Автори Антонова Світлана В'ячеславівна Вчитель математики спеціаліст вищої категорії Павлик Катерина Володимирівна Вчитель математики спеціаліст вищої категорії, старший вчитель Ч Черкаської загальноосвітньої школи І – ІІІ ступенів 32

Анотація Основною метою використання ОК є: навчання учнів аналізувати теоретичний матеріал і виділяти основне; навчання учнів аналізувати теоретичний матеріал і виділяти основне; полегшити вивчення означень і тверджень. полегшити вивчення означень і тверджень. Робота за ОК спирається на наочність, полегшує первинне сприйняття учнями матеріалу, запам'ятовування опорної інформації та її повторення, привчає виділяти головне, висловлюватись лаконічно та математично обґрунтовано, полегшує формування логічного ланцюжка доведення та блок- схеми розв'язання, тобто сприяє формуванню алгоритмічного мислення. Усне промовляння ОК за його схемою вчить учнів математичному мовленню. Використання ОК у навчанні школярів полегшує формування в них не лише наочно-образного та алгоритмічного мислення, але й мовної культури.

Зміст Рівняння Рівняння Цілі Цілі вирази Функції Функції Системи Системи лінійних рівнянь з двома змінними

Рівняння Загальні відомості про рівняння Загальні відомості про рівняння Основні властивості рівнянь Основні властивості рівнянь Лінійні рівняння з однією змінною Лінійні рівняння з однією змінною Розв'язування задач за допомогою рівнянь Розв'язування задач за допомогою рівнянь

Загальні відомості про рівняння Рівняння рівність, яка містить змінні (невідомі числа, позначені буквами). 2х – 13 = 2,5 Корінь (розвязок) рівняння – число, яке задовольняє рівняння. Розвязати рівняння : з знайти всі його корені або п показати, що їх не існує.

Основні властивості рівнянь 1. У будь-якій частині рівняння можна розкрити дужки і звести подібні доданки рівняння. 2. Будь-який член рівняння можна перенести з однієї частини рівняння в іншу змінивши його знак на протилежний 4х + 34 = 16х – 7 ; 4х – 16х = Обидві частини рівняння можна помножити або поділити на одне й те саме число відмінне від 0 х + 5 = 0,5 3х – 27 = 63 10х + 50 = 5 х – 9 = 21

Лінійні рівняння Рівняння вигляду ах = b, у якому а і b – деякі числа ( коефіцієнти ), х – змінна називається лінійним рівнянням з одним невідомим ах = b а 0 b 0 х = b : а Один корінь а = 0 b 0 0· х = b немає коренів а = 0 b = 0 0· х = 0 безліч коренів

Розв'язати лінійне рівняння 2(х + 3) - 3(х - 2) = 2х Розкрити дужки 2. Перенести члени зі змінною в ліву частину рівняння, а інші – в праву. 3. Звести подібні доданки 4. Поділити обидві частини рівняння на коефіцієнт при змінній 1. 2х + 6 – 3х + 6 = 2х х – 3х – 2х = = - 6 – х = х = 2

Розв'язування задач за допомогою рівнянь У двох цистернах зберігається 66т бензину, причому в першій бензину в 2 рази більше, ніж у другій. Скільки бензину в кожній цистерні ? 1. Вибрати невідоме і позначити його буквою 2. Використовуючи умову задачі, скласти рівняння 3. Розв'язати рівняння і дати відповіді на поставлені в задачі запитання 1.1 ц. -? т., в 2 р. б. 2х т 2 ц. -? т. х т. 2. Рівняння 2х + х = х = 66 х = т. – у другій цистерні, тоді в першій : 2 · 22 =44( т.) Відповідь : 44 т, 22 т. 66 т

Цілі вирази Вирази зі змінними Тотожні вирази Вирази зі степенями Одночлени Многочлени. Дії над многочленами Формули скороченого множення Розкладання многочленів на множники

Вирази зі змінними Раціональний вираз – вираз який містить додавання віднімання, множення, ділення, піднесення до степеня. Раціональний вираз, який не містить ділення на вираз зі змінною є цілим виразом. Числовий вираз утворюють із чисел, знаків дії, дужок – 7 : 2 Знайти значення числового виразу – виконати дії. Вираз не має змісту, якщо при знаходженні його значення приходять до дії, яку не можна виконати ( ділення на 0) Вираз зі змінними утворюють із букв, чисел, знаків дії і дужок. 4х -25; х² -4 Знайти значення виразу зі змінними – підставити замість букв певні значення і знайти значення числового виразу. При різних значеннях змінної різні значення виразу. а = 4х-3 при х = 2; а = 4·2 – 3 = 5; при х = 0; а = 4·0 – 3 = -3

Порядок виконання дій Дії : першого ступеня : додавання, віднімання другого ступеня : множення, ділення третього ступеня : піднесення до степеня У виразі без дужок : дії одного ступеня виконують у тому порядку, в якому вони записані. дії різних ступенів виконують спочатку дії вищого ступеня, а потім нижчого. У виразі з дужками спочатку виконують дії в дужках.

Тотожні вирази -вирази, які мають однакові числові значення, при всіх допустимих значеннях букв, що входять в них. Два тотожно рівні вирази сполучені знаком рівності - тотожності 2( а + с ) = 2а + 2с Заміна одного виразу іншим виразом, що тотожно дорівнює йому – є тотожним перетворенням виразів. Тотожні перетворення виразів ( спрощення виразів ) Розкриття дужок зведення подібних доданків 2(а + 3) – (а + 4) – (7а - 3) = = 2а + 6 – а – 4 – 7а + 3 = - 6а + 5

Вирази зі степенями Степенем числа а з натуральним п п п показником n називають добуток n множників, кожний з яких дорівнює а а : а – основа степеня ; n – показник степеня. а = а · а · а · а ··· а n разів 0 = 0; а1= а а > 0, n - довільне : an > 0 а < 0, n - парне : a an > 0 n – непарне : an < 0 Властивості степеня : a n · a m = a n + m a n : a m = a n – m,n > m ( a n ) m = a n ·m ( a · b ) n =a n · b n

Одночлен – добуток чисел змінних та їх степенів. 4а3с2р ; 4х ; 2,3 ; ас ; у Стандартний вигляд одночлена – одночлен який містить тільки один числовий множник( коефіцієнт ), який стоїть на першому місці, і степені різних букв. 2 2а5с4х; 7ху; 23а2х Коефіцієнт – числовий множник одночлена, записаного в стандартному вигляді а5с4х; 7ху; 23а2х Степінь одночлена – число, яке дорівнює сумі показників степені, які входять в цей одночлен 3х3у2а1, k = = 6 Подібні одночлени – одночлени, які відрізняються тільки коефіцієнтами х х2у ; 0,7 х2у ; -15 х2у Добуток одночленів є одночлен -3а2с · 4ас3 = -3 · 4 · а2 · а · с · с3 = -12а3с4 Щоб піднести одночлен до степеня необхідно кожний множник піднести до цього степеня (-2ар2) 5 = -32 · а5 · р10

Многочлен – сума одночленів. Члени многочлена – одночлени, з яких складається многочлен. 144 – аb2 – двочлен a a b – 2c2 + d3 – тричлен Подібні члени многочлена – подібні одночлени, які входять в цей многочлен. Звести подібні члени многочлена – виконати дії над подібними одночленами. 3ах - 7с + 2ах + 3с = 3ах + 2ах + ( -7с + 3с) = 5ах - 4с Многочлен стандартного вигляду – многочлен, який не має подібних членів. х4 -2х3 +7ах стандартного вигляду Степінь многочлена стандартного вигляду – найбільший степінь одночлена, що входить в цей многочлен а5 – 3а2т + 2ах + 7 ; k =

Дії над многочленами Додавання і віднімання многочленів. Перетворити у многочлен стандартного вигляду (2а + 3х – 4с) – (-5а + 4х + с ) 1.Розкрити дужки 2а + 3х – 4с + 5а - 4х - с 2.Звести подібні доданки 7а – х – 5с Множення многочлена на одночлен ( ( а + b – d) · c = a · c + b · c - d · c Множення многочлена на многочлен ( a + b ) · ( c + d ) = a · c + a · d + b · c + b · d

Формули скороченого множення Різниця різниці суму квадратів в виразів виразів a2 – b2 = = ( ( a – b ) · · ( a + b ) Квадрат к квадрат подвоєний квадрат двочлена п першого добуток другого ( a + b ) 2 = a a ab + + b b2 ( a - b ) 2 = = a a ab + + b b2 Різниця і сума або неповний квадрат сума кубів різниця різниці або суми a3 ± b 3 = = ( ( a ± b) · · · · ( ( ( ( a2 a a · b + b2)

Розкладання многочленів на множники - подання многочлена у вигляді добутку кількох многочленів або одночлена на многочлен. Винесення спільного множника за дужки a · b + a · c = a · ( b + c ) Спосіб групування Подати многочлен у вигляді добутку m · k – m · n + x · k – x · n = 1.Згрупувати члени даного многочлена на вирази, що мають спільний множник = = (m· k – m· n) + (x· k – x· n)= 2.Винести за дужки спільний множник ( одночлен ) = m· (k – n) + x· (k – n) = 3.Винести за дужки спільний множник (многочлен) = ( ( ( (k – n)· (m + x)

Використання формул скороченого множення для розкладання многочленів на множники a 2 – b 2 =(a - b) · (a + b) a 2 +2ab +b 2 =(a+b) 2 a 2 -2ab +b 2 =(a-b) 2 a 3 +b 3 =(a+b)·(a 2 -a·b+b 2 ) a 3 -b 3 =(a-b)·(a 2 +a·b+b 2 ) 25a2-b2=(5a-b)(5a+b) 16a2+8ab+b2=(4a+b)2 64x2-16xy+y2=(8x-y)2 27-x3=(3-x)(9+3x+x2) у3+8 =(y+2)(y2-2y+4)

Функції Означення функції. Способи задання функції. Графік функції. Лінійна функція.

ФУНКЦІЯ – з з з залежність, при якій кожному значенню однієї змінної х (незалежної) відповідає єдине значення іншої (залежної) у. х – незалежна змінна аргумент, у – залежна змінна - функція у залежить від х : у(х) Приклади : площа круга від радіуса S ( R ) ; шлях пройдений зі сталою швидкістю від часу s s s s ( t ) Область визначення функції – усі значення, які може набувати незалежна змінна ( значення х ) Область значень функції – усі значення залежної змінної (значення у)

1. Аналітичний : за допомогою формули ( у = 2х3 – 5 ) 2. Графічний :зображають графіком функції у = f(х) в системі координат (див. далі) 3. Табличний : відповідність між елементами задається у формі таблиці 4. Словесним описом : закон відповідно якого значення функції відповідають значенням аргументу, формулюють словесно. ( розмір прибуткового податку є функцією заробітної плати платника) Способи задання функцій х0123 у0149

Графік функції – множина всіх точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенням аргументу, а ординати – відповідним значенням функції. Побудуємо графік функції, задану формулою у = х(3 – х), де -1 х 4 Складемо таблицю деяких відповідних значень аргументу й функції : Позначимо на координатній площині точки, координати яких подано у таблиці Функція набуває додатних значень (вище осі ОХ) при 0 < х < 3 ; від'ємних значень (нижче осі ОХ) при х < 0 та x x x x > 3; Значення функції дорівнює нулю при х = 0, х = 3 х01234 у у х 0 3

Лінійна функція – функція, яку можна задати формулою виду у = k x + b,де х – незалежна змінна, k і b – деякі числа. Область визначення – усі числа. Графік функції - пряма. у = k x + b, 1. k > 0,b 0 2. k< 0,b 0 3. k 0,b = 0 4. k = 0,b – довільне число у 0 x 0 x k>0 k<0 b=0 k=0 K=0,b=0

Побудова графіка лінійної функції у = - х + 2 Щоб побудувати графік лінійної функції досить : 1. знайти координати двох точок графіка; 2. п позначити ці точки в к координатній площині; 3. п провести через них пряму. 1. При x = 1, у = 1 при х = -2, у = 4 при х = -2, у = 4 х 0 у у = - х +2

Системи лінійних рівнянь з двома змінними Рівняння з двома змінними. Графік лінійного рівняння з двома змінними. Система двох лінійних рівнянь. Розв'язування систем лінійних рівнянь: Графічний спосіб. Спосіб підстановки. Спосіб додавання. Розв'язування задач за допомогою систем лінійних рівнянь.

Рівняння з двома змінними – рівняння виду ах + bу = с, де х та у – змінні, а, b і с – числа ( коефіцієнти рівняння ) 5х – 7у = 34 Розв'язком рівняння із двома змінними називається пара значень невідомих, при яких рівняння перетворюється у правильну числову рівність. х + у = 8 х х=4, у=4; х=4,5, у=3,5; х=10,у=-2 або (4;4) ; (4,5;3,5) ; (10;-2) Рівносильні рівняння з двома змінними – рівняння які мають одні й ті самі розв'язки або не мають розв'язків. Властивості рівнянь з двома змінними такі ж, як і рівнянь з одним невідомим

Графік лінійного рівняння з двома змінними – множина точок координатної площини координати яких є розв'язком цього рівняння Графік лінійного рівняння ах + bу = с є пряма. Побудувати графік рівняння х - 3у = 6 Виразимо х через у: х=6+3у Знайдемо два розв'язки цього рівняння Позначимо точки (6;0),(3;-1) на координатній площині. Проведемо через них пряму. a0,b0,c0 a0,b0,c=0 a=0,b0,c0 a0,b=0,c0 a=0,b0,c=0 a0,b=0,c=0 y x х6-3 у0-3 x - 3y = 6

Системи лінійних рівнянь із двома змінними Систему рівнянь утворюють два чи кілька рівнянь, якщо треба знайти їх спільні розв'язки. Систему рівнянь записують х + у = 56 за допомогою фігурної дужки. х х - у = 4 Розв'язком системи рівнянь із двома невідомими називається пара значень невідомих ( х;у), при яких кожне рівняння системи перетворюється у правильну числову рівність. Розв'язати систему рівнянь означає знайти всі її розв'язки або довести, що розв'язків немає.

Розв'язування систем лінійних рівнянь. Графічний спосіб Щоб розв'язати систему лінійних рівнянь графічним способом потрібно: 1. Побудувати графіки обох рівнянь в одній системі координат 2. Знайти координати спільних точок цих графіків. Розв'язати графічно систему рівнянь 5х-2у=11 х-3у=-3 5х - 2у =11 х - 3у =-3 Х13 у-32Х0-3у10 х у Відповідь : х=3,у=2

Спосіб підстановки. Розв'язати систему рівнянь способом підстановки 2х + у = 12 7х - 2у = 31 1.Виражаємо з якого-небудь рівняння одну змінну через іншу. 2.Підставляємо у друге рівняння системи замість цієї змінної знайдений вираз. 3. Розв'язуємо утворене рівняння з однією змінною. 4. Знаходимо відповідне значення другої змінної. 1. у = 12 – 2х 2. 7х-2(12-2х)= х+4х-24=31 11х=55 ; х=5 4. у=-2·5+12=2 Відповідь : х=5,у=2

Спосіб додавання. Розв'язати систему рівнянь способом додавання 9у -5х = 23 4у – 2х = 6 1.Множимо почленно рівняння системи, підбираючи множники так, щоб коефіцієнти при одній зі змінних стали протилежними числами. 2. Додаємо почленно ліві й праві частини рівнянь системи. 3. Розв'язуємо утворене рівняння з однією змінною. 4. Підставляємо знайдене значення змінної в одне з даних рівнянь і знаходимо відповідне значення другої змінної. 1. 9у-5х=23 · 2 4у-2х=6 ·(-5) 2. 18у - 10х = у + 10х = у + 0 = y = · (-8) - 2х = х = 6 -2х = 38 х = -19 Відповідь : х = -19;у = -8

Розв'язування задач за допомогою систем рівнянь Сума двох чисел дорівнює 104. Одне з них на 11 більше від другого. Знайти ці числа. 1.Позначити деякі дві невідомі величини буквами. 2.Використовуючи умову задачі, скласти два рівняння. 3. Записати систему цих рівнянь і розв'язати її. 4. Дати відповіді на поставлені в задачі запитання ч. - ? х 2 ч. - ? у 2. х х + у =104 – у =11 3. х + у =104 х – у =11 2 2х = 115 х = 57,5 - 1 число 57,5 – у = 11 у = 46,5 – 2 число 4. Відповідь : 1 число 57,5; 2 число 46,5 104 на 11