ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ

Логические операции Логическая операция – способ построения сложного высказывания из данных высказываний, при котором значение истинности сложного высказывания полностью определяется значениями истинности исходных высказываний. Логические операции – логические действия.

Логическое отрицание ( инверсия ) Логическое отрицание образуется из высказывания с помощью добавления частицы «не» к сказуемому или использования оборота речи «неверно, что …». Обозначение инверсии: НЕ А; А; A; NOT A Например: Я не знаю китайского языка. Неверно, что я знаю китайский язык

Таблица истинности для инверсии Из таблицы истинности следует, что инверсия высказывания истинна, когда высказывание ложно.

Таблица истинности для инверсии Смысл высказывания А для указанных значений Значение высказывания: Я не знаю китайского языка Я не знаю китайского языка Истина Я знаю китайский язык Ложь

Логическое умножение ( конъюнкция ) Логическое умножение образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «и». Обозначение конъюнкции: А И В; А В; А&B; A AND B.

Логическое умножение ( конъюнкция ) Например: На автостоянке обычно стоят две машины: «Мерседес» и «Жигули», но может находиться и какая-то одна из них или не быть ни одной. Обозначим высказывания: А=На автостоянке стоит «Мерседес». В=На автостоянке стоят «Жигули». (А конъюнкция В) = На автостоянке стоят «Мерседес» и «Жигули».

Таблица истинности для конъюнкции АВА&B Из таблицы истинности следует, что конъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны, и ложна, когда хотя бы одно высказывание ложно.

Таблица истинности для конъюнкции Смысл высказываний А и В для указанных значений Значение высказывания На автостоянке стоят «Мерседес» и «Жигули» «Мерседес» не стоит «Жигули» не стоят Ложь «Мерседес» не стоит «Жигули» стоят Ложь «Мерседес» стоит «Жигули» не стоят Ложь «Мерседес» стоит «Жигули» стоят Истина

Логическое сложение ( дизъюнкция ) Логическое сложение образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «или». Обозначение дизъюнкции: А ИЛИ В; А В; А B; A OR B; А+В.

Логическое сложение ( дизъюнкция ) Например: На автостоянке обычно стоят две машины: «Мерседес» и «Жигули», но может находиться и какая-то одна из них или не быть ни одной. Обозначим высказывания: А=На автостоянке стоит «Мерседес». В=На автостоянке стоят «Жигули». (А дизъюнкция В) = На автостоянке стоят «Мерседес» или «Жигули».

Таблица истинности для дизъюнкции АВА v B Из таблицы истинности следует, что дизъюнкция двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны, и истинна, когда хотя бы одно высказывание истинно.

Таблица истинности для дизъюнкции Смысл высказываний А и В для указанных значений Значение высказывания На автостоянке стоят «Мерседес» или «Жигули» «Мерседес» не стоит «Жигули» не стоят Ложь «Мерседес» не стоит «Жигули» стоят Истина «Мерседес» стоит «Жигули» не стоят Истина «Мерседес» стоит «Жигули» стоят Истина

Логическое следование ( импликация ) Логическое следование образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «если …, то …». Обозначение импликации: А В; А B; если А, то В; А влечет В; В следует из А.

Логическое следование ( импликация ) Например: А = Если клятва дана, то она должна выполнятся. В=Если число делится на 9, то оно делится на 3. В логике допустимо рассматривать и бессмысленные с житейской точки зрения высказывания. С = Если коровы летают, то 2+2=5. Пусть даны высказывания: А=На улице дождь.В=Асфальт мокрый. (А импликация В)= Если на улице дождь, то асфальт мокрый.

Таблица истинности для импликации АВ А B Из таблицы истинности следует, что импликация двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда из истинного высказывания следует ложное.

Таблица истинности для импликации Смысл высказываний А и В для указанных значений Значение высказывания Если на улице дождь, то асфальт мокрый Дождя нет Асфальт сухой Истина Дождя нет Асфальт мокрый Истина Дождь идет Асфальт сухой Ложь Дождь идет Асфальт мокрый Истина

Логическое равенство ( эквивалентность ) Логическое равенство образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «…тогда и только тогда, когда …». Обозначение эквивалентности: А В; А B; А В.

Логическое равенство ( эквивалентность ) Например: Угол называется прямым тогда, когда он равен 90 градусам. Обозначим высказывания: А=Число делится на 3 без остатка. В=Сумма цифр числа делится нацело на 3. (А эквивалентно В) = Число кратно 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится нацело на 3.

Таблица истинности для эквивалентности АВ А B Из таблицы истинности следует, что эквивалентность двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны или оба ложны.

Таблица истинности для эквивалентности Смысл высказываний А и В для указанных значений Значение высказывания Число кратно трем тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится нацело на 3 Число не кратно трем Сумма цифр не кратна трем Истина Число не кратно трем Сумма цифр кратна трем Ложь Число кратно трем Сумма цифр не кратна трем Ложь Число кратно трем Сумма цифр кратна трем Истина

Опорный конспект « Свойства логических операций » Инверсия истинна Тогда и только тогда, когда Высказывание ложно Дизъюнкция ложна Конъюнкция истинна ложны оба высказывания истинны Дизъюнкция истинна Конъюнкция ложна истинно хотя бы одно высказывание ложно Импликация ложна Из истинного высказывания следует ложное высказывание Эквивалентность истинна Оба высказывания ложны или оба истинны

Упражнение 1 Записать в виде логического выражения следующее высказывание: «Летом Петя поедет в деревню и, если будет хорошая погода, то он пойдет на рыбалку». 1. Проанализируем составное высказывание. Оно состоит из простых высказываний: «Петя поедет в деревню», «Будет хорошая погода», «Пойдет на рыбалку».

2. Обозначим их через логические переменные: А = Петя поедет в деревню; В = Будет хорошая погода; С = Он пойдет на рыбалку. 3. Запишем высказывание в виде логического выражения, учитывая порядок действий. Если необходимо, расставим скобки: F = A & (BC)

Упражнение 2 Есть два простых высказывания: А = «Число 10 – четное»; В = «Волк – травоядное животное». Составить из них все возможные составные высказывания и определить их истинность.

Ответ : А & BА v B ¬А ¬BА B

Упражнение 3 Запишите следующие высказывания в виде логических выражений. 1. Число 17 нечетное и двузначное. 2.Неверно, что корова – хищное животное. 3. На уроке физики ученики выполняли лабораторную работу и сообщили результаты исследований учителю. 4. Если число делится на 2, то оно – четное. 5. При замерзании воды выделяется тепло.

Упражнение 3 Запишите следующие высказывания в виде логических выражений. 6. Если Маша – сестра Саши, то Саша – брат Маши. 7. Если компьютер включен, то можно на нем работать. 8. Водительские права можно получить тогда и только тогда, когда тебе исполнится 18 лет. 9. Компьютер выполняет вычисления,если он включен. 10. Ты можешь купить в магазине продукты, если у тебя есть деньги.

Упражнение 4 Найдите значения логических выражений: 1.F= (0v0) v (1v1) 2. F = (1v1) v (1v0) 3. F = (0&0) & (1&1) 4. F = ¬1 & (1v1) v (¬0&1) 5. F = (¬1v1) & (1v ¬1) & (¬1v0) Ответ: 1 Ответ: 0 Ответ: 1 Ответ: 0