ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ ЛЕКЦИЯ 1,2 Лектор: Поздняков Станислав Александрович, кандидат технических наук, доцент

Основы математической обработки информации, 2012 Структура дисциплины Объем трудоемкости: 2 зачетных единицы (72 часа, из них 36 часов аудиторной нагрузки, 36 часов самостоятельной работы) Лекций: 8 (16 часов), практик 9 (18 часов), зачет (2 часа) Цель дисциплины: Формирование знаний, умений и навыков, связанных с особенностями математических способов представления и обработки информации как базы для развития универсальных компетенций и основы для развития профессиональных компетенций.

Основы математической обработки информации, 2012 Задачи дисциплины сформировать у будущих выпускников систему знаний и умений, связанных с представлением информации с помощью математических средств, привить соответствующий понятийный аппарат; актуализировать межпредметные знания, способствующие пониманию особенностей представления и обработки информации средствами математики; ознакомить студента с основными математическими моделями и типичными для соответствующей предметной области задачами их использования;

Основы математической обработки информации, 2012 Задачи дисциплины сформировать систему математических знаний и умений, необходимых для понимания основ процесса математического моделирования и статистической обработки информации в профессиональной области; обеспечить условия для активизации познавательной деятельности студентов и формирования у них опыта математической деятельности в ходе решения прикладных задач, специфических для области их профессиональной деятельности; стимулировать самостоятельную, деятельность по освоению содержания дисциплины и формированию необходимых компетенций.

Основы математической обработки информации, 2012 Лекции 1, 2 «Математика в современном мире: основные разделы теории и методы математики». До начала 17 в. математика - преимущественно наука о числах, скалярных величинах и сравнительно простых геометрических фигурах; изучаемые ею величины (длины, площади, объемы и пр.) рассматриваются как постоянные. К этому периоду относится возникновение арифметики, геометрии, позднее - алгебры и тригонометрии и некоторых частных приемов математического анализа. Областью применения математики являлись: счет, торговля, землемерные работы, астрономия, отчасти архитектура.

Основы математической обработки информации, 2012 Общие сведения о математике В 17 и 18 вв. потребности бурно развивавшегося естествознания и техники (мореплавания, астрономии, баллистики, гидравлики и т.д.) привели к введению в математику идей движения и изменения, прежде всего в форме переменных величин и функциональной зависимости между ними. Это повлекло за собой создание аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчислений. В 18 в. возникают и развиваются теория дифференциальных уравнений, дифференциальная геометрия и т.д. В вв. математика поднимается на новые ступени абстракции.

Основы математической обработки информации, 2012 Общие сведения о математике Обычные величины и числа оказываются лишь частными случаями объектов, изучаемых в современной алгебре; геометрия переходит к исследованию "пространств", весьма частным случаем которых является евклидово пространство. Развиваются новые дисциплины: теория функций комплексного переменного, теория групп, проективная геометрия, неевклидова геометрия, теория множеств, математическая логика, функциональный анализ и др. Практическое освоение результатов теоретического математического исследования требует получения ответа на поставленную задачу в числовой форме.

Основы математической обработки информации, 2012 Общие сведения о математике В связи с этим в вв. численные методы математики вырастают в самостоятельную ее ветвь - вычислительную математику. Стремление упростить и ускорить решение ряда трудоемких вычислительных задач привело к созданию вычислительных машин. Потребности развития самой математики, "математизация" различных областей науки, проникновение математических методов во многие сферы практической деятельности, привели к появлению целого ряда новых математических дисциплин, как например, теория игр, теория информации, теория графов, дискретная математика, теория оптимального управления.

Основы математической обработки информации, 2012 Математика Это область человеческого знания, изучающая математические модели, отражающие объективные свойства и связи. "Замечательно, - пишет В.А. Успенский, - что хотя математическая модель создается человеческим разумом, она, будучи создана, может стать предметом объективного изучения. Познавая ее свойства, мы тем самым познаем и свойства отраженной моделью реальности" Кроме того, математика дает удобные способы описания самых разнообразных явлений реального мира и тем самым выполняет роль языка науки. Наконец, математика дает людям методы изучения и познания окружающего мира, методы исследования как теоретических, так и практических проблем.

Основы математической обработки информации, 2012 Определение Математика (греч. mathematike, от mathema - знание, наука) наука, в которой изучаются пространственные формы и количественные отношения. Современное понятие математики - наука о математических структурах (множествах, между элементами которых определены некоторые отношения).

Основы математической обработки информации, 2012 «О МАТЕМАТИКЕ» "Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира" (Ф. Энгельс). "Математика - наука о величинах и количествах; все, что можно выразить цифрою, принадлежит математике. Математика может быть чистой и прикладной. Математика делится на арифметику и геометрию; первая располагает цифрами, вторая - протяжениями и пространствами. Алгебра заменяет цифры более общими знаками, буквами; аналитика добивается выразить все общими формулами, уравнениями, без помощи чертежа" (В. Даль).

Основы математической обработки информации, 2012 РОЛЬ МАТЕМАТИКИ Математика играет важную роль в естественнонаучных, инженерно-технических и гуманитарных исследованиях. Причина проникновения математики в различные отрасли знаний заключается в том, что она предлагает весьма четкие модели для изучения окружающей действительности в отличие от менее общих и более расплывчатых моделей, предлагаемых другими науками. Без современной математики с ее развитым логическими и вычислительным аппаратом был бы невозможен прогресс в различных областях человеческой деятельности. Математика является не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры.

Основы математической обработки информации, 2012 Основные понятия математики. Число. Число, одно из основных понятий математики. В связи со счетом отдельных предметов возникло понятие о целых положительных (натуральных) числах, а затем идея о безграничности натурального ряда чисел: 1, 2, 3,4... Задачи измерения длин, площадей и т.п., а также выделение долей именованных величин привели к понятию рационального (дробного) числа. Понятие об отрицательных числах возникло у индийцев в 6-11 вв.

Основы математической обработки информации, 2012 Число Потребность в точном выражении отношений величин (напр., отношение диагонали квадрата к его стороне) привела к введению иррациональных чисел, которые выражаются через рациональные числа лишь приближенно; рациональные и иррациональные числа составляют совокупность действительных чисел. Окончательное развитие теория действительных чисел получила в связи с потребностями математического анализа. В связи с решением квадратных и кубических уравнений были введены комплексные числа.

Основы математической обработки информации, 2012 Делимость Делимость, свойство целого числа делиться на другое целое число без остатка. Простейшие признаки делимости: число делится на 2, если его последняя цифра делится на 2; на 3 или на 9, если сумма цифр делится соответственно на 3 или на 9; на 5, если оно оканчивается на 0 или 5.

Основы математической обработки информации, 2012 Единица Единица, наименьшее из натуральных чисел n = 1. В современной математике понятие единицы (единичного элемента) рассматривают в алгебраических структурах более общей природы (напр., группах).

Основы математической обработки информации, 2012 Сложение Арифметическое действие. Обозначается знаком + (плюс). В области целых положительных чисел (натуральных чисел) в результате сложения по данным числам (слагаемым) находится новое число (сумма), содержащее столько единиц, сколько их содержится во всех слагаемых. Действие сложения определяется также для случая произвольных действительных или комплексных чисел, векторов и т.д.

Основы математической обработки информации, 2012 Вычитание Арифметическое действие, обратное сложению т.е. нахождение одного из слагаемых (разности) по данной сумме двух слагаемых (уменьшаемому) и данному другому слагаемому (вычитаемому). Обозначается знаком - (минус).

Основы математической обработки информации, 2012 Умножение Арифметическое действие. Обозначается точкой "." или знаком "х" (в буквенном исчислении знаки умножения опускаются). Умножение целых положительных чисел (натуральных чисел) есть действие, позволяющее по двум числам а (множимому) и b (множителю) найти третье число ab (произведение), равное сумме b слагаемых, каждое из которых равно а; а и b называются также сомножителями.

Основы математической обработки информации, 2012 Умножение двух рациональных чисел дает число, абсолютная величина которого равна произведению абсолютных величин сомножителей и которое имеет знак плюс (+), если у обоих сомножителей одинаковые знаки, или минус (-), если у них различные знаки. Умножение иррациональных чисел определяется при помощи их рациональных приближений. Умножение комплексных чисел, данных в форме a=а+bi и b=с+di, определяется равенством ab =ас - bd+ (a+bc) i.

Основы математической обработки информации, 2012 Деление Арифметическое действие, обратное умножению; посредством деления по произведению a (делимому) и одному из множителей b (делителю), отличному от нуля, отыскивается другой множитель (частное). Знаки деления - две точки (a: b), горизонтальная черта или наклонная черта (a/b). Деление дробных чисел a/b и c/d определяется равенством (a/b): (c/d) =ad/bc.

Основы математической обработки информации, 2012 Сумма, процент, точка Сумма, результат сложения. Процент, сотая доля числа; обозначается знаком %. Точка, одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии точка обычно принимается за одно из исходных понятий.

Основы математической обработки информации, 2012 Степень Произведение нескольких равных сомножителей (напр., 24=2·2·2·2=16). Число, повторяющееся сомножителем, называют основанием степени; число, показывающее, сколько раз повторяется сомножитель, называют показателем степени. Действие нахождения степени называют возведением (возвышением) в степень. Понятие степень обобщается также на случай произвольного (рационального или иррационального, а также комплексного) показателя.

Основы математической обработки информации, 2012 Равенство Отношение взаимной заменяемости объектов, которые именно в силу этой заменяемости и считаются равными (а=b). Отношение равенства обладает свойствами рефлексивности (каждый объект равен самому себе), симметричности (если а=b, то b=a) и транзитивности (если a=b, а b=c, то a=c). Буквенное равенство, верное для всех числовых значений входящих в него букв, называется тождеством.

Основы математической обработки информации, 2012 Величина, сравнение Величина, обобщение конкретных понятий: длины, площади, веса и т.п. Выбрав одну из величин данного рода за единицу измерения, можно выразить числом отношение любой другой величины того же рода к единице измерения. Сравнение, соотношение между двумя целыми числами a и b, означающее, что разность a-b этих чисел делится на заданное целое число m, называемое модулем сравнения; пишется a є b (mod m).

Основы математической обработки информации, 2012 Понятие множества Это простейшее математическое понятие, оно не определяется, а лишь поясняется при помощи примеров: множество книг на полке, множество точек на прямой (точечное множество) и т.д. То, что данный предмет (элемент, точка) х принадлежит множеству М, записывают х О М.

Основы математической обработки информации, 2012 Уравнение Это математическая запись задачи о разыскании значений аргументов, при которых значения двух данных функций равны. Аргументы, от которых зависят эти функции, называются неизвестными, а значения неизвестных, при которых значения функций равны, - решениями (корнями). Бывают алгебраические уравнения, например х 2=2, и неалгебраические уравнения, называемые трансцендентными, например 2 х=х.

Основы математической обработки информации, 2012 Неравенство, корень Неравенство, соотношение между числами, указывающее, какое из них больше или меньше другого. Корень степени n из числа a - всякое число x. Действие нахождения корня называется извлечением корня. Корень уравнения - число, которое после подстановки его в уравнение вместо неизвестного обращает уравнение в тождество.

Основы математической обработки информации, 2012 Логарифм Логарифм данного числа N при основании а, показатель степени у, в которую нужно возвести число а, чтобы получить N; таким образом, N = a y. Логарифмом обозначается обычно loga N. Логарифм с основанием е = 2, называется натуральным и обозначается ln N. Логарифм с основанием 10 называется десятичным и обозначается lg N. Равенство у=loga x определяет логарифмическую функцию. Основные свойства логарифма позволяют заменить умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня более простыми действиями сложения, вычитания, умножения и деления.

Основы математической обработки информации, 2012 Функция, график функции Функция - это зависимая переменная величина. Соответствие y=f (x) между переменными величинами, в силу которого каждому рассматриваемому значению некоторой величины x (аргумента, или независимого переменного) соответствует определенное значение другой величины y (зависимой переменной, или функции). Такое соответствие может быть задано различным образом, например формулой, графически или таблицей. График функции, y=f (x) состоит из точек, абсциссы которых равны значениям x, а ординаты - соответствующим значениям y.

Основы математической обработки информации, 2012 Тригонометрические функции функции угла: синус (sin), косинус (cos), тангенс (tg), котангенс (ctg), секанс (sec), косеканс (cosec). Их можно определить как отношения длины r и проекций а и b на оси координат радиуса-вектора, образующего с положительным направлением оси Ох угол (или отсекающего дугу) a. Именно: sin a=b/r, cos a=a/r, tg a=b/a, сtg a=a/b, sec a=r/а, cosec a=r/b.

Основы математической обработки информации, 2012 Группа Понятие современной математики. Возникло из рассмотрения совокупности операций, производимых над какими-либо объектами и обладающих тем свойством, что результат последовательного применения двух или большего числа операций из этой совокупности равносилен какой-то одной операции из этой совокупности. Пример: умножение на рациональные числа (умножение сначала на m, а потом на n равносильно умножению на mn).

Основы математической обработки информации, 2012 Кольцо Понятие современной алгебры - совокупность элементов, для которых определены операции сложения, вычитания и умножения, обладающие обычными свойствами операций над числами. Например, кольцо целых чисел.

Основы математической обработки информации, 2012 Что такое математический язык? Всякое точное объяснение того или иного явления - математично и, наоборот, все, что точно - математика. Любое же точное описание - это описание на соответствующем математическом языке. Классический трактат Ньютона "Математические начала натуральной философии", произведший переворот во всей математике, по существу является учебником грамматики разгаданного им "языка Природы", дифференциального исчисления, вместе с рассказом о том, что ему удалось у нее в результате услышать. Естественно, что он смог разобрать только смысл ее самых простых фраз.

Основы математической обработки информации, 2012 Что такое математический язык? Последующие поколения математиков и физиков, постоянно совершенствуясь в этом языке, постигали все более и более сложные выражения, потом несложные четверостишия, поэмы... Соответственно, печатались расширенные и дополненные версии Ньютоновской грамматики. История математики знает две великие революции, каждая из которых полностью меняла её облик и внутреннее содержание. Их движущей силой была "невозможность жить по старому", т.е. невозможность адекватно интерпретировать актуальные проблемы точного естествознания на языке существующей математики.

Основы математической обработки информации, 2012 Что такое математический язык? Первая из них связана с именем Декарта, вторая с именами Ньютона и Лейбница, хотя, конечно же, они отнюдь не сводятся только к этим великим именам. По словам Гиббса, математика - это язык, и сутью этих революций была глобальная перестройка всей математики на новой языковой основе. В итоге первой революции, языком всей математики стал язык коммутативной алгебры, вторая же заставила её говорить языком дифференциального исчисления.

Основы математической обработки информации, 2012 Что такое математический язык? Математики отличаются от "нематематиков" тем что, обсуждая научные проблемы или решая практические задачи, говорят между собой и пишут работы на особом "математическом языке" - языке специальных символов, формул и т.п. Дело в том, что на математическом языке многие утверждения выглядят яснее и прозрачнее, чем на обычном. Например, на обычном языке говорят: "От перемены мест слагаемых сумма не меняется" - так звучит переместительный закон сложения чисел. Математик пишет (или говорит): a + b = b + a

Основы математической обработки информации, 2012 ПРИМЕРЫ А выражение: "Путь S, пройденный телом со скоростью V за период времени от начала движения tн до конечного момента tк " запишут так: S = V · (tк - tн) Или такую фразу из физики: "Сила равна произведению массы на ускорение" запишут: F = m · a Он переводит высказанное утверждение на математический язык, в котором используются разные числа, буквы (переменные), знаки арифметических действий и иные символы. Все эти записи экономны, наглядны и удобны для применения.

Основы математической обработки информации, 2012 ПРИМЕРЫ А вот пример обратного перевода. На математическом языке записан распределительный закон: a (b + c) = ab + ac Осуществляя перевод на обычный язык, получим длинное предложение: "Чтобы умножить число a на сумму чисел b и c, надо число a умножить поочередно на каждое слагаемое: b, потом c, и полученные произведения сложить".

Основы математической обработки информации, 2012 Что такое математический язык? Во всяком языке есть своя письменная и устная речь. Выше мы говорили о письменной речи в математике. А устная речь - это употребление специальных терминов или словосочетаний, например: "слагаемое", "произведение", "уравнение", "неравенство", "функция", "график функции", "координата точки", "система координат" и т.п., а также различные математические утверждения, выраженные словами: "Число а делится на 2 тогда и только тогда, когда оканчивается на 0 или четную цифру".

Основы математической обработки информации, 2012 Что такое математический язык? Говорят, что культурный человек, кроме родного языка должен владеть ещё хотя бы одним иностранным языком. Это верно, но требует дополнения: культурный человек должен ещё уметь говорить, писать и думать и на математическом языке, поскольку это тот язык, на котором, как мы не раз уже убеждались, "говорит" окружающая действительность. Чтобы овладеть новым языком, необходимо изучить, как говорят, его алфавит, синтаксис и семантику, т.е. правила написания и смысл, заложенный в написанном. И, конечно же, в результате такого изучения представления о математическом языке и предмете будут постоянно расширяться.

Основы математической обработки информации, 2012 Аксиоматический метод В основе построения математической теории лежит аксиоматический метод - один из способов дедуктивного построения научных теорий. В основании аксиоматически построенной теории лежат аксиомы, т.е. предложения, принимаемые без доказательства. Все остальные предложения теории выводятся из аксиом (т.е. доказываются, являются теоремами) на основании логических правил вывода и правил определения предложений, допускаемых в данной теории.

Основы математической обработки информации, 2012 Аксиоматический метод Понятие аксиоматической теории было уточнено путем введения определения формальной системы, состоящей из языка системы, аксиом системы, правил вывода системы. Язык системы состоит из алфавита (перечня элементарных символов системы) и синтаксиса (правил, по которым из элементарных символов строятся формулы, предложения системы). Правила вывода позволяют получать из аксиом теоремы.

Основы математической обработки информации, 2012 Основные методы в математических исследованиях Основными методами в математических исследованиях являются математические доказательства - строгие логические рассуждения. Математическое мышление не сводится лишь к логическим рассуждениям. Для правильной постановки задачи, для оценки выбора способа ее решения необходима математическая интуиция. В математике используют два вида умозаключений: индукция - метод исследования, в котором общий вывод строится не основе частных посылок и дедукция - способ рассуждения, посредством которого от общих посылок следует заключение частного характера.

Основы математической обработки информации, 2012 Дедуктивный или аксиоматический метод Создание дедуктивного или аксиоматического метода построения науки является одним из величайших достижений математической мысли. Оно потребовало работы многих поколений ученых. Замечательной чертой дедуктивной системы изложения является простота этого построения, позволяющая описать его в немногих словах.

Основы математической обработки информации, 2012 Дедуктивный или аксиоматический метод Дедуктивная система изложения сводится: к перечислению основных понятий, к изложению определений, к изложению аксиом, к изложению теорем, к доказательству этих теорем: аксиома - утверждение, принимаемое без доказательств, теорема - утверждение, вытекающее из аксиом. доказательство - составная часть дедуктивной системы, это есть рассуждение, которое показывает, что истинность утверждения вытекает логически из истинности предыдущих теорем или аксиом.

Основы математической обработки информации, 2012 Функции и графики Функция представляет собой одно из основных математических понятий 20 века, когда функциональному анализу стала принадлежать в математике выдающаяся роль. Но так было не всегда: после введения в математику понятия функции понадобилось более двух столетий, чтобы было осознано его действительное значение для развития математического познания.

Основы математической обработки информации, 2012 Функция Термин "функция" впервые был применен в конце 17 века Лейбницем и его учениками. Вначале этот термин употребляли еще в очень узком смысле слова, связывая лишь с геометрическими образами. Речь шла об отрезках касательных к кривым, их проекция на оси координат и о "другого рода линиях, выполняющих для данной фигуры некоторую функцию" (от латинского "функтус" - выполнять). Таким образом, понятие функции еще не было освобождено от геометрической формы.

Основы математической обработки информации, 2012 Определение Бернулли Лишь И. Бернулли дал определение функции, свободное от геометрического языка: "Функцией переменной величины называется количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных". Чтобы определение функции, данное И. Бернулли, стало полноценным, надо было условиться, какие способы задания функций следует считать допустимыми. Обычно считали, что допускаются функции, заданные выражениями, в которые входят числа, буквы, знаки арифметических действий, возведение в степень и извлечение корней, а также обозначения тригонометрических, обратных тригонометрических, показательных и логарифмических функций.

Основы математической обработки информации, 2012 Элементарные функции Такие функции называли элементарными. Вскоре выяснилось, что интегралы от них не всегда выражаются через элементарные функции. В связи с этим пришлось добавить новые функции, получающиеся при вычислении интегралов от элементарных функций, при решении дифференциальных уравнений и т.д. Многие из этих функций нельзя было явно выразить с помощью ранее известных операций. Поэтому один из самых замечательных математиков 18 века Леонард Эйлер пишет: "Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называют функциями вторых".

Основы математической обработки информации, 2012 Лобачевский о функции В 1834 году Н.И. Лобачевский писал: "Общее понятие функции требует, чтобы функцией от х называть число, которое дается для каждого х и вместе с х постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое подает средство испытывать все числа и выбрать одно из них; или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной".

Основы математической обработки информации, 2012 Понятие «функция» Более общий подход к понятию функции, при котором отождествляются понятия "функция", "отображение", "оператор", возник после того, как во второй половине 19 века было введено общее понятие множества. И именно творцы теории множеств Г. Кантор и Р. Дедекинд дали общее определение отображения: "Пусть X и Y - два множества; говорят, что задано отображение f множества X в (на) множество Y, если для каждого элемента x из X указан соответствующий ему единственный элемент y из Y. Этот элемент y называют образом элемента х при отображении f и обозначают f (x)".

Основы математической обработки информации, 2012 Функция Современная трактовка понятия функции выглядит следующим образом: "Функцией называется отношение двух (группы) объектов, в котором изменению одного из них сопутствует изменение другого". Но как бы далеко ни отходило то или иное обобщение понятия функции от определений И. Бернулли и Л. Эйлера, к каким бы сложным объектам оно ни прилагалось, в основе всех построений лежала одна и та же мысль о существовании взаимозависимых величин, знание значения одной из которых позволяет найти значение другой величины. Таким образом, функция, как и любое другое математическое понятие, непосредственно или опосредованно отражает окружающую нас действительность.

Основы математической обработки информации, 2012 График функции График функции - один из способ ее представления. График функции - это линия, дающая цельное представление о характере изменения функции по мере изменения, ее аргумента. График функции - множество точек плоскости с прямоугольными координатами (х, у), где y=f (x) - функция от х из области определения Е этой функции.

Основы математической обработки информации, 2012 Задание на практическое задание 1 Будет проведен опрос по изученным сегодня понятиям В результате будет необходимо написать определение понятие, которое сложилось у Вас после сегодняшних лекций и привести любой пример Рейтинг будет выставляться по результатам выполненных практических заданий

Основы математической обработки информации, 2012 СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!