Определение логарифма Свойства логарифмов

Рассмотрим примеры : 2. Решить уравнение 2 x = 16 Запишем данное уравнение так: 2 x = 2 4, откуда x = 4. Ответ: x = 4 1. Найти x 4 = 16. По определению арифметического корня имеем x = 16= 2. Ответ: x = 2

В примере 1 неизвестным является основание степени, а в задаче 2 – показатель степени. Чтобы решать такие уравнения, вводится понятие логарифм числа. Известно, что уравнение вида a x = b, где a > 0, a 1, b > 0, имеет один корень. Этот корень называют логарифмом числа b по основанию a и обозначают log a b. Способ решения задачи 2 таков : левую и правую часть необходимо представить в виде степени с одним основанием. Однако уравнение вида 2 x = 17 так решить не удается. Но это уравнение имеет корень.

Логарифмом положительного числа b по основанию a, где a > 0, a 1, называется показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить b. Кратко это можно записать так: a log a b = b Это равенство справедливо при a >0, a 1, b > 0 Обычно е го называют основным логарифмическим т рождеством.

При выполнении преобразований выражений, содержащих логарифмы, при вычислениях используются различные свойства логарифмов. Основные свойства Пусть a > 0, a 1, b > 0, c > 0, r – любое действительное число log a (bc) = log a b + log a c (1) log a (b/c) = log a b – log a c (2) log a b r = r log a b (3)

По основному логарифмическому тождеству a log a b = b (4) a log a c = c (5) 1) Перемножая (4) и (5), получаем: a log a b + log a c = bc, откуда log a (bc) = log a b + log a c 2) Разделим (4) на (5), получаем: a log a b - log a c = b/c, откуда log a (b/c) = log a b – log a c 3) Возведя a log a b = b в степень с показателем r, получаем a rlog a b = b r, откуда следует log a b r = r log a b