Простейшие преобразования графиков функций

Зная вид графика некоторой функции, можно при помощи геометрических преобразований построить график более сложной функции. Рассмотрим график функции y=x 2 и выясним,как можно построить, используя сдвиги вдоль координатных осей, графики функций вида y=(x-m) 2 и y=x 2 +n.

Пример 1. Построим график функции y=(x - 2) 2, опираясь на график функции y=x 2 (щелчок мышкой). График функции y=x 2 есть некоторое множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение y=x 2 в верное числовое равенство. Обозначим это множество точек, то есть график функции y=x 2, буквой F, а неизвестный нам пока график функции y=(x - 2) 2 обозначим буквой G. Сравним координаты тех точек графиков F и G, у которых одинаковые ординаты. Для этого составим таблицу: х х 2 х (х – 2) Рассматривая таблицу (которую можно неограниченно продолжать и вправо и влево), замечаем, что одинаковые ординаты имеют точки вида (х 0 ; у 0 ) графика F и (х 0 + 2; у 0 ) графика G, где х 0, у 0 – некоторые вполне определенные числа. На основании этого наблюдения можем сделать вывод, что график функции y=(x - 2) 2 можно получить из графика функции y=x 2 путем сдвига всех его точек вправо на 2 единицы (щелчок мышкой).

Таким образом, график функции y=(x - 2) 2 может быть получен из графика функции y=x 2 сдвигом вправо на 2 единицы. Рассуждая аналогично, можно доказать, что график функции y=(x + 3) 2 также может быть получен из графика функции y=x 2, но сдвигом не вправо, а влево на 3 единицы. Хорошо видно, что осями симметрии графиков функций y=(x - 2) 2 и y=(x - 3) 2 являются соответственно прямые х = 2 и х = - 3. Чтобы увидеть графики, щелкни мышкой

Если вместо графика y=(x - 2) 2 или y=(x + 3) 2 рассмотреть график функции y=(x - m) 2, где m – произвольное число, то в проведенном ранее рассуждении ничего принципиально не изменится. Таким образом, из графика функции у = х 2 можно получить график функции y=(x - m) 2 с помощью сдвига вправо на m единиц в направлении оси Ох, если m > 0, или влево, если m<0. График функции y=(x - m) 2 является параболой с вершиной в точке (m; 0). Этот вывод допускает еще большее обобщение: график функции y=f(x - m) можно получить из графика функции y=f(x) путем сдвига графика функции y=f(x) вправо на m единиц в направлении оси Ох, если m > 0, или влево, если m<0.

Пример 2. Построим график функции y = x 2 + 1, опираясь на график функции y=x 2 (щелчок мышкой). Сравним координаты точек этих графиков, у которых одинаковые абсциссы. Для этого составим таблицу: х х 2 х x Рассматривая таблицу, замечаем, что одинаковые абсциссы имеют точки вида (х 0 ; у 0 ) для графика функции y=x 2 и (х 0 ; у 0 + 1) для графика функции y = x На основании этого наблюдения можем сделать вывод, что график функции y=x можно получить из графика функции y=x 2 путем сдвига всех его точек вверх (вдоль оси Оу) на 1 единицу (щелчок мышкой).

Итак, зная график функции y=x 2, можно построить график функции y=x 2 + п с помощью сдвига первого графика вверх на п единиц, если п>0, или вниз на | п | единиц, если п<0. Графиком функции y=x 2 + п является парабола с вершиной в точке (0; п). Страница отображается по щелчку Вывод: Вывод: график функции y=f(x - m) + п может быть получен из графика функции y=f(x) с помощью последовательно выполненных двух параллельных переносов: сдвига вдоль оси Ох на m единиц и сдвига графика y=f(x - m) вдоль оси Оу на п единиц. Обобщение: график функции y=f(x) + п можно получить из графика функции y=f(x) путем сдвига графика функции y=f(x) вверх на п единиц в направлении оси Оу, если п > 0, или вниз, если п<0.

Из выше сказанного следует, что графиком функции y=(x - m) 2 + п является парабола с вершиной в точке (m; п). Ее можно получить из параболы y=x 2 с помощью двух последовательных сдвигов. Пример 3. Докажем, что графиком функции у = х х + 8 является парабола, и построим график. Решение. Представим трехчлен х х + 8 в виде (x - m) 2 + п. Имеем х х + 8 = х х* – 1 = (x + 3) 2 – 1. Отсюда у = (x + 3) 2 – 1. Значит, графиком функции у = х х + 8 является парабола с вершиной в точке (- 3; - 1). Учитывая, что ось симметрии параболы – прямая х = - 3, при составлении таблицы значения аргумента функции следует брать симметрично относительно прямой х = - 3 : х у Отметив в координатной плоскости точки, координаты которых занесены в таблицу (щелчок мышкой), проводим параболу (по щелчку).

Постройте самостоятельно графики функций: 1)у = х 2 + 2; 2)у = х 2 – 3; 3)у = (х – 1) 2 ; 4)у = (х + 2) 2 ; 5)у = (х + 1) 2 – 2; 6)у = (х – 2) 2 + 1; 7)у = (х + 3)*(х – 3); 8)у = х х – 4; 9)у = х 2 – 6 х При построении графика функции вида y=(x - m) 2 + п удобно пользоваться заранее заготовленным шаблоном параболы у = х 2. шаблон параболы у = х 2 Далее можно сверить свои результаты с тем, что должно быть в действительности