Лекция 7 План лекции 7 Усреднение периодических функций Теорема Парсеваля Интегральное преобразование Фурье Свойства преобразования Фурье Связь между интегралом. - презентация

1 лекция 7 План лекции 7 Усреднение периодических функций Теорема Парсеваля Интегральное преобразование Фурье Свойства преобразования Фурье Связь между интегралом и рядом Фурье Теорема отсчетов

2 лекция 7 Усреднение периодических функций Определение. Среднее значение функции на бесконечном временном интервале: Для периодического сигнала:

3 лекция 7 Экспериментальное определение коэффициентов Фурье N-й коэффициент Фурье: h(t) X X x(t) y c (t) y s (t) h(t) T0T0 t 1/T 0

4 лекция 7 Теорема Парсеваля Средняя мощность периодического колебания:

5 лекция 7 Теорема Парсеваля Формулировка теоремы Парсеваля для вещественных периодических функций: средняя мощность сигнала равна сумме квадратов коэффициентов Фурье (гармоник сигнала)

6 лекция 7 Интегральное преобразование Фурье x(t) t -T 0 /2T 0 /2 x(t) t -T 1 /2T 1 /2 x(t) t

7 лекция 7 Интегральное преобразование Фурье Исходные соотношения: Запишем спектральные коэффициенты в виде:

8 лекция 7 Интегральное преобразование Фурье Перепишем исходное разложение сигнала: устремим период к бесконечности, сохраняя постоянным, в результате чего периодическая функция x p (t) преобразуется в непериодическую и формально запишется Для разложения сигнала получим интеграл

9 лекция 7 Теорема Фурье Если определено преобразование Фурье непериодической функции в виде то сама функция может быть представлена с помощью интеграла Фурье

10 лекция 7 Свойство свертки и преобразование Фурье - это собственная функция устойчивой ЛПП- системы Если на входе То на выходе: H(f)

11 лекция 7 Свойство свертки и преобразование Фурье преобразование Фурье выхода связано с преобразованием Фурье входа следующим соотношением: Поскольку вход и выход можно описать соотношением то можно сформулировать с войство свертки: преобразование Фурье свертки двух функций является произведением их преобразований Фурье, т.е.

12 лекция 7 Свойство произведения преобразования Фурье Обратным к свойству свертки является свойство произведения: преобразование Фурье произведения двух функций является сверткой их преобразований Фурье

13 лекция 7 Свойства преобразования Фурье СвойствоВременная областьЧастотная область Сопряженная симметрияx(t) - вещественная функция (Im[x(t)]=0) X(f)=X*(-f) Re{X(f)}=Re{X(-f)} Im{X(f)}= - Im{X(-f)} Четная симметрияx(t) - вещественная четная функция x(t)=x(-t) X(f)=X(-f) Im{X(f)}=0 Нечетная симметрияx(t) - вещественная нечетная функция x(-t)= -x(t) X(f)= -X(-f) Re{X(f)}=0 Линейностьax 1 (t)+bx 2 (t)aX 1 (f)+bX 2 (f) Изменение масштабаx(at)

14 лекция 7 Свойства преобразования Фурье СвойствоВременная область Частотная область Временная задержкаx(t-t 0 ) exp(-j2 ft 0 )X(f) Умножение на exp(j2 f 0 t) exp(-j2 f 0 t)x(t) X(f-f 0 ) Дифференцированиеdx(t)/dt j2 fX(f) Интегрирование Умножение на ttx(t) СверткаW(f)V(f) Произведениеw(t)v(t)

15 лекция 7 Дискретизация сигналов Последовательность единичных импульсов и ее спектр -F 0 F 2F 3F f U(f) 1/T б) t u(t) -3T -2T -T 0 T 2T 3T 1 a)

16 лекция 7 Дискретизация сигналов Преобразование Фурье последовательности единичных импульсов

17 лекция 7 Дискретизация сигналов Спектр бесконечной последовательности импульсов запишется: Таким образом, спектр сигнала в виде единичных импульсов является также импульсной последовательностью

18 лекция 7 Связь между рядом и интегралом Фурье Любую периодическую функцию x(t) можно представить в виде свертки x(t)=x T (t)*u(t) где На основании свойства преобразования Фурье запишем: X(f)=X T (f)U(f)

19 лекция 7 Представление периодического сигнала и спектра 0Т-Т 0 Т 2Т t-Т 0 Т tt x T (t)u(t)x(t) t 0-2F -F 0 F 2F f 0 F 2F ff X T (f)U(f)X(f) А) Б)

20 лекция 7 Связь между интегралом и рядом Фурье Используя обратное преобразование Фурье, можно восстановить сигнал Следовательно, периодическую функцию можно представить в виде дискретной суммы экспонент, умноженных на коэффициенты, которые определяются соотношением

21 лекция 7 Связь между интегралом и рядом Фурье Если обозначить X(n)=X T (n/T)/T, то получим соотношение Таким образом, ряд Фурье является частным случаем интегрального преобразования Фурье

22 лекция 7 Спектр дискретного сигнала Дискретные отсчеты сигнала могут быть получены в виде Тогда спектр дискретного сигнала запишется В общем случае дискретизация в одной области (например, временной) приводит к периодическому продолжению в области преобразования (например, частотной)

23 лекция 7 Спектр дискретного сигнала г) 0 t x(t) t u(t) -2T -T 0 T 2T 3T a) б) в) -2T -T 0 T 2T 3T t x(n)=x(t)u(nT) -Fo 0 Fo f f U(f) F=1 / T-F X(f) X u (f)=X(f)*U(f) F -F 0 0 F 0 F f

24 лекция 7 Восстановление сигнала после дискретизации a) -1/F 1/F t H(f) -F/2 0 F/2 f h(t)=sin( Ft)/ t Для того, чтобы восстановить исходный временной сигнал по его отсчетам, можно пропустить дискретизированный сигнал через идеальный фильтр нижних частот с прямоугольной частотной характеристикой и импульсной характеристикой вида

25 лекция 7 Теорема отсчетов Котельникова Теорема отсчетов: сигнал с ограниченным спектром при |f| > F 0 может быть точно восстановлен с помощью интерполяционной формулы по бесконечному числу известных временных отсчетов, взятых с частотой Минимальная частота отсчетов при которой сигнал может быть восстановлен без искажений получила название частоты отсчетов Найквиста (или Котельникова) по имени исследователя, благодаря усилиям которого теорема отсчетов стала важнейшим положением теории связи и цифровой обработки сигналов