К о м п л е к с н ы е ч и с л а

Вычислите:

Мнимая единица Мнимая единица i – начальная буква французского слова imaginaire – «мнимый»

Например, Вычислите:

Комплéксные числа Определение 1. Числа вида a + bi, где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, называются комплексными. a действительная часть комплексного числа, bi – мнимая часть комплексного числа, b – коэффициент при мнимой части.

Комплéксные числа Определение 1. Числа вида a + bi, где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, называются комплексными. Для комплексных чисел существует несколько форм записи: алгебраическая форма записи, тригонометрическая форма записи и экспоненциальная (показательная) форма записи.

VII в.н.э.- квадратный корень из положительного числа имеет два значения – положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратные корни извлечь нельзя: нет такого числа х, чтобы х 2 = 9.

В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. Первым учёным, предложившим ввести числа новой природы, был Джорж Кордано.

Он предложил: Кордано назвал такие величины «чисто отрицательными» или даже «софистически отрицательными», считая их бесполезными и стремился не применять их.

в 1572 году итальянский учёный Бомбелли выпустил книгу, в которой были установлены первые правила арифметических операций над комплексными числами, вплоть до извлечения из них кубических корней.

Название «мнимые числа» ввёл французский математик и философ Р. Декарт в 1637 году

один из крупнейших математиков XVIII века – Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginare (мнимый) для обозначения в 1777 году

гораздо В настоящее время в математике шире, комплексные числа используются действительные чем

Комплексные числа имеют прикладное значение во многих областях науки, являются основным аппаратом для расчетов в электротехнике и связи. Комплексные числа имеют прикладное значение во многих областях науки, являются основным аппаратом для расчетов в электротехнике и связи.

a + bi = c + di, если a = c и b = d. Определение 2.

Решение. Используя условие равенства комплексных чисел имеем 2y = 13, 4x = – 6, тогда Найти x и y из равенства: 2y + 4xi = 13 – 6i;

(а+bi) Вычитание =(a+c)+ (c+di) Сложение (b+d) + i (а+bi) (c+di) =(ac) + (bd) i

z 1 = i, z 2 = 5 – 7i. Найти: а) z 1 + z 2 ; б) z 1 – z 2 ; а) z 1 + z 2 =(12 + 3i) + (5 – 7i) = =(12 + 5) + (3i – 7i) = 17 – 4i; б) z 1 – z 2 =(12 + 3i) – (5 – 7i) = =(12 – 5) + (3i + 7i) = – i;

Умножение (c+di) = acbсbс i = +++ adadbd (а+bi) i = = (ac-bd) + (ad+bc)i i2i2 1

Выполните действия: (5 + 3i)(5 – 3i) (2 + 3i)(5 – 7i) (2 – 7i) 2 = = = = (10+21) + (-14+15)i = 31+i 25-9i 2 = i + 49i 2 = = i 25m (5m-4i)(5m+4i) 25m 2 -16i 2 = =

Определение 3. Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются друг от друга только знаками перед мнимой частью. z 1 = a+bi и z 2 =a-bi

Деление = = =

= = = 2

Геометрическое изображение комплексных чисел Всякое комплексное число z = a + bi можно изобразить на плоскости xOy в виде точки A(a; b). Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называют плоскостью комплексной переменной. y 0 х A(a; b) z a b Точкам, лежащим на оси Ox, соответствуют действительные числа (b = 0), поэтому ось Ox называют действительной осью. Точкам, лежащим на оси Oy, соответствуют чисто мнимые числа (a = 0), поэтому ось Oy называют мнимой осью. Иногда удобно считать геометрическим изображением комплексного числа z вектор OA

z = r (cos φ + i sin φ) Тригонометрическая форма записи комплексных чисел Тогда имеют место равенства: Следовательно, комплексное число z можно представить в виде: y 0 х A(a; b) z a b Обозначим через r модуль вектора, через φ угол между вектором и положительным направлением оси Ox. φ Тригонометрическая форма записи комплексного числа Модуль комплексного числа Аргумент комплексного числа r OA a = r cos φ; b = r sin φ a + i b = r cos φ + i r sin φ

Действия над комплексными числами тогда произведение находится по формуле: Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме: Произведение сопряженных комплексных чисел:

Возведение в степень комплексного числа. При возведении комплексного числа z = r (cos φ + i sin φ) в целую положительную степень модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени (формула Муавра) Извлечение корня из комплексного числа. Корень n – ой степени из комплексного числа z = r (cos φ + i sin φ) находится по формуле: Арифметическое значение корня из положительного числа r Действия над комплексными числами z n = r n (cos nφ + i sin nφ)

Придавая k значения 0, 1, 2, …,n –1, получим n различных значений корня. Для других значений k аргументы будут отличаться от полученных на число, кратное 2π, и, следовательно будут получаться значения корня, совпадающие с рассмотренными. Итак, корень n – ой степени из комплексного числа имеет n различных значений. Корень n – ой степени из действительного числа также имеет n значений, так как действительное число – частный случай комплексного числа и может быть представлено в тригонометрической форме: Действия над комплексными числами

Проверь себя в знании теории по теме. 1. Определение комплексного числа. 2. Что такое мнимая единица? 3. Равенство двух комплексных чисел. 4. Сопряжённые числа. 5. Что такое модуль комплексного числа? 6. Что такое аргумент комплексного числа? 7. Тригонометрическая запись комплексного числа. 8. Формула комплексных корней квадратного уравнения, у которого дискриминант – отрицательное число. 9. Правила сложения, вычитания, умножения и деления двух комплексных чисел.