1 Тема 4 Спектральное представление сигналов Спек 4 тральная (частотная) форма представления сигналов использует разложение сигнальных функций на периодические составляющие. Понятие собственных функций. Удобство использования частотного представления сигналов заключается в том, что гармонические функции являются собственными функциями операций переноса, интегрирования, дифференцирования и других линейных операций, инвариантных по координатам. Они проходят через линейные системы, не изменяя формы, а изменяют лишь фазу и амплитуду. Допустим, что исходная функция является линейной комбинацией функций синуса и косинуса: s(х) = А sin(х)+B cos(х). Осуществим произвольный сдвиг функции по аргументу на величину h. При этом получаем: s(х+h) = C sin(х)+D cos(х), C = А cos(h) – B sin(h), D = A sin(h) + B cos(h), где коэффициенты C и D, как и в исходном выражении коэффициенты А и В, не зависят от аргумента, при этом C2+D2 = А2+В2.

2 Тема 3 Спектральное представление сигналов Ряды Фурье. Разложению в ряды Фурье подвергаются периодические сигналы. Периодическую функцию любой формы, заданную на интервале одного периода Т = b-a и удовлетворяющую на этом интервале условиям Дирехле (ограниченная, кусочно-непрерывная, с конечным числом разрывов 1-го рода), можно представить в виде ряда Фурье: s(t) = Sn exp(jnΔωt), Sn = S(n Δω), Δω = 2p/T, где весовые коэффициенты Sn ряда определяются по формуле: Sn = (1/T) s(t) exp(-jnΔω t) dt. Ряд Фурье представляет собой ансамбль комплексных экспонент exp(jnΔω t) с частотами, образующими арифметическую прогрессию.

3 Тема 3 Спектральное представление сигналов Подынтегральную функцию экспоненты в выражении с использованием тождества Эйлера exp(±jwt) = cos(wt) ± j sin(wt) можно разложить на косинусную и синусную составляющие и выразить комплексный спектр в виде действительной и мнимой части: Sn = (1/T)s(t) [cos(n Δω t) - j sin(n Δω t)] dt = Аn - jBn. An A(n Δω ) = (1/T)s(t) cos(n Δω t) dt, Bn B(n Δω ) = (1/T) s(t) sin(n Δω t) dt. На рисунке приведен пример периодического сигнала (прямоугольный импульс на интервале (1-3.3), повторяющийся с периодом Т=40) и форма действительной и мнимой части его спектра.

4 Тема 3 Спектральное представление сигналов Комплексные числа дискретной функции могут быть представлены в виде модулей и аргументов комплексной экспоненты, что дает следующую форму записи комплексного спектра: Sn = Rn exp(jjn), Rn2 R2(n Δω ) = A2(n Δω )+B2(n Δω ), jn j(n Δω ) = arctg(-B(n Δω )/A(n Δω )). Модуль спектра R(n Δω ) называют двусторонним спектром амплитуд или АЧХ - амплитудно-частотной характеристикой сигнала, а аргумент спектра (последовательность фазовых углов j(n Δω )) - двусторонним спектром фаз или ФЧХ – фазово-частотной характеристикой. Спектр амплитуд всегда представляет собой четную функцию: R(nDw) = R(-nDw), а спектр фаз нечетную: j(n Δω ) = -j(-n Δω ).

5 Тема 3 Спектральное представление сигналов Если функция s(t) является четной, то все значения B(n Δω ) равны нулю, т.к. четные функции ортогональны синусным гармоникам и подынтегральное произведение s(t)·sin(nDwt) дает нулевой интеграл. Следовательно, спектр функции будет представлен только вещественными коэффициентами. Напротив, при нечетности функции s(t) обнуляются все значения коэффициентов А(nDw) (нечетные функции ортогональным косинусным гармоникам) и спектр является чисто мнимым.

6 Тема 3 Спектральное представление сигналов Тригонометрическая форма рядов Фурье.

7 Тема 3 Спектральное представление сигналов

8 Интеграл Фурье. Спектры непериодических сигналов конечной длительности (финитных), зарегистрированных на интервале Т, могут быть получены из уравнений для рядов Фурье как предельные значения функций суммирования при расширении периода Т до бесконечности. s(t) = (1/2π) S(w) exp(jwt) dw, обратное преобразование Фурье S(w) = s(t) exp(-jwt) dt. прямое преобразование Фурье

9 Тема 3 Спектральное представление сигналов Спектральная функция S(w) представляет собой комплексную спектральную плотность сигнала, непрерывную на частотном интервале от - до. Если s(t) – вещественная функция, то спектр этой функции является сопряжено симметричным относительно нулевой частоты S(-ω) = S*(ω) и содержит четную действительную и нечетную мнимую части: S(ω) = A(ω) - jB(ω), A(ω) = s(t)cos(ωt) dt, B(ω) = s(t)sin(ωt) dt. Как и в случае рядов Фурье, вещественные четные функции имеют вещественный четный спектр, представленный только спектральной функцией A(w), а вещественные нечетные – нечетный и только мнимый спектр, представленный спектральной функцией B(w).

10 Тема 3 Спектральное представление сигналов Как правило, графическое отображение спектральных функций выполняется в виде модуля и аргумента спектральной функции (амплитудного и фазового спектра), приведенных на рисунке. Как и в случае рядов Фурье, вещественные четные функции имеют вещественный четный спектр, представленный только спектральной функцией A(w), а вещественные нечетные – нечетный и только мнимый спектр, представленный спектральной функцией B(w). Пример спектральной функции S(f):