ

А Н М Отрезок АН- ПЕРПЕНДИКУЛЯР Отрезок АМ- НАКЛОННАЯ Точка Н- основание перпендикуляра точка М основание науклонной АН проекция расстояние от А до

А Н расстояние между параллельными плоскостями А1А1 Н1Н1

а а = А Н АН -расстояние от А до

А А1А1 АА 1 А 1 –ПРОЕКЦИЯ А НА А В А1А1 В1В1 Проекция АВ НА

А В С А1А1 В1В1 С1С1 А 1 В 1 С 1 - проекция АВС НА

А В С В1В1 А В 1 С - проекция АВС НА

ТЕОРЕМА О ТРЕХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ ПРЯМАЯ, ПРОВЕДЕННАЯ В ПЛОСКОСТИ ЧЕРЕЗ ОСОВАНИЕ НАКЛОННОЙ,ПЕРПЕНДИКУЛЯРНО К ЕЕ ПРОЕКЦИИ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНО И САМОЙ НАКЛОННОЙ

Н А М а

ТЕОРЕМА О ТРЕХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ ПРЯМАЯ, ПРОВЕДЕННАЯ В ПЛОСКОСТИ ЧЕРЕЗ ОСОВАНИЕ НАКЛОННОЙ,ПЕРПЕНДИКУЛЯРНО К ЕЕ ПРОЕКЦИИ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНО И САМОЙ НАКЛОННОЙ ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА Прямая,проведенная в плоскости через основание науклонной и перпендикулярно ей, будет перпендикулярна и ее проекции

Угол между прямой и плоскостью это угол между прямой и ее проекцией А М Н - угол между прямой АМ и плоскостью

С Д ребро грань А М К АМК –линейный угол двугранного АСДК АМСД, КМСД

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПЛОСКОСТИ Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными,если угол между ними равен 90 Признаук перпендикулярности плоскостей Если плоскость проходит через прямую перпендикулярную другой плоскости,то такие плоскости перпендикулярны

Если плоскость проходит через прямую перпендикулярную другой плоскости,то такие плоскости перпендикулярны В АС АВ Э Д

2. Все двугранные углы прямые. Прямой параллелепипед- основания- параллелограммы,боковые ребра перпендикулярны основанию Прямоугольный параллелепипед- основания-прямоугольники, боковые ребра перпендикулярны основанию В прямоугольном параллелепипеде 1. Все шесть граней прямоугольники

КУБ Прямоугольный параллелепипед у которого все три измерения равны называется кубом. Грани куба –равные квадраты

Теорема. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений АС 1 = АВ + АД +АА А В С Д Д1Д1 С1С1 В1В1 А1А1 Следствие. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны а в с d d = а + в + с 2222 d = 3 а КУБ 2 2

166 А МN В С пер н пр

Самостоятельная работа задача 1 вариант 1 А МN В С ? С А В 63 ?

Самостоятельная работа задача 1 вариант 2 А МN В С ? С А В 52 ?

167 = = = = = А С В Д М Доказать ДМВ- л.у ВАСД

168 А МN В С пер н пр d А СВ d

169

170 С В В1В1 МА пер н пр

Прямая СД перпендикулярна плоскости прямоугольного треугольника АВС, с прямым углом С. Найти 1) ДМ, где точка М середина АВ 2) Докажи,что прямая ДН АВ, где СН высота треугольника АВС 3)Найди ДН,если 1 ВАРИАНТ 2 ВАРИАНТ АС=8 СВ=6 СД=2 5 СВ=4 САВ=60 СД= 2 2

А В С А В С А В С т т т

А В С А В С А В С 4 6 2

А В С А В С А В С

А В С А В С А В С

171 А В С == 30 М Н ? 2Х Х 2 2Х

172 АС В Н ?

173 А В Д С = = = ДАСВ ДАВС ВДСА М

174 А В Д С = = АВСД 5 2 пер н пр 53

175 А В С ДДАСВ ДАВС ДСВА САДВ М К

а а а 60 а 3 2

а а 3 2 а 3 2 Д В М

А ВС Д Н М 43 45К Н В К А В К

АВ У 177

178 а с А С В ас а

179 В А С Д пер

180 а с

182 М с А В С

184 А В Д С 10 5 М АВ Д М

189 т А1А1 d ? А

190 А1А1 АВ С Д В1В1 С1С1 Д1Д1 К

191 А1А1 АВ С Д В1В1 С1С1 Д1Д1

192 А1А1 АВ С Д В1В1 С1С1 Д1Д1 а а а 2 а

А1А1 АВ С Д В1В1 С1С1 Д1Д1 193 d т п ? ?

А1А1 АВ С Д В1В1 С1С1 Д1Д1 194 а а а а М

А1А1 АВ С Д В1В1 С1С1 Д1Д1 а а а 194 б

А1А1 АВ С Д В1В1 С1С1 Д1Д А1А1 АВ С Д В1В1 С1С1 Д1Д1 19 6

А1А1 АВ С Д В1В1 С1С1 Д1Д1 а 196

А1А1 АВ С Д В1В1 С1С1 Д1Д1 196 б

А ВС Д ЕМ А1А1 В1В1 С1С1 Д1Д1 Е1Е1 М1М1 Н Н1Н1 Основания- многоугольники Боковые грани параллелограммы Боковые ребра высота Многогранник, составленный из двух равных многоугольников, РАСПОЛОЖЕННЫХ В ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЯХ и п параллелограммов называется призмой

Площадь полной поверхности призмы это сумма площадей всех ее граней Площадь боковой поверхности призмы это сумма площадей всех ее боковых граней S полн = S бок + 2S осн

Прямая призма- боковые ребра перпендикулярны основаниям (боковое ребро является высотой) S БОК = Р ОСН Н Н

Правильная призма это прямая призма, у которой основания правильные многоугольники Боковые грани – равные прямоугольники

219 А1А1 АВ С Д В1В1 С1С1 Д1Д

А1А1 АВ С Д В1В1 С1С1 Д1Д

8 6 А В С А1А1 В1В1 С1С1 А1А1 В1В1 С

222 А В С Д А1А1 В1В1 С1С1 Д1Д

223 АВ С Д В1В1 С1С1 Д1Д1 А1А1

224 А1А1 АВ С Д В1В1 С1С1 Д1Д

А1А1 АВ С Д В1В1 С1С1 Д1Д1 30 А1А1 АВ С Д В1В1 С1С1 Д1Д1 225 х х 2Х Х 2

226 А1А1 АВ С Д В1В1 С1С1 Д1Д1 М н пр 22 О

227

228 А В С А1А1 В1В1 С1С

229 а А В С А1А1 С1С1 В1В

229 б А1А1 АВ С Д В1В1 С1С1 Д1Д1 12 8

в

230 А В С А1А1 С1С1 В1В

231 АВ С Д В1В1 С1С1 Д1Д1 А1А S=

232 А1А1 АВ С Д В1В1 С1С1 Д1Д1 d

233 А В С А1А1 С1С1 В1В1 27Д12

234 А В С А1А1 С1С1 В1В M R

А В С М tqC= R

235 А В С А1А1 С1С1 В1В1 Д

a h1h1 h2h2 S БОК = Р СЕЧ а 236

24 М12 35 К Р 238

А1А1 А2А2 А3А3 АnАn Р вершина основание Боковое ребро Боковая грань- треугольник Н высота апофема А4А4 Плоский угол при вершине Угол между боковым ребром и плоскостью основания двугранный угол при основании

Площадь полной поверхности пирамиды это сумма площадей всех ее граней Площадь боковой поверхности пирамиды это сумма площадей ее боковых граней S полн = S бок + S осн Пирамида называется правильной если ее основание правильный многоугольник и вершина проекти- руется в центр основания

r R AnAn A1A1 A2A2 A3A3 Боковые ребра правильной пирамиды равны. Боковые грани- равные равнобедренные треугольники Двугранные углы при основании равны ДОКАЗАТЬ! Р S БОК = 2 Р ОСН Н 1 а Н а - апофема На На

ПРАВИЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК а P R r S /2 9 3/ /4

КВАДРАТ а P R r S /

Устно ПРАВИЛЬНАЯ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНАЯ ПИРАМИДА а hHaPA rR

r=1,5 А В С Р О М ПРАВИЛЬНАЯ ПИРАМИДА R= ,25

r R A4A4 A1A1 A2A2 A3A3 Р На На Устно ПРАВИЛЬНАЯ ПИРАМИДА r=3r=3 О h h=4 Найти а, На R S осн S БОК РА 1 а

r R A4A4 A1A1 A2A2 A3A3 Р На На Устно ПРАВИЛЬНАЯ ПИРАМИДА а=4 2 О h h=4 Найти На r R S осн S БОК РА 1 а

А В С Д О К P угол между РС и плоскостью основания РСО= 45 - двугранный угол при основании СРД= 45 РКО РСО

А В С Д О К P

ПРАВИЛЬНАЯ ТРЕХУГОЛЬНАЯ ПИРАМИДА аhHaPA rRS бок S пол н

В правильной n-угольной пирамиде известна сторона основания- а и высота пирамиды- h Найдите 1)боковое ребро 2) апофему 3)площадь боковой и полной поверхности 4)угол между боковым ребром и плоскостью основания 5) двугранный угол при основании 6)плоский угол при вершине В классе Дома 1) n=3 a=4 h=5 2) n=4 a=2 h=3 2) n=6 a=6 h=4 1) n=3 a=4 3 h=6 2) n=4 a=4 2 h=4 2) n=6 a=4 h=5

r А В С Р О М R 4 5 1

А В С Д О К P 3 4 2

6 4 А В Р О С Н Д

А В С Д О Р

А В С Д О К P

А В С Д О Р S=360 М К

241 А В С Д О К 3

242 А В С Д М х х х 2

243 А В С Д 9 5М 12

А В С Д

245 А В С Д М х 2 х

А В С Д О Р Р Д

А В С Д О Р Р Д 247

248 r А В С М О К

А В С Д О Р 249 Р Д

250 А В С Д М 16 45

А В С Д 251

Правильные многоугольники а R r S P 1) а=3 2) а=2 3 3) а=4 4) а=4 3 R= 3, R=2 R= 4/ 3 R= 4 r= 3/2 r=1 r=2/ 3 r=2 S=9 3/4 S=3 3 S=4 3 S=12 3 R r а

Основанием пирамиды ДАВС является равнобедренный треугольник АВС АВ=АС, известно что боковые ребра пирамиды равны Найти высоту пирамиды,если Вариант 1 ВС=12 АВ=10 ДС= 20 Вариант 2 ВС=6 В=30 ДА=20 Основанием пирамиды является треугольник АВС.Каждая боковая грань науклонена к плоскости основания под углом 45 Найти площадь боковой поверхности пирамиды ДАВС, если стороны треугольника АВС Вариант 1 Вариант 2 13, 14, 15

r А В С Д О М ПРАВИЛЬНАЯ ПИРАМИДА R

А В С Д О ПРАВИЛЬНАЯ ПИРАМИДА ? 5 Найти 1)боковое ребро 2)угол между боковым ребром и плоскостью основания 3) апофему 4) площадь поверхности 5) двугранный угол при основании 5) плоский угол при вершине А С Д

А В С Д О ? М а Н К 254

А В С Д О М 255 8

8 А Д С 44 2

А В С Д О Р 256 Р Д т

ЦИЛИНДР

А В С Д ОБРАЗУЮЩАЯ (ВЫСОТА) ОСНОВАНИЕ О О1О1 ОСЬ М РАДИУС ОСНОВАНИЯ Боковая поверхность

А В С Д О О1О1 СЕЧЕНИЕ ПРОХОДЯЩЕЕ ЧЕРЕЗ ОСЬ ЦИДИНДРА- ОСЕВОЕ СЕЧЕНИЕ (ПРЯМОУГОЛЬНИК две стороны –диаметр основания, две другие образующие) М Р Н К ОСЕВОЕ СЕЧЕНИЕ АВСД ОСЕВОЕ СЕЧЕНИЕ МНРК S ос сеч = 2RH=dH

Если секущая плоскость проходит перпендикулярно оси цилиндра, то сечением является круг

Цилиндр может быть получен вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон А В С Д

Развертка цилиндра А В С Д 2ПR H S БОК = 2ПRH S=2ПRH+ 2ПR 2

522 А В С Д О ? О ? Найти высоту, радиус основания, площадь основания 30 24

Найти высоту, площадь основания А В С Д О ? О ? 523

Осевые сечения цилиндров равны. Равны ли высоты? 524

Площадь осевого сечения цилиндра 10 м площадь основания- 5,найти высоту цилиндра м 2

S осн S ос. сеч = 3П3П 4 Найти 1) угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания 2)Угол между диагоналями осевого сечения А В С Д 1 2

А В С Д М О О1О1 r h d а

10 8 C В О М

А В С Д М О О1О1 r 6 d б

12 10 ? А В К ОАВ О К 6 530

10 ? 9 В К О

12 C В О М 9

А1А1 А В1В1 В С С1С1 2r 532

А1А1 А В1В1 В С С1С1 2r S h d 533

А1А1 А В1В1 В С h d S cеч-? 534

АВ С d О О М

А1А1 А М В С С1С Scеч-? 535

АС В 2 60 О М 30 О

S А1А1 А В1В1 В С С1С1 S 536

537 1 м h=C Найти S БОК

538 S БОК= S Найти S OC.CЕЧ

539 1,5 м 3 м на 1 м -200 г 2

540 Высота цилиндра на 12 больше его радиуса, а площадь полной поверхности равна 288П Найдите радиус основания и высоту цилиндра х Х+12

см 4 м

542 S осн = S Найти S бок

543 C=2ПR Найти S бок S полн d

544 d Найти Sосн C=2ПR d 2

545 а а h=а r=a

524 A B C D a b b r=a a r=b

КОНУС

Р О вершина конуса высота основание образующие ось

а в

Осевое сечение

Сечение перпендикулярное оси А В С М Д О

l a S=Пl a S=Пrl

l r Sб=ПrlSб=Пrl S = П r ( l + r)

Усеченный КОНУС

А В С М Д О

О О1О1 образующая высота основание

О О1О1

О О1О1 а в h m S б = П (R+r) l

А В С О 8 ?

548 А В С О

549 8 А В С О ?

А В С М Д О 550

551 2r2r 2r2r 2r2r 2r2r

552 h А В С О ? 60 90

553 S=6 А В С ОS=8 ?

А В С М K H 45 60

А В С М Д О 557 O1O1 D1D1

l a

l A B C H

A B C

562 А В С О 6,5 45

563 А В С О 1,2 S=0,6

564 А В С О p a a

A D B H m m p 566

О О1О A B

О О1О A B

О О1О1 A B R r 45K r R-r 569

А В С М Д О S б =80 570

A B D C

О О1О A B м = 150 г 2 572

Сфера и шар

Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки Центр сферы М О ОМ –радиус сферы

О А В М 573

О А В М 574 а

О А В М 574 б

О А В М 574В

О А В М 574 г а в

О R r О1 R d

О R r 580 d 41 9

О R r О1 d 581 А В С

О R r О1 d 582 А В С 10 Д 8 АС=16

А С В О 5 О

А С В О 10 О1 583 D А С В О1О1 D AC=20 BD= ,5 К К

Самостоятельная работа по теме «Объем»

Найти объем куба V=a

Найти объем куба V=a 3 3 d = 3a =3a a =9 a=3 v=27 2 2

Найти объем прямоугольного параллелепипеда V = S осн h = abh

Найти объем прямоугольного параллелепипеда V = S осн h = abh

Найти объем прямоугольного параллелепипеда V = S осн h = abh

Найти объем прямоугольного параллелепипеда V = S осн h = abh S СЕЧ =

Найти объем прямоугольного параллелепипеда V = S осн h = abh 2 сечение квадрат

Найти объем прямоугольного параллелепипеда V = S осн h = abh

Найти объем прямоугольного параллелепипеда V = S осн h = abh

А В С Д О К P Найти объем правильной пирамиды V= S осн h 1313

А В С Д О К P Найти объем правильной пирамиды V= S осн h

А В С Д О К P Найти объем правильной пирамиды V= S осн h

А В С Д О К P 3 2 Найти объем правильной пирамиды V= S осн h

Найти объем правильной пирамиды V= S осн h 1313 А В С D О

Найти объем правильной пирамиды V= S осн h 1313 А В С D О

Найти объем правильной пирамиды V= S осн h 1313 А В С D О

А В С Д О К P Найти объем пирамиды у которой равны боковые ребра, основание прямоугольник V= S осн h

А В С D О 6 Найти объем пирамиды у которой углы между боковыми ребрами и плоскостью основания равны 45, основание прямоугольный треугольник с катетами 6 и

А В С D О 1212 Найти объем пирамиды у которой углы между боковыми ребрами и плоскостью основания равны 45, основание равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой

А В С D О 2 Найти объем пирамиды у которой углы между боковыми ребрами и плоскостью основания равны 30, основание равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой

ПЛАНИМЕТРИЯ

«Не знающий геометрии да не войдет сюда». Геометрия учит доказывать, а речь человека убедительна только тогда, когда он доказывает свои выводы.

А В Q R Р А В Р Q R а аааааааааа

А В С 2

В С 3 А 1 случай

А 3 2 случай

4 А В С Д

4 А В С Д

5 А В МQ N R S P

6 А В С а

7 А В С Д

ЛУЧ A Точка А разделяет прямую а на две части, каждая из которых называется лучом, исходящим из точки О Точка А -начало луча В С О М а Луч ОМ Луч а

Угол А В С Угол - это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки Лучи АВ и АС – стороны угла Точка А - вершина угла

Угол А В С ВАС или САВ или А к а ак

А В С1С1 Внутренняя область угла Внешняя область угла А В С М F G Р К

А Развернутый угол обе стороны лежат на одной прямой А - развернутый

А В С Д Луч АД делит АВС на два угла ДАС АВД и

8 A В С

9 А В О ВОА к h m

10 a a a s d sad

11 h k hk kl hl l

12 А В С М G К h k

14 А В Д O C

15 A S D E N

Биссектриса угла –луч, исходящий из вершины и делящий его на два равных угла А В С Д Луч АД делит АВС на два равных ДАС АВД угла = АД-биссектриса АВС

1717 О А В С ОВ < ОА ОС > ОА ОВ < ОС

18 A BO = = О - середина АВ АО=ОВ

A B С = = ДЕ = = 20 Середина отрезка АС - точка В АЕ - точка С СЕ- точка В Отрезок серединой которого является точка Д - СЕ точка С - АЕ, ВД

21 В С А О АОВ АОС >

22 h k hk kl hl l = >

30 Дано: АС-отрезок В АС АВ=7,8 см ВС=25 мм=2,5 см Найти АС А С В 7,8 см 2,5 см Решение АС=АВ+ВС АС=7,8+2,5 =10,3( СМ ) Ответ : 10,3( СМ )

31(а) Дано: АС-отрезок В АС АВ=3,7 см АС=7,2 см Найти ВС А С В 3,7 см ? Решение 7,2 см

31(б) Дано: АС-отрезок В АС АВ=4 мм АС=4 см=40 мм Найти ВС А С В 4 мм ? Решение 40 мм

32 Дано: а-прямая А,В,С а АВ=12 см ВС=13,5 см Найти ВС А С В 12 см 13,5 см Решение 1 случай А С В 12 см 13,5 см 2 случай а а

33 Дано: а-прямая М,В,Д а ДВ=7 см МД=16 см Найти ВМ М Д В 16 см 7 см 1 случай В М Д 7 см 16 см 2 случай а а

34 Д С В 64 см А 32 см 15 см Дано: АВ -отрезок С-середина АВ Д СА АВ=64 см СД=15 см Найти ВД и ДА Решение

35 Дано: М,С,Т а МС=650 км МТ=170 км Найти ВС М С Т 170 км ? Решение 650 км

А С В 3 см 4 см 5 см неверно С В А 36

37(а) А В С О 2 см Дано: С середина АВ О –середина АС АВ=2 см Найти АС,СВ,АО,ОВ 1 см 0,5 см 0,5 см Решение

37(б) А В С О 6,4 см 3,2 м 1,6 см 1,6 см Дано: С середина АВ О –середина АС СВ=3,2 м Найти АВ,АС,АО,ОВ

38(а) А В О 12 см 9 см Дано: А,О,В а О АВ М середина АО К –середина ОВ АО=12 см ОВ=9 см Найти: МК М К 6 4,5

38(б) А В О Дано: А,О,В а О АВ М середина АО К –середина ОВ АО=12 см ОВ=9 см Найти: МК М К 12 см 6 см 6 см 9 4,5

38 А В С О а М

40 А ВС О 28 см М Д 16 см

А Развернутый угол обе стороны лежат на одной прямой А - развернутый А =180 Виды углов

Развернутый угол обе стороны лежат на одной прямой Угол называется прямым, если он равен 90 Угол называется острым, если он меньше 90 Угол называется тупым, если он больше 90 М М =90 А<90 А D D>90

А В С Д Если луч делит угол на два угла, то градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов

А В С Д Луч АД делит АВС на два угла ДАС АВД и АВС = АВД + ДАС

47 А В Е О АОВ = АОЕ + ЕОВ АОВ = = 121 АОВ=12 37* * =121 2* Дано: а) АОЕ=77 ЕОВ=44 б) АОЕ=12 37 ЕОВ= Найти: АОВ /

47 А В С О х Дано: а) АОВ=78 АОС < ВОС на 18 Найти: АОВ х+18

49 А В О С Дано: а) АОВ=155 АОС > ВОС на 15 Найти: АОC х х+15 Решение х+15+х=155 2)70+15=85 - АОС 2 х= х=140 х=70 Ответ: АОС=85

50 А В С х 3 х О Дано: АОС=78 АОВ=3 ВОС Найти: АОВ 50

51 30 А В С Д М Р О

52 U Y X Z V O XOZ-?

53 h k h hl – прямой или тупой ? l l= kl

Смежные углы Определение : два угла у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжением одна другой называются смежными ТЕОРЕМА : сумма смежных углов равна 180 А О С В

Вертикальные углы Определение :два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжением сторон другого Теорема: вертикальные углы равны

Перпендикулярные прямые А С В Д Определение : две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными, если они образуют четыре прямых угла

Перпендикулярные прямые Теорема: две прямые перпендикулярные третьей не пересекаются А А1А1 В1В1 В Р Q АА 1 PQ ВВ 1 PQ АА 1 ВВ 1

54 В А О Д

56 В А С 111 М Дано: 1) АВС=111 2) АВС=90 3) АВС=15 Найти СВМ смежный с АВС

61 h k h l k < kl на 40 1) 2) hk > kl на 120 3) hk > kl на ) hk=3 kl 5) hk: kl=5:4 xx+40

А О В Д С

Дано: 1+ 3=

65(2) Дано: =

Найти:

68 O F A D B C 50 E

69 A P Q a

70 A a b d e

50

Устные упражнения

а А В С Д

а А С В Е К

а в m n

F а

А1А1 АВ С Д В1В1 С1С1 Д1Д1

А В С Д а а

АВСДЕ