Формування знань старшокласників про різні методи розвязання задач стереометрії Підготувала Шаповалова С.В., в читель математики Терезинського НВО ЗОШ І-ІІІ ступенів – дитячий садок

Формування математичних компетенцій учнів при виборі задачі для розвязання Функції розвязування відібраної задачі: навчальна, розвивальна, діагностична прогнозуюча, тощо. Вдало підібрана задача створює умови для: засвоєння нового матеріалу; активізації, розвитку і закріплення попереднього матеріалу; розвитку прийомів розумової діяльності; мотивації навчання тощо.

Знайти відстані між мимобіжними діагоналями бічних граней прямої трикутної призми, усі ребра якої мають довжину a. Розвязування задачі створює: 1)умови для закріплення знань учнів про відстань між мимобіжними прямими; 2)умови для повторення теми Координати і вектори в просторі ; 3)Умови для формування знань про різні методи розвязування задач стереометрії : геометричний, координатний, векторний і координатно – векторний; 4)Умови для міжпредметних звязків алгебри і геометрії.

Повторення навчального матеріалу. 1.Відстань між мимобіжними прямими дорівнює довжині їх спільного перпендикуляра. 2. Для того щоб знайти відстань між мимобіжними прямими, не обовязково будувати їх спільний перпендикуляр. b В а А α 3. Відстань між мимобіжними прямими а і b дорівнює відстані від будь-якої точки прямої b до площини α, яка проходить через пряму а паралельно до прямої b.

Нехай відстань, а тобто, довжина перпендикуляра від точки В до площини трикутника АВК, дорівнює x. Цей перпендикуляр буде висотою трикутної піраміди ВАВК. Тому. Оскільки ВВ (АВК), то. Тоді. АВ – медіана трикутника АСК,. Нехай М – середина АК, тоді ВМ АК, бо АВ=АК=а. За теоремою про три перпендикуляри ВМ АК. МВ=.,. Таким чином, Відповідь: А А В С С В М К Д. п.: 1. КВ = ВС = а, де КВ продовження ребра ВС. Чотирикутник КВСВ – паралелограм, оскільки ВС = КВ = а і ВС ІІ КВ. Таким чином ВК ІІ СВ і звідси ВС ІІ (АВК). Тому відстань між прямими АВ і ВС дорівнює відстані від точки, наприклад, В до площини трикутника АВК. Геометричний метод. Знайти відстань між мимобіжними діагоналями бічних граней прямої трикутної призми, усі ребра якої мають довжину a.

Нехай М АВ, N BC. Умова перпендикулярності відрізка МN до прямих АВ і ВС рівносильна тому, що Виразимо вектори Векторний метод А С В N M A C B через вектори.. Маємо Запишемо Де х та у – дійсні числа. Враховуючи це, Враховуючи, що Після скорочення одержимо систему:

Координатний метод АС В z x y E A B C L Нехай в просторі введена прямокутна система координат: точка В – початок координат, вісь Ву проходить через середину Е ребра АС, вісь ВХ паралельна ребру АС. Побудуємо AL так, щоб AL=AA.Тоді AL=BB=a і ALII BB. Отже, чотирикутник LABB – паралелограм. Тоді АВ=LB. Це означає, що пл.(LBC) проходить через пряму ВС і паралельна прямій АВ, тобто відстань між мимобіжними прямими АВ і ВС дрівнює відстані від точки А до пл. (LBC). Оскільки AL=CC=a, то пряма LC проходить через точку Е. Тому шукана відстань дорівнює відстані від точки А до площини (BEC). Точки А,В,Е і С мають координати:А,В(0;0;0),Е С. Нехай площина (ВЕС) задається рівнянням αx+βу+γz+δ=0, деα,β,γ і δ- дійсні числа, причому серед чисел α,β,γ хоча б одне не дорівнює 0..Оскільки пл. проходить через точки В,Е і С, то їх координати задовольняють рівняння площини і тому Звідси знаходимо, що δ=0, β=0, α=2γ, γ0. Тому рівняння пл. (ВЕС) має вигляд: -2γx+0·у+γ·z+0=0, 2х-z=0. Тепер знаходимо відстань від точки А до пл. 2х-z=0 за формулою, одержимо.

Координатно – векторний метод Введемо прямокутну систему координат: А – початок координат, вісь Ах паралельна ребру ВС, вісь Ау перетинає ребро ВС в середині F, вісь Аz проходить через ребро АА А z С В М N F y A x B C У цій системі точки А,В,В і С мають координати А(0;0;0), В В, С. Вектори і матимуть координати: Нехай точки М і N лежать на прямих АВ і ВС відповідно, тоді де х і у – дійсні числа, які треба визначити так, щоб довжина відрізка МN досягала найменшого можливого значення. Скориставшись формулою координат вектора,знайдемо координати точок М і N:. Тоді довжина МN =. Виділимо повні квадрати в підкореневому виразі і знайдемо його найменше значення:. Таким чином найменше значення підкореневого виразу буде дорівнювати 1/5. Це досягатиметься при умові, що Тобто. Отже найменше значення відрізка МN дорівнює.

Метод проектування Проектування – один із прийомів, за допомогою якого просторова задача зводиться до однієї чи кількох планіметричних задач. Як повноцінний метод застосовується при розвязанні задач,у яких потрібно знайти відстань між мимобіжними прямими. Відстань між мимобіжними прямими а і b дорівнює відстані від точки А, що є проекцією прямої а на площину α, яка перпендикулярна до прямої а і до прямої b ̒, яка є проекцією прямої b на площину α. а b d А В b̒ d ̒

Метод проектування А В С Р М А В С А С̒ М С ̒̒ В В ̒=Р=А ̒ Т К d β Нехай Р – центр грані ААВВ і М – середина ребра СС.. Трикутники ВСМ і ВСМ рівні за двома катетами. Тоді ВМ=АМ. Оскільки Р – середина АВ, то. Аналогічно. Тоді. Спроектуємо нашу призму на площину. В результаті проектування одержимо рівнобедрену трапецію АС̒СВ в якій АВ і С̒С - основи, АВ=. Р і М – середини цих основ, РМ = Крім того АС̒=СР=РС ̒=С ̒В. Знайдемо відстань від точки Р до прямої ВС̒, тобто РК=d. Нехай Т – середина АР, тоді трикутники ВКР і ВТС ̒ подібні за спільним кутом β. З подібності знаходимо: Звідси знаходимо.