Еще никогда мы не жили в такой геометрический период. Все вокруг ГЕОМЕТРИЯ. Ле Корбюзье Работу выполнили: Зарубина А. А. – учитель математики, I категории Агеева Л. Н. – учитель физики

Проблемный вопрос Можно ли выразить все закономерности мира через числа?

Гипотеза В се, что способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии является форма, в основе построения которой лежат сочетания симметрии и золотого сечения

Древнейшим литературным памятником, в котором встречается «Золотое сечение", являются "Начала" Евклида (3 в. до н. э.). Евклид

Что такое «Золотое сечение»? Это деление отрезка на две части так, чтобы меньшая относилась к большей, как большая ко всему отрезку. а:b=b:с с ba

Построение «золотого сечения» по Евклиду Геометрически «золотое сечение»отрезка AB можно построить следующим образом: восстановить в точке B перпендикуляр к AB ; на нем отложить BD=1/2AB; соединить точки A и D, отложить DE=BD, AC = AE. Точка C является искомой, она производит «золотое сечение» отрезка AB.

Золотой треугольник

Золотой пятиугольник

Пентаграмма Правильный пятиугольник называется «Пентагон», а звездчатый пятиугольник, образованный его диагоналями, - «пентаграмма» (от греческих слов «pentagrammon», «pente» пять и «gramma» линия). В пентаграмме много различных отношений золотой пропорции, например отношение диагонали пентагона к его стороне равно золотой пропорции, точки пересечения диагоналей всегда являются точками золотого сечения. Пифагорейцы выбрали пятиконечную звезду в качестве талисмана, она считалась символом здоровья и служила опознавательным знаком.

Понятие о Золотом сечении ввёл в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик. Он полагал, что в основу мирового порядка Бог положил именно число, поэтому пифагорейцы в числах и их отношениях искали магическое, сверхъестественное. И в геометрии не обошлось без мистики. Особо следует отметить любовь пифагорейцев к звёздчатому пятиугольнику, составленному из диагоналей правильного пятиугольника. Пифагор

Числа Фибоначчи Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих = 5; = 8; = 13, = 21; = 34 и т.д., а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так, 21 : 34 = 0,617, а 34 : 55 = 0,618. Это отношение обозначается символом Ф. Только это отношение – 0,618 : 0,382 – дает непрерывное деление отрезка прямой в золотой пропорции, увеличение его или уменьшение до бесконечности, когда меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему. «Фи»=1,618… Именно это число и названо божественной пропорцией.

Символ совершенства Все сегменты пентаграммы находятся в отношениях, связанных с золотой пропорцией и числом «фи»

Окно кафедрального собора в Амьене

Пентаграмма Магов Возрождения

"Символ Бафомета" Лавея

Пентагон

Древнегреческая бронзовая монета с пентаграммой. 4-3 вв. до нашей эры. (Pitane, Mysia) Буквы вокруг пентаграммы - PITAN

Вы никогда не разрезали яблоко по экватору, т.е. поперек? Разрежьте. И тогда становится совершенно очевидным, откуда произошел пентакл

Старые мастера любили окутывать свои работы завесой тайны, и нередко замечательная пропорция оказывается путеводной нитью, позволяющей вторгнуться в богатый мир творческих замыслов художника. Однако распознать "Золотое сечение" бывает порой очень непросто. Золотое сечение в живописи Картина или фотография имеет определенные точки, невольно приковывающие наше внимание, так называемые зрительные центры. При этом абсолютно неважно, какой формат они имеют - горизонтальный или вертикальный. Таких точек всего четыре, и расположены они на расстоянии 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости.

Холст на котором написана картина, имеет форму золотого прямоугольника, стороны которого находятся в золотом отношении. Сальвадор Дали «Тайная Вечеря»

И.И. Шишкин «Корабельная роща»

На этой знаменитой картине И. И. Шишкина с очевидностью просматриваются мотивы золотого сечения. Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане) делит длину картины по золотому сечению. Справа от сосны – освещенный солнцем пригорок. Он делит по золотому сечению правую часть картины по горизонтали. Наличие в картине ярких вертикалей и горизонталей, делящих ее в отношении золотого сечения, придает ей характер уравновешенности и спокойствия, в соответствии с замыслом художника. И.И. Шишкин «Корабельная роща»

Пьетро делла Франческа "Бичевание Христа"

На картине крупного итальянского живописца и математика XV века Пьетро делла Франческа "Бичевание Христа" в мраморной плите пола, украшающей портик, обнаруживается сложный геометрический узор. Представив этот чертеж как вид сверху, получим прямоугольник, построенный с использованием "Золотого сечения": перед глазами зрителей предстаёт замечательная восьмиугольная звезда, которая обладает как художественной красотой так и математическим совершенством. Пьетро делла Франческа "Бичевание Христа"

"Афинская школа" Рафаэль

Рафаэль не был ученым-математиком, но, подобно многим художникам той эпохи, обладал немалыми познаниями в геометрии. В знаменитой фреске Афинская школа, где в храме науки предстоит общество великих философов древности, наше внимание привлекает группа Эвклида - крупнейшего древнегреческого математика, разбирающего сложный чертеж. Хитроумная комбинация двух треугольников также построена в соответствии с пропорцией золотого сечения: она может быть вписана в прямоугольник с соотношением сторон 5/8. Этот чертеж удивительно легко вставляется в верхний участок архитектуры. Верхний угол треугольника упирается в замковый камень арки на ближнем к зрителю участке, нижний - в точку схода перспектив, а боковой участок обозначает пропорции пространственного разрыва между двумя частями арок. "Афинская школа" Рафаэль

Фра Карневалли "Ведение святой девы..."

Леонардо да Винчи «Мона Лиза» Леонардо да Винчи говорил: «Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды».

Портрет Моно Лизы (Джоконда) привлекает тем, что композиция рисунка построена на "золотых треугольниках", точнее на треугольниках, являющихся кусками правильного звездчатого пятиугольника. Зрачок левого глаза, через который проходит вертикальная ось полотна, находится на пересечении двух биссектрис верхнего золотого треугольника, которые с одной стороны, делят пополам углы при основании золотого треугольника, а с другой стороны, в точках пересечения с бедрами золотого треугольника делят их в пропорции Золотого сечения Портрет Моно Лизы (Джоконда) привлекает тем, что композиция рисунка построена на "золотых треугольниках", точнее на треугольниках, являющихся кусками правильного звездчатого пятиугольника. Зрачок левого глаза, через который проходит вертикальная ось полотна, находится на пересечении двух биссектрис верхнего золотого треугольника, которые с одной стороны, делят пополам углы при основании золотого треугольника, а с другой стороны, в точках пересечения с бедрами золотого треугольника делят их в пропорции Золотого сечения Хитроумная комбинация двух треугольников построена в соответствии с пропорцией золотого сечения. Она вписана в прямоугольник с соотношением сторон 5:8. Леонардо да Винчи «Мона Лиза»

Золотые прямоугольники в фотографиях Наиболее важный элемент изображения, располагается на расстоянии примерно 1/3 по высоте или ширине кадра от его границы. Поделите кадр на девять одинаковых квадратов. Точки пересечения линий и есть золотое сечение. Наиболее важный элемент изображения, располагается на расстоянии примерно 1/3 по высоте или ширине кадра от его границы. Поделите кадр на девять одинаковых квадратов. Точки пересечения линий и есть золотое сечение.

«Золотое сечение» в архитектуре В архитектуре, как и в живописи, все зависит от положения наблюдателя, и что, если некоторые пропорции в здании с одной стороны кажутся образующими «золотое сечение», то с других точек зрения они будут выглядеть иначе. «Золотое сечение» дает наиболее спокойное соотношение размеров тех или иных длин. «Удовлетворение, которое мы испытываем, глядя на прекрасное произведение искусства, проистекает оттого, что в нем соблюдены правила и мера, ибо удовольствие в нас вызывает единственно лишь пропорции. Если же они отсутствуют, то, сколько бы мы ни украшали здание, эти наружные украшения не заменят нам внутреннюю красоту и привлекательность…» Французский зодчий 17 века Франсуа Блондель

Парфенон имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17 по длинным. Выступы сделаны целиком из квадратов пентилейского мрамора. Отношение высоты здания к его длине равно 0,618. Если произвести деление Парфенона по «золотому сечению», то получим те или иные выступы фасада Парфенон (V в. до н. э.)

М. Казаков Здание сената в Кремле

Церковь Покрова на Нерли (1165 год)

Смольный собор Санкт-Петербург

Собор Парижской Богоматери (Нотр-Дам)

Золотое сечение в скульптуре Известно, что еще в древности основу скульптуры составляла теория пропорций. Отношения частей человеческого тела связывались с формулой золотого сечения. Пропорции «золотого сечения» создают впечатление гармонии красоты, поэтому скульпторы использовали их в своих произведениях. Великий древнегреческий скульптор Фидий часто использовал «золотое сечение» в своих произведениях. Самыми знаменитыми из них были статуя Зевса Олимпийского (которая считалась одним из чудес света) и Афины Парфенос

Зевс Олимпийский Афина Парфенос

Изящно выполненный из бронзы торжествующий победитель, поставивший ногу на отсеченную голову поверженного Голиафа, - стал первым со времен античности скульптурным изображением свободно стоящей человеческой фигуры в натуральную величину. Донателло(ок ) "Давид"(1430-е гг.)

Греческий скульптор Леохар создал знаменитую статую Аполлона Бельведерского воплотившую представление древних греков о красоте. Если высоту статуи разделить в отношении золотого сечения и то же самое проделать с каждой частью, то точки деления придутся на талию, каленную чашечку, адамово яблоко. Та же закономерность распространяется в отдельности на лицо, руку, кисть Леохар Аполлона Бельведерского

Последовательно отсекая от золотых прямоугольников квадраты до бесконечности, каждый раз соединяя противоположные точки четвертью окружности, мы получим довольно изящную кривую. Первым внимание на неё обратил древнегреческий ученый Архимед, имя которого она и носит. Он изучал её и вывел уравнение этой спирали. Золотое сечение в природе Спираль Архимеда

Семена подсолнечника располагаются по спиралям, против часовой стрелки. Соотношение диаметра каждой из спиралей к диаметру следующей равно числу «фи»

У головоногого моллюска, или наутилуса, соотношение диаметра каждого витка спирали к следующему равно числу «фи»

Все сведения о физиологических особенностях живых существ хранятся в микроскопической молекуле ДНК, строение которой также содержит в себе закон золотой пропорции. Молекула ДНК состоит из двух вертикально переплетённых между собой спиралей. Длина каждой из этих спиралей составляет 34 ангстрема, ширина 21 ангстрем (один ангстрем-одна с томиллионная доля сантиметра)

Если в любом на свете улье разделить число женских особей на число мужских, то всегда получим одно и то же число – число «фи».

Золотое сечение присутствует в строении всех кристаллов, но большинство кристаллов микроскопически малы. Однако снежинки, также представляющие собой водные кристаллы, вполне доступны нашему взору. Все изысканной красоты фигуры, которые образуют снежинки, все оси, окружности и геометрические фигуры в снежинках также всегда без исключений построены по совершенной чёткой формуле золотого сечения.

Во Вселенной все известные человечеству галактики и все тела в них существуют в форме спирали, соответствующей формуле золотого сечения.

Золотое сечение в строении тела человека Если принять центром человеческого тела точку пупа, а расстояние между ступнёй человека и точкой пупа принять за единицу измерения, то рост человека эквивалентен числу 1,618. Расстояние от кончиков пальца до запястья и от запястья до локтя равно 1 : 1,618. Расстояние от кончика подбородка до кончика верхней губы и от кончика верхней губы до ноздрей равно 1 : 1,618.

Критерии совершенной красоты Аполлон Бельведерский, ок в. до н. э. Отношение высоты лица к его ширине равно 1 : 1,618. Отношение высоты лица к расстоянию от кончика подбородка до центральной точки пересечения губ равно 1 : 1,618. Отношение ширины рта к ширине носа равно 1: 1,618. Расстояние между зрачками к расстоянию между бровями равно 1 : 1,618. Следует отметить, что точные соответствия золотому сечению существуют только у людей с совершенной красотой.

Как проверить, пропорционально ли вы сложены 1. Измерьте свой рост 2. Измерьте расстояние от пят до линии талии 3. Разделите Ваш рост на это расстояние Если Вы получили число, близкое к числу «фи», (1,618) вы можете считать свою фигуру идеальной.

«Золотое сечение» в литературных произведениях Кульминационные моменты в музыкальных и литературных произведениях приходятся на точку «золотого сечения» В повести А.С. Пушкина «Пиковая дама» 853 строки. Кульминационный момент- это смерть графини. Ему соответствует 535 строка. 835 : 535 = 1,6 – это точка «золотого сечения»

Ещё в 1925 году искусствовед Л. Л. Сабанеев, проанализировав 1770 музыкальных произведений 42 авторов, показал, что подавляющее большинство выдающихся сочинений можно легко разделить на части, которые находятся между собой в отношении золотого сечения. Причём, чем талантливее композитор, тем в большем количестве его произведений найдено золотых сечений. У Аренского, Бетховена, Бородина, Гайдна, Моцарта, Скрябина, Шопена и Шуберта золотые сечения найдены в 90% всех произведений. По мнению Сабанеева, золотое сечение приводит к впечатлению особой стройности музыкального сочинения. Работа Сабанеева дала толчок другим поискам теории «всеобщей гармонии», в которой объективная красота музыкального произведения обнаруживала бы связь с определёнными законами пропорциональной оси. «Золотое сечение» в музыкальных произведениях

Выводы 1) Примеры «золотого сечения» сопровождают нас каждый день, но мы недостаточно внимательны, чтобы их заметить 2 ) Геометрия и красота – два неразделимых понятия, которые помогают нам увидеть всю прелесть окружающего мира, понять принцип существования окружающего нас, который раньше нам был не известен 3) Используя принципы золотого сечения, можно воспитать в себе чувство прекрасного

Используемые ресурсы

Данная презентация предложена в качестве развивающего компонента на уроках математики, физики, истории, литературы, информатики, биологии, во внеклассной работе, а так же в рамках предметных недель. Цель данной презентации: изучить, как используется «золотое сечение» в математике, скульптуре, живописи, архитектуре, природе; расширить общекультурный кругозор учащихся, представления о сферах применения математических знаний; формировать знания и умения, необходимые для применения в практической деятельности, изучения смежных дисциплин; формировать представление об идеях и методах математики как универсального языка науки и техники, средства моделирования явлений и процессов; развивать геометрическое мышление с помощью методов геометрической наглядности.

Наш адрес: Донецкая область Ясиноватский район п. Пески ул. Ленина, д. 31