Применение производной Применение производной Урок алгебры в 11 классе с элементами исследования

Этапы урока мотивация теория решение по алгоритму эксперимент

1) Изучая математику, мы то и дело вводим различные новые понятия. Откуда они берутся? Как возникли, например, такие понятия, как «прямая», «цилиндр», «число», «множество», «функция» и многие другие? Человек вглядывается в окружающий мир и начинает подмечать в разном (предметах, явлениях) что-то общее. Проанализировав, стремится описать «это общее», его формализовать, другими словами построить его математическую модель. Что свойственно траектории светового луча, направлению человеческого взгляда и натянутой нити? Прямизна! Отсюда и понятие «прямая». Что свойственно карандашам в коробке, страницам в книге и рыбам в косяке? Множественность! Отсюда понятие «множество». За более простыми понятиями приходят более сложные (вспомните схему построения любой теории, в частности геометрии: первичные понятия (ПП) -> аксиомы (правила игры с ПП) > новые понятия и т.д.

И. Ньютон и Г. Лейбниц на рубеже XVII-XVIII веков, идя разными путями, практически одновременно ввели понятие производной. По-разному ее описали и назвали, а потом яростно оспаривали друг у друга право первооткрывателя. На описание этого понятия на принятом сегодня языке, языке бесконечно малых, ушло еще два века. Среди тех, кто это сделал, есть и ученый, учитель Софьи Ковалевской Карл Вейерштрасс. Сегодня мы с вами тоже попытаемся стать первооткрывателями

Исследование (этапы) Гипотеза Наблюдение, выявление общего Модель Эксперимент

Математические задачи с практическим содержанием – это такие задачи, которые связаны с применением математики в технике, химии, экономике, медицине, экологии, а так же в быту. Мы рассмотрим задачи и ответим на вопрос – как их можно решить с помощью производной ? Эти задачи не совсем обычны как по форме изложения, так и по применяемым методам решения.

Творческое д/з 1) Аня 2) Вика 3) Рафик Вывод: что общего в решении задач?

Одним из важнейших понятий математического анализа является производная функции. Производная характеризует скорость изменения функции по отношению к изменению независимой переменной.

Подумайте! Приведите примеры различных процессов, скорость изменения которых можно найти с помощью производной от функции, которая дает описание процесса.

примеры 1. процесс распада радиоакт. в-ва 2. горение 3. удой молока 4. доза лекарства 5. …

Производная в различных областях науки В геометрии производная характеризует крутизну графика, в механике – скорость неравномерного прямолинейного движения, в биологии – скорость размножения колонии микроорганизмов, в экономике – отзывчивость производственной функции (выход продукта на единицу затрат), в химии – скорость химической реакции. и т.д.

Задача 1 При извержении вулкана камни горной породы выбрасываются перпендикулярно вверх с начальной скоростью 120 м/ с. Какой наибольшей высоты достигнут камни, если сопротивлением ветра пренебречь?

Задача 1 При извержении вулкана камни горной породы выбрасываются перпендикулярно вверх с начальной скоростью 120 м/ с. Какой наибольшей высоты достигнут камни, если сопротивлением ветра пренебречь? Решение: Вещество выбрасывается перпендикулярно вверх. Высота камня h, функция времени t. Откуда следует: … Следовательно, t =0 и t = 12 сек. Тогда h(12)= …м, т.е. камни горной породы достигают уровня …м от края вулкана. Добавьте свой вопрос.

Задача 2. Расход горючего легкового автомобиля (литр на 100 км) в зависимости от скорости х км/ч (х>30) при движении на четвертой передаче приблизительно описывается функцией f(x)=0,0017 х 2- 0,18 х+10,2; х>30. При какой скорости автомобиля расход горючего будет наименьший? Найдите этот расход.

f(x)=0,0017 х 2 - 0,18 х+10,2; Решение: Исследуем V(х)-скорость расхода горючего с помощью производной: V(х)= f'(х)=0,0034 х-0,18. При какой скорости автомобиля скорость расхода горючего будет стремиться к нулю? Когда f'(х)=0, 0,0034 х-0,18=0, х=0,18: 0,0034 … …(км/ч) При х … Следовательно, расход горючего при скорости автомобиля … км/ч будет наименьшим. f(…) 5,43 л. Добавь свой вопрос!

Биологический смысл производной. Задача 3 Закон накопления сухой биомассы у винограда сорта Шалса определяется уравнением y(t)=0,003t 2 - 0,0004xt, где t - число дней от распускания почек, y- накопление биомассы в кг на 1 куст. Равенство отражает зависимость величин x и y как средний результат массовых наблюдений. Найти… Поставь разумные вопросы!

Общее в задачах: *Функцией задан процесс, явление, … *Скорость изменения процесса, явления вычисляется как производная от заданной функции

Инструмент: формулы и правила вычисления производной модель производная функция

Итог урока Математика является неистощимым источником моделей-аналогов для успешной исследовательской деятельности практически во всех областях знания. Чем мы не Лейбницы и не Ньютоны?! Только есть одно маленькое отличие нас от них: я положила перед вами эти задачи рядом и нацелила на поиск общего в них, а ученые сами эти задачи увидели, положили их рядом и нашли их единообразное решение! Мимо этих задач проходили многие и, возможно, даже их решали, но не увидели того, что увидели Ньютон и Лейбниц. Как здесь не сказать, что смотрят все, а видят немногие! В этом и проявляется гениальность первооткрывателей. И я приглашаю вас вглядываться в то, что вы изучаете, в то, что вас окружает. На этом пути вас ждут удивительные открытия. Пусть и не столь значимые открытия! А это всегда торжество человеческого духа!

Цели урока-исследования: 1) нацелить на выявление закономерности в описании изменения процессов, явлений, величин 2) стимулировать нестандартное мышление 3) отработать простейшие формулы вычисления производной

Приемы: *Нестандартные, творческие задачи *Конструирование (придумать, составить задачу, пример) *Гипотеза *Привитие интереса

Учитель математики 1 категории - Нудьга Надежда Павловна, МОУ СОШ с Николо – Александровка, Октябрьский район, Амурская область