Тригонометричні рівняння.

I. Точки на одиничному колі є д ійсними числа ми. Кожному дійсному числу a відповідає одна точка одиничного кола., якщо а – додатнє число, то поворот здійснюється проти часової стрілки, а якщо відємне, то по часовій стрілці.

II.Запис вс і х чисел, які відповідають дан и м точкам одиничного кола. 1) Одній точці Р відповідає множина чисел виду 2) Дві точки, симетричні відносно початку координат, відповідають числам, які задані формулою 3) Дві точки, симетричні відносно осі абсцис, відповідають множині чисел

4) Запишемо всі числа, яким відповідають дві точки, симетричні відносно осі ординат, Ці множини чисел можна задати двома серіями: Обєднаємо в одну серію

Вправи 1. Запишіть множину чисел, які відповідають точкам:

2. Вкажіть на колі точки, які відповідають числам виду: Вправи а) б) в) г)

3. Вкажіть на одиничному колі точку з даними координатами і запишіть всі числа, які відповідають цій точці: Вправи а) б) в) г) Г )

4. Вкажіть на одиничному колі всі точки з даною ординатою і запишіть всі числа,які відповідають цим точкам; а) б) в) Вправи А) Б) В)

5. Вкажіть наодиничному колі всі точки з даною абсцисою і запишіть всі числа,які відповідають цим точкам: а) б) в) Вправи

Виберіть числа, які входять до даної множини із наведених нижче: 6.Тренувальні вправи. Вправи а)

Виберіть числа,які входять до даної множини із наведених нижче: 6.Тренувальні вправи. Вправи а)

Виберіть числа, які входять до даної множини із наведених нижче: 6.Тренувальні вправи Вправи а) б)

Виберіть числа,які входять до даної множини із наведених нижче: 6.Тренувальні вправи. Вправи а) б)

Виберіть числа,які входять до даної множини із наведених нижче: 6.Тренувальні вправи Вправи а) б) в)

Виберіть числа,які входять до даної множини із наведених нижче: 6.Тренувальні вправи. Вправи а) б) в)

Виберіть числа,які входять до даної множини із наведених нижче: 6.Тренувальні вправи. Вправи а) б) в) г)

Виберіть числа,які входять до даної множини із наведених нижче: 6.Тренувальні вправи. Вправи а) б) г) в)

Виберіть числа, які входять до даної множини із наведених нижче: 6.Тренувальні вправи Вправи а) б) в) г) д)

Виберіть числа,які входять до даної множини із наведених нижче: 6.Тренувальні вправи Вправи а) б) в) г) д)

Типи тригонометричних рівнянь. I. Найпростіші тригонометричні рівняння. Рівняння виду Корисно памятати, що при

Якщо то розвязків не має Якщо то I. Найпростіші тригонометричні рівняння.

Особливі випадки:

Рівняння виду Потрібно памятати, що

Слід памятати

Питання: скільки коренів має дане рівняння? Відповідь: безліч коренів виду Дані рівняння являються також простими і розвязуються спочатку відносно, а потім отримані рівняння розвязуються відносно х. II.Рівняння виду 2) Завдання: вкажіть декілька різних коренів даного рівняння. Відповідь: наприклад, при при 1)

Рівняння виду 3)3) Питання: як розташовані на числовій осі точки, які відповідають кореням даного рівняння? Відповідь: ці точки розташовані на числовій осі на однаковій відстані одна від другої, рівній Одна з таких точок 4)

Приклади. В кожному з наведених прикладів зроблені помилки. Напишіть правильну відповідь. б) в)в) а)

Приклади. В кожному з наведених прикладів зроблені помилки. Напишіть правильну відповідь. г)г)д)д) нет решений;

Серед наведених чисел вкажіть ті, які являються коренями даного рівняння. а).2; 6 11 ; 3 5 ; 2 3 ; 3 4 ; 6 7 ;; 6 5 ; 3 2 ; 2 ; 3 ; 6

Серед наведених чисел вкажіть ті, які являються коренями даного рівняння а).2; ; 3 5 ; 2 3 ; 3 4 ; 6 7 ;; 6 5 ; 3 2 ; 2 ; 3 ; 6 6

Серед наведених чисел вкажіть ті, які являються коренями даного рівняння. а) б).2; 6 11 ; 3 5 ; 2 3 ; 3 4 ; 6 7 ;; 6 5 ; 3 2 ; 2 ; 3 ; 6

.2; 6 11 ; 3 5 ; 2 3 ; 3 4 ; 6 7 ;; 6 5 ; ; 2 ; 3 3 ; 6 Серед наведених чисел вкажіть ті, які являються коренями даного рівняння. а) б)

Серед наведених чисел вкажіть ті,які являються коренями даного рівняння. а) б) в).2; 6 11 ; 3 5 ; 2 3 ; 3 4 ; 6 7 ;; 6 5 ; 3 2 ; 2 ; 3 ; 6

Серед наведених чисел вкажіть ті, які являються коренями даного рівняння. а) б) в).2; 6 11 ; 3 5 ; 2 3 ; ; 6 7 ;; 6 5 ; 3 2 ; 2 ; 3 3 ; 6

Серед наведених чисел вкажіть ті, які являються коренями даного рівняння. а) б) в) г).2; 6 11 ; 3 5 ; 2 3 ; 3 4 ; 6 7 ;; 6 5 ; 3 2 ; 2 ; 3 ; 6

.2; 6 11 ; ; 2 3 ; 3 4 ; 6 7 ;; 6 5 ; ; 2 ; 3 ; 6 Серед наведених чисел вкажіть ті, які являються коренями даного рівняння. а) б) в) г)

III. Рівняння, які являються рівністю двох одноіменних тригонометричних функцій: а) рівняння виду рівносильне обєднанню рівнянь: б) рівняння виду рівносильне обєднанню рівнянь: в) рівняння виду рівносильне системі: (або ),

1) или 2) или Приклади.

4) или 3) Ответ: Приклади.

IV. Тригонометричні рівняння, які містять одну і ту ж функцію одного і того ж аргументу і, які розвязуються методом підстановки. 1) Пусть Приклади. Нехай 2) - сторонній розвязок

3) Нехайтоді Приклади.

V. Рівняння, які зводяться до попереднього типу по формулам: а) б) в) г) 1) Нехайтоді - Сторонній розвязок, так як Приклади.

2) Нехайтоді Після перетворень одержимо рівняння Приклади.

3) Нехайтоді - сторонній корінь, так як Приклади.

VI. Однорідні рівняння. Вид однорідної функції від двох змінних u і першого степеня, наприклад: другого степеня: третього степеня:і т. д. В тригонометрії звичайно (але завжди) Приклади. 1) Це однорідне рівняння першого степеня. Обидві частини рівняння потрібно розділити на cos x. При цьому одержиться рівносильне рівняння. Щоб в цьому переконатися, покажемо, що рівняння cos х = 0 не містить коренів даного рівняння. Дійсно, якщо то але це неможливо, так як Отже, маємо рівносильне рівняння

2) розділимо обидві частини рівняння на cos х, не рискуючи втратити корені: 3). Приклади.

Якщо рівняння може бути приведено до виду, коли його ліва частина є однорідний вираз другого степеня відносно тригонометричних функцій, а в правій частині є число, відмінне від ноля, то таке рівняння можна привести до однорідного рівняння другого степеня відносно і, представимо число в правій частині 5) 6)

7) Нехай або тоді Приклади.

VII. Рівняння, які розвязуються методом розкладання на множники. При розвязанні цього типу рівнянь необхідно користуватися відомим правилом: добуток декількох множників рівний нолю, якщо хоча б один з них рівний нолю, а остальнні при цьому мають зміст. 1) або ОДЗ: Приклади. 2) або

Приклади. 3) або 4)4) 5) Після групування

VIII. Рівняння виду : Один із способів розвязання такого рівняння полягає в тому, що ліву частину рівняння можна перетворити по формулі: де

Приклади. 1) 3) 2) Розвязків не має. 4) 5) где наприклад,

IX. Рівняння, які розвязуються оцінкою значень лівої і правої частини. Приклади. 1) Рівняння коренів не має, т. я. вираз змінюється в межах рівняння коренів не має. 2)

- (вірно). 3) Так як то і рівність можлива лише при Корені першого рівняння визначаються формулою Підставимо це значення в друге рівня:ння Значить, це корені даного рівняння. Приклади

7) Так як ліва частина рівняння менше або рівна 5, а права частина більше або рівна 5, то рівність можлива тільки в випадку, коли обидві частини рівняння рівні 5. Права частина рівна 5 при Підставимо це значення не являється коренем рівняння. Відповідь: розвязків не має. Приклади.

Деякі прийоми розвязування тригонометричних рівнянь. 1. Використання тригонометричних формул. 1) Відповідь : 2) Відповідь :

2. Пониження степеня. 1) 2)

3. Перетворення добутку в суму. 1) 2)

4. Пониження кратності аргументу і пониження степеня. 1)