Делимость или календарь на каждый день Презентацию подготовил Варсегов Георгий, ученик 6 А класса СОШ 89

«Приглашение в теорию чисел» под редакцией О.Оре

1-е января 1-го года н.э. приходилось на субботу. Так как в каждом простом году 365 дней, или 52 полных недели и 1 день, то год должен кончаться тем же днем недели, каким начался; поэтому последующий год начинается одним днем недели позже, чем предыдущий

Если 1 января 1-го года была суббота, то 1 января 2-го года было днем позже, т.е. воскресенье, 3-го года на 2 дня позже; а 1 января, например, 1923-го года было бы на 1922 дня (19231) после субботы, если бы не было ни одного високосного года.

Число високосных лет мы найдем, разделив 1923 на 4 = 480; но отсюда, для нового стиля, надо исключить календарную разницу в 13 дней: = 467. К полученному числу надо прибавить число дней, протекших после 1 января 1923-го года до определяемой даты скажем для примера, до 14 декабря: это составит 347 дней.

Сложив 1922, 457 и 347, (ост.) мы делим сумму на 7, и по полученному остатку определяем, что 14 декабря 1923-го года приходилось 2736 на 6 дней после субботы, а именно в пятницу.

Для дат XX века надо принимать во внимание только: 1) число дней, протекших с 1 января данного года в нашем примере 347; 2) прибавить число дней, соответствующее остатку лет 347 от деления 1923 на 28 3) число високосных лет в этом остатке, т.е. 4. Сумма 4 этих трех чисел ( ), т.е. 370, дает при делении на 7 тот же остаток 6 (пятница), который был получен раньше.

Дальнейшее упрощение состоит в том, что вместо полного числа дней месяца (при исчислении числа дней, протекших после 1 января заданного года), принимают в расчет только его остаток, от деления на 7. Далее, разделив 1900 на 28, получаем в остатке 24 года, в которых содержится 5 високосных лет; прибавив их к 24-м и найдя, что сумма , т. е. 29, дает при делении на 7 остаток 1, определяем, что 1 января 1900 года было в 1-й день недели. Отсюда для первых чисел каждого месяца получаем следующие цифры, определяющие соответствующие им дни недели (мы будем их называть остаточными числами").

Отсюда для первых чисел каждого месяца получаем следующие цифры, определяющие соответствующие им дни недели (мы будем их называть остаточными числами").

Остаточные числа для: января………………………….1 февраля… = 32, или.……4 марта…… = 32, или… апреля … = 35, или…….0 мая……… = 30, или…….2 июня …… = 33, или…….5 июля…… = 35, или…….0 августа… = 31, или…….3 сентября = 34, или…….6 октября = 36, или....….1 ноября … = 32, или...….4 декабря = 34, или….…6

31 марта 1923 г. Число месяца…….……………...…31 Остаточное число для марта…….4 С начала столетия прошло лет..23 В том числе високосных……....…5 Сумма 63 Остаток от деления на 7 будет 0,суббота.

16 апреля 1948 г. Решение. Число дней месяца……………...16 Остаточное число для апреля С начала столетия прошло лет..48 В том числе високосных………..12 Сумма 76 Остаток от деления на 7………6, - пятница.

Найти день недели 29 февраля 1912 г. (нов. ст.). Решение. Число месяца………………………….29 Остаточное число для февраля….….4 С начала столетия прошло лет……..12 В том числе високосных …….……….2 Сумма……...47 Остаток от деления на 7………5, четверг. Принято во внимание, что один високосный год уже был учтен, когда мы взяли дату 29 февраля. Поэтому пишем не 3 високосных года, а 2.

Для дат предшествующих столетий (XIX, XVIII и т. д.) можно пользоваться теми же числами; но надо помнить, что в XIX веке разница между новым и старым стилем была не 13, а 12 дней; кроме того, при делении 1800:28 получается в остатке 8, что вместе с 2 високосными годами в этом остатке составляет 10 (или 107 = 3), т.е. соответствующее характерное число для дат XIX века должно быть увеличено на 3 1 = 2.

День недели 31 декабря 1864 г. нов. стиля мы определим сначала по предыдущему, а затем внесем соответствующую поправкуприбавим 2 дня. Число месяца…………………………..31 Остаточное число для декабря С начала столетия прошло лет В том числе високосных……………..16 Поправка для XIX века………………..2 Сумма 119 Остаток от деления на 70,суббота.

День недели 25 апреля нов. ст г Решение. Число месяца…………………………25 Остаточное число для апреля…….0 С начала столетия прошло лет ……86 В том числе високосных…………….21 Поправка для XIX века………….2 Сумма 134 Остаток от деления на 71, воскресенье.

После недолгого упражнения можно и еще более упростить вычисления, а именно – писать, вместо приведенных здесь чисел, прямо их остатки от деления на 7. Например, день недели 24 марта 1934 г. мы определим в результате следующих простых выкладок: Вместо числа месяца (24)………………….3 Остальное число для марта…………….…4 Вместо числа лет, прошедших от 1900 г..6 В том числе високосных………………..…1 Сумма 0 (вместо 14). Искомый день суббота.

Особенно просто это для дат XX столетия: к числу точек прибавляют число месяца, последние две цифры года и частное от деления их на 4, а еще лучше остатки от деления этих чисел на 7. Остаток отделения суммы этих 4 слагаемых на 7 показывает день недели, а именно: 0 суббота. 1 воскресенье. 2 понедельник. 3 вторник н т. д.

ЯЗЫК СРАВНЕНИЯ

Теория чисел имеет свою алгебру, известную, как теория сравнений. Обычная алгебра первоначально развивалась как стенография для операций арифметики. Аналогично, сравнения представляют собой символический язык для делимости, основного понятия теории чисел. Понятие сравнения впервые ввел Гаусс.

Если а и b два целых числа и их разность (а b) делится на число m, мы выражаем это записью которая читается так: «а сравнимо с b по модулю m»

1)23 8 (mod 5), так как 23 – 8 = 15 = 5 3; 2)47 11 (mod 9), так как 47 – 11 = 36 = 9 4; 3)– 11 5 (mod 8), так как – 11 – 5 = 1 – 16 = 8 (–2); 4) 81 0 (mod 27), так как 81 – 0 = 81 = 27 3.

количество дней в году равно 365 = 1 (mod 7), за исключением високосных лет, в которых количество дней 366 = 2 (mod 7).

воскресенье = 0 понедельник = 1 вторник = 2 среда = 3 четверг = 4 пятница = 5 суббота = 6

март – первым месяцем, апрель – вторым, май – третьим и т. д., январь – одиннадцатым месяцем, февраль – двенадцатым месяцем предшествующего года

В юлианском календаре 1 год = 365 дням астрономический год в действительности равен 365,2422 дня.

григорианские правила для високосных лет. Годы столетий 1700, 1800, 1900, 2100, 2200, 2300,..., в которых количество столетий не делится на 4, не считаются високосными годами. Оставшиеся годы столетий 1600, 2000, 2400,... продолжают считаться високосными годами.

Предположим теперь, что нам задана дата: d- й день в m-м месяце (где m определяется так, как было указано выше), в году, равном N = c Y, где количество столетий, а У номер года в столетии.

День Пирл-Харбора (День нападения японского флота на американскую военную базу Пирл-Харбор, начало войны США и Японии), 7 декабря 1941 г. Здесь d = 7, m =10, с = 19, Y = 41, так что W = – 38 сравнимо 0 (mod 7). т. е. это было в воскресенье.

Пример. Каким днем недели будет 1 января 2000 года? Здесь d = l, m=11, с = 19, У = 99 и W = – 38 сравнимо 6 (mod 7); таким образом, первый день следующего столетия будет субботой.