Элементы комбинаторики

Перестановки Перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определенном порядке. где n! называется факториалом числа n. Это произведение первых натуральных n чисел от 1 до n.

Задача 1 Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 без повторений? Решение По условию дано множество из четырех элементов, которые требуется расположить в определенном порядке. Значит, требуется найти количество перестановок из четырех элементов: т. е. из цифр 1, 2, 3, 4 можно составить 24 четырехзначных числа (без повторений цифр).

Задача 1(а) В автосервис приехали 5 машин для ремонта. Сколько существует способов выстроить их в очередь на обслуживание? Решение

Размещения Размещением из n элементов по k (k n) называется любое множество, состоящее из любых k элементов, взятых в определенном порядке из данных n элементов.

Задача 2 В девятом классе изучается 14 предметов. Сколькими способами можно составить расписание занятий на субботу, если в этот день недели должно быть 3 различных урока? Решение Искомое число способов равно числу размещений из 14 элементов по три элемента в каждом:

Задача 2(а) Из 33 карточек разрезной азбуки достают 4 карточки и выкладывают в порядке появления. Сколько различных вариантов можно получить? Решение

Факториал Произведение первых натуральных чисел принято обозначать Условились считать, что

Сочетания Сочетанием из n элементов по k называется любое множество, составленное из k элементов, выбранных из данных n элементов.

Задача 3 Сколькими способами можно выбрать 2 дежурных из 4 школьников? Решение Искомое число способов равно числу сочетаний из 4 элементов по 2 в каждом:

Задача 3(а) Сколькими способами можно распределить 12 человек по бригадам, если в каждой бригаде по 6 человек? Решение Состав каждой бригады является конечным множеством из 12 элементов по 6. Значит, искомое число способов равно числу сочетаний из 12 элементов по 6 в каждом:

Теория вероятностей

Классическое определение вероятности Вероятность события А - число исходов, благоприятствующих событию А - число всех равновозможных исходов данного испытания

Задача 4 В урне находится 2 красных и 3 синих шаров. Из урны одновременно вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба шара синие (событие А)? Решение Число равновозможных исходов. Событию А благоприятствуют исходов. Следовательно,

Задача 4(а) В урне находится 5 белых 10 красных и 2 синих шара. Из урны одновременно вынимают три шара. Какова вероятность того, что эти шары белые (событие А)? Решение:

Задача 5 Шеститомное собрание сочинений Н.В. Гоголя поместили на полку в случайном порядке. Какова вероятность того, что тома стоят в порядке возрастания номеров (событие А)? Решение Число равновозможных несовместных исходов Событию А благоприятствуют исходов. Следовательно,

Задача 5(а) На столе лежат карточки с буквами А, Д, О, Л, К. Ребенок разложил карточки. Какова вероятность, что получилось слово лодка? Решение

Литература Балк М.К., Балк Г.Д. Математика после уроков. М.: Просвещение, с. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, – 480 с. Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика. Справочные материалы. М.: Просвещение, с. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. т. 2. М.: Высшая школа, – 416 с. Шустеф Ф.М. Материал для внеклассной работы по математике. Мн: Народная асвета, с.