Автор: Двойнина Екатерина Владимировна Руководитель: Лукина Екатерина Владимировна Регион: Белгородская область Название учебного заведения: МОУ СОШ 2 с углубленным изучением отдельных предметов Адрес учебного заведения: , г. Новый Оскол, ул. Оскольская, д. 7 Телефон: 8(47) учебного заведения: Контактный телефон (дом. и сотовый) автора: 8(47) Адрес автора: , г. Новый Оскол, ул. 1 Мая, д. 10. кв. 16 автора: Номинация: Геометрические миниатюры Тема работы: О построении касательной к окружности
Цель работы: рассмотрение способов построения к окружности касательной, проходящей через точку А, не принадлежащую данной окружности. К числу конструктивных задач в курсе планиметрии относится построение циркулем и линейкой касательной к данной окружности. Если построение касательной к окружности (О, R) в точке А сводится к построению перпендикуляра к прямой ОА в точке А, то более содержательной задачей является построение к окружности касательной, проходящей через точку А, не принадлежащую ей.
О ПОСТРОЕНИИ КАСАТЕЛЬНОЙ К ОКРУЖНОСТИ
1 способ Традиционное построение касательной циркулем и линейкой сводится к следующему: на отрезке ОА как на диаметре строят окружность 1, пересекающую данную окружность в точках В и С (см. рис.). Прямые АВ и АС искомые касательные. Указанное построение основано на том, что ОВА, вписанный в окружность 1 и опирающийся на диаметр, равен 90°.
2 способ Построим окружность 1 (А, |АО|) и пересечем ее окружностью 2 (О, 2R). Обозначим полученные точки пересечения через М и N (см. рис.). Отрезки ОМ и ON пересекают данную окружность в точках В и С. Прямые АВ и АС искомые касательные. Характерно, что в первых двух способах для построения касательных были предварительно найдены точки касания. Действительно, точка В является серединой основании ОМ равнобедренного треугольника ОАМ, поэтому АВ его высота, а значит, ОВА прямой. Отсюда следует, что АВ касательная к окружности.
3 способ Проводим окружность 1 (А, |АО|) (см. рис.). Строим в точке Р= [АО] касательную t к окружности, пересекающую 1 в точках М и N. Отрезки ОМ и ON пересекают в точках В и С; прямые АВ и АС искомые касательные. Действительно, треугольники РОМ и ВОА конгруэнтны, так как у них общий угол при вершине О, заключенный между соответственно конгруэнтными сторонами (|OР| = |OВ|, |ОМ| = |ОА|). Но треугольник ОРМ прямоугольный, ( P = 90°). поэтому B = 90°, и, следовательно, прямая АВ касательная к окружности.конгруэнтными Построение касательной к окружности, содержащееся в третьей книге «Начал» Евклида (предложение 17).
4 способ Чтобы сделать построение, проведем окружность 2 (N, |АМ|). Одна из этих двух точек пересечения 2 и 1 и есть точка Q, а именно та, для которой направленный угол МОА равен направленному углу NOQ. Построение второй касательной к окружности сводится к выполнению поворота, при котором точка N переходит в точку А. В этом случае точка М переходит в точку S и прямая AS вторая касательная. Построение касательной к окружности без предварительного построения точек касания. Проведем окружность 1 (А, |АО|). Касательная к окружности в произвольной точке Р 0 пересекает окружность 1 в точках М и N (см. рис.). Поворот, при котором М А, отображает точку N на точку Q. Прямая AQ искомая касательная. Действительно, поворот отображает касательную к на касательную к ((MN) (AQ)).
5 способ Строим последовательно окружность 1 (А, |АО|), касательную к окружности в произвольной точке Р 0, пересекающую 1 в точках M и N, и окружность 2 (А, |MN|), пересекающую 1 в точках Р и Q (см. рис.). Прямые АР и AQ искомые касательные. Действительно, хорды АР и AQ конгруэнтны хорде MN, поэтому прямые АР и AQ находятся от центра О на таком же расстоянии R, как и прямая MN. Но в таком случае прямые АР и AQ касательные к окружности. Следующий способ сводится к использованию свойств хорд окружности, равноудаленных от ее центра, эти хорды конгруэнтны.
6 способ Проведем прямую ОА, пересекающую окружность в точках Р и Q (см. рис.). Далее, через точку А проведем произвольную прямую, пересекающую в точках N и М. Пусть прямые РМ и QN пересекаются в точке К, а прямые PN и QM в точке L. Прямая KL пересекает окружность в точках В и С. Прямые АВ и АС искомые касательные. Докажем это. Касательную к окружности в данной на ней точке А можно построить одной линейкой. Также одной линейкой можно построить касательные к окружности, если данная точка А не принадлежит окружности. Эти построения можно выполнить одной линейкой и тогда, когда центр окружности не задан. Рассмотрим случай, когда центр О окружности задан, и задана точка А.
6 способ (продолжение) Заметим, что прямая KL перпендикулярна PQ. В самом деле, в треугольнике PQL отрезки РМ и QN высоты, пересекающиеся в точке К, поэтому KL содержит третью высоту, и, следовательно, KL PQ. Если KL PQ=D, то |OD||OA|=R 2. Действительно, пусть DPK = ά, DQK = β. Тогда |PD|:|DQ| = ctg ά : ctg β (1) Построим перпендикуляр к прямой АР в точке A, пересекающий прямую РМ в точке S. Очевидно, что |PA| = |AS|ctg ά и |AQ| = |AS|ctg AQS. Так как AQS = AMS=180° - PMN = PQN = β, то |AQ| = |AS|ctg β. Поэтому |PA|:|AQ| = ctg ά : ctg β. (2)
Сопоставляя (1) и (2), получаем |PD|:|PA| = |DQ|: |AQ|, или (|OD| + R)(|OA| - R) = (R - |OD|)(|OA|+R). После раскрытия скобок и упрощений находим, что |OD||OA|=R 2. (3) Из соотношения (3) следует, что |OD|:R = R:|OA|, т. е. треугольники ODB и ОВА подобны. Поскольку ODB = 90°, то OBA = 90°. Следовательно, прямая АВ - искомая касательная. 6 способ (продолжение) Предложенное построение выполняется только линейкой. Чтобы построить касательные AB и AC, потребовалось провести 9 прямых: AO, AM, PM, QN, KL, QM, PN, AB, AC.
7 способ Способ построения касательной только циркулем, т. е. без привлечения линейки построим точки касания В и С по заданным окружности (О, R) и точке А. Проведем окружность 1 (А, |ОА|) см. (рис.). Далее найдем раствор циркуля, равный 2R, для чего выберем на окружности точку S и отложим три дуги, содержащие по 60 дуговых градусов: SP = PQ = QT = 60°. Точки S и Т диаметрально противоположны. Строим окружность (О, |ST|), пересекающую 1 в точках М и N. Теперь остается одним циркулем построить середину отрезка МО.
7 способ (продолжение) Для этого строим окружности 2 (O, |ОM|) и 3 (M, |MO|), а затем для точек М и О находим на них диаметрально противоположные точки U и V (см. рис.). Далее строим окружность 4 (U, |UM|), пересекающую 3 в точках К и L. Наконец, строим окружности 5 (K, |KM|) и 6 (L, |LM|), пересекающиеся в искомой точке В середине MО. Действительно, треугольники КМВ и UMK равнобедренные и подобные. Поэтому из того, что |КМ| = ½ |MU|, следует, что |MB| = ½|MK| = ½ R. Итак, точка В искомая точка касания. Аналогично находим точку касания С.
Если на отрезке AQ как на диаметре построить окружность 1 и пересечь ее касательной l, проведенной в точке Р к, то получим точки М и N. Очевидно, |АМ| 2 =|АР||AQ|. Поэтому окружность 2 (А, |АМ|) пересечет в точках В и С касания искомых касательных АВ и АС. 8 способ Еще одно построение касательной к окружности основано на следующем свойстве отрезков секущей, проведенной к окружности( см. рис.): |AB| 2 =|AP||AQ|
Так, строим окружность (А, |АР|), пересекающую (АР) в точке D, затем строим окружность 2 на диаметре QD и пересекаем ее перпендикуляром к прямой АР в точке А. Для полученных точек М и N имеем: |AM| 2 =|AN| 2 =|AD||AQ| = |AP||AQ|, поэтому окружность 3 (А, |AМ|) пересекает в искомых точках касания В и С. 8 способ (продолжение) Другой вариант построения касательной в данном случае основан на ином способе построения отрезка АВ по отрезкам АР и AQ (см. рис.).
Построение касательной можно выполнить просто, если не связывать его непосредственно с данной окружностью (О, R) и данной точкой А. Если В есть точка касания, то треугольник ОАВ прямоугольный, причем известно, что |ОВ|=R, |OA|=d, В=90°. Следовательно, задача сводится к построению прямоугольного треугольника по катету и гипотенузе. Катет АВ построенного треугольника позволяет строить окружность 1 (А, |АВ|), пере секающую в искомых точках В и С. 9 способ
Пусть искомая касательная АВ пересекает касательную l к (О, R) в ее точке Q в некоторой точке М (см.рис.). Очевидно, [МО) биссектриса угла QMA. Биссектриса угла, смежного с QMA, пересекает прямую АР в точке S, для которой |QS| : |SA| = |QO|:|OA|. Построив точку S, можно построить окружность 1 на диаметре OS. Поскольку SMO прямой, то 1 пересечет l в точках М и N, таких, что (AM) и (AN) искомые касательные. 10 способ Приведем еще одно построение, основанное на свойствах биссектрис треугольника.
Наиболее простое построение точки S такое: откладываем на l два конгруэнтных отрезка QK и QL (рис. 12); находим точку D пересечения прямой КО с перпендикуляром к прямой ОА в точке А; строим прямую DL, пересекающую прямую ОА в точке S. 10 способ (продолжение)
Спасибо за внимание!
Список использованной литературы Скопец З. А. «Геометрические миниатюры» / Сост. Г. Д. Глейзер. – М.: Просвещение, – 224 с.: ил.
Конгруэнтный соразмерный, совпадающий, совмещаемый; матем. о геометрических объектах при наложении на другой объект полностью совпадающий с ним соответствующими углами, отрезками и т. п. В евклидовой геометрии две фигуры называются конгруэнтными, если одна из них может быть переведена в другую сдвигом, вращением и зеркальным отображением.