МОУ «Парбигская СОШ» Проектная работа на тему:

«Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук». Л.Кэрролл

Цель работы : познакомиться с разными видами правильных, полуправильных, звёздчатых многогранников и изготовить некоторые из них.

Задачи: 1. Знакомство с правильными, полуправильными, звёздчатыми многогранниками и кубиком Рубика. 2. Изготовить пять правильных, шесть полуправильных и десять звездчатых многогранников

История Считается, что кубик Рубика лидер среди игрушек по общему количеству продаж: по всему миру было продано порядка 300 млн кубиков Рубика, как оригинальных, так и различных аналогов.

«Кубик Рубика» (первоначально был известен как «Магический кубик», разговорный вариант Кубик-Рубик) механическая головоломка, изобретённая в 1974 году (и запатентованная в 1975) венгерским скульптором и преподавателем архитектуры Эрнё Рубиком. Головоломка представляет собой пластмассовый куб, составленный из 26 кубиков меньшего размера, способных вращаться вокруг невидимых снаружи осей.

В этом году мы начали изучать второй раздел геометрии – стереометрию, то есть оторвавшись от двухмерной плоскости мы вышли в трехмерное пространство, где мы с удивлением заметили, что все геометрические тела, состоят из знакомых уже нам плоских планиметрических фигур; треугольники, квадраты, прямоугольники, окружности, круги, трапеции, ромбы, параллелограммы, и др. И одной из самых интересных тем оказалась тема «Правильные многогранники»

ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.

Существует пять типов правильных выпуклых многогранников: правильный тетраэдр, куб (кексаэдр), октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.

Немного истории… Немного истории… Правильные многогранники были известны еще в Древней Греции. Придумать правильные многогранники, по-видимому, было нетрудно: это формы природных кристаллов. Например, монокристалл поваренной соли (NaCl) это куб. Существует предположение, что додекаэдр древние греки увидели, рассматривая кристаллы пирита (серного колчедана FeS). Имея додекаэдр, несложно получить икосаэдр: его вершинами являются центры граней додекаэдра. У древнегреческого мыслителя Платона четыре многогранника олицетворяли четыре стихии: тетраэдр огонь, куб землю, октаэдр воздух, икосаэдр воду, додекаэдр олицетворял ВСЁ МИРОЗДАНИЕ.

В соответствии с этими данными и были названы правильные многогранники: тетраэдр (от греческих слов «тетра» четыре и (h)edra грань); кексаэдр («кекса» шесть); октаэдр («окто» восемь); додекаэдр («додека» двенадцать); икосаэдр («окиси» двадцать).

Кол-во ребер Кол-во вершин Кол-во граней Вид грани Тетраэдр 644 Куб 1286 Октаэдр 1268 Додекаэдр Икосаэдр

Чтобы изготовить модели правильных многогранников, нужно сделать их развёртки Развёртка тетраэдра

Развертка куба

Развертка октаэдра

Развертка ИКОСАЭДРА

ПОЛУПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ Многогранник называется полуправильным, если он ограничен не одноименными правильными многоугольниками, в нём равны многогранные углы и одноименные многоугольники, причем в каждой вершине сходится одно и то же число одинаковых граней в одинаковом порядке. Каждое из этих тел может быть вписано в сферу.

Пифагорейцы уделяли в своих космологических теориях особенно важное место правильным многогранникам, неоценимое превосходство которых над всеми другими телами они усмотрели в том, что их только пять. Этим объясняются такие названия, которые получили правильные многогранники: «космические фигуры», «идеальные фигуры», «платоновы тела». Правильными многогранниками занимался, по свидетельству Паппа Александрийского (которому, впрочем, принадлежит отличное от евклидова построение пяти правильных многогранников), и Архимед, однако и эти работы до нас не дошли. Архимеду принадлежит открытие тринадцати так называемых полуправильных многогранников («архимедовых тел»).

«Архимедовы тела»: усечённый тетраэдр усечённый куб усечённый октаэдр усечённый додекаэдр усечённый икосаэдр дважды усечённый куб дважды усечённый додекаэдр икосододекаэдр усечённый икосододекаэдр ромбоикосододекаэдр кубооктаэдр усечённый кубооктаэдр ромбокубооктаэдр

Открыл Миллер существование нового «архимедова тела» в 1930 г.- псевдоромбокубооктаэдра, который получается из ромбокубооктаэдра поворотом его верхней восьмиугольной «крышки» на 45 градусов по оси. И независимо от него Г.Ашкинузе и Л.Есаулова получили свои результаты независимо друг от друга и от Миллера.

Звёздчатый многогранник это правильный невыпуклый многогранник. Многогранники из-за их необычных свойств симметрии исследуются с древнейших времён. Также формы многогранников широко используются в декоративном искусстве. Звездчатые многогранники очень декоративны, что позволяет широко применять их в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений. Применяются они и в архитектуре. Многие формы звездчатых многогранников подсказывает сама природа. Есть много видов звёздчатых многогранников. Наиболее известные это: Звёздчатый многогранник это правильный невыпуклый многогранник. Многогранники из-за их необычных свойств симметрии исследуются с древнейших времён. Также формы многогранников широко используются в декоративном искусстве. Звездчатые многогранники очень декоративны, что позволяет широко применять их в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений. Применяются они и в архитектуре. Многие формы звездчатых многогранников подсказывает сама природа. Есть много видов звёздчатых многогранников. Наиболее известные это:

Звездчатый октаэдр Звёздчатый додекаэдр Звёздчатый икосаэдр Икосододекаэдр

Иоганн Кеплер ( ), для которого правильные многогранники были любимым предметом изучения, в своем первом его крупном сочинении «Mysterium Cosmographicum» «Космографическая тайна» (1596) развил учение о двух видах выпуклых звездчатых многогранников (которые получаются из правильных многогранников продолжением граней или рёбер) и обстоятельно изложил теорию архимедовых тел.

А также великое множество других замечательных многогранников… 26

Итак, существует 5 типов правильных выпуклых многогранников («платоновых тел»); Бесконечное множество полуправильных многогранников (из них – 14 «архимедовых тел»); 4 типа правильных звездчатых многогранников.

Список использованной литературы: 1.Г.И.Глейзер. История математики в школе. IX-X классы. – М.: Просвещение, М. Веннинджер. Модели многогранников. – М.: Мир, И.М. Смирнова, В.А. Смирнов. Геометрия на профильном уровне. – М.: ПУ «Первое сентября», Интернет-ресурсы.

Проектная работа выполнена : В практической части работы принимали участие Учащиеся 10 класса «Парбигской СОШ». Над презентацией работали: ученицы 10 класса Ильиных Анастасия Крохина Елена. Кустова Александра Руководитель проекта: Телегина Валентина Геннадьевна